4.1.2. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операторным методом

В теории автоматического управления полетом, при исследовании и решении задач управляемости широко используется операторный метод решения дифференциальных уравнений.

В качестве интегрального преобразования обычно используют преобразование Лапласа

,

где параметр p – некоторое комплексное число; y(t) – кусочно-непрерывная и ограниченная функция независимой переменной t, называемая оригиналом; Y(p) – изображение функции y(t). Помимо прямого преобразования, существует обратное преобразование, позволяющее по изображению Y(p) находить оригинал y(t). Сокращенное обозначение обратного преобразования = y(t).

Таблица

Математическая операция	Оригинал	Изображение
Исходное преобразование	y(t)	Y(p)
Сложение оригинала	y1(t)+y2(t)	Y1(p)+Y2(p)
Умножение на постоянное число	a y(t)	a Y(p)
Дифференцирование	dy/dx	p Y(p) – y0
n-кратное дифференцирование	d^ny/dt^n
Интегрирование
Сдвиг оригинала на τ	y(t-τ)

В таблице y₀, ,…, обозначены Н.У. при t=0 (обычно).

При анализе возмущенного движения ВС иногда возникает необходимость определить предельные значения решения дифференциального уравнения по виду этого уравнения, не интегрируя его. Эту задачу можно решить с помощью следующих теорем о предельном переходе:

1. Если существует предел функции , то

= . (4.20)

2. Если существует предел функции , то

. (4.21)

Лекция 8. 4.1.3. Исследование управляемого движения с помощью передаточных функций

При выполнении летной операции управляющие воздействия формируются в соответствии с заданной программой полета. Результат управления зависит от реакции ВС на управляющие воздействия. Обычно для оценки управляемости различных ВС принято рассматривать их реакцию на скачкообразное (ступенчатое) или гармоническое отклонение органов управления. При ступенчатом отклонении изучаются переходные или временные характеристики (функции) ВС, а при гармоническом – частотные характеристики (функции). Частотными характеристиками системы (звена), называют зависимость отношения амплитуд выходной величины к входной и сдвига по фазе выходной величины по отношению к входной от частоты входного воздействия.

Передаточной функцией называют отношение изображений выходной величины к входной при нулевых начальных условиях:

. (4.22)

Здесь Y(p) u X(p)- соответственно изображение по Лапласу выходной и входной величины.

Для изучения реакции ВС в частотной области на вход подается гармоническое воздействие (сигнал) Δu(t)=A₁ sin( t) для следующей системы уравнений

. (4.23)

Здесь предполагается, что имеется отклонение от программного управления и решение (4.23) состоит из «собственной» и «вынужденной» составляющих решений. Собственная составляющая, зависящая от начальных условий Δy(t₀), как решение уравнения для устойчивых систем затухает с течением времени. Вынужденная составляющая, определяемая как частное решение (4.23), будет в силу линейности системы, также гармонической

(4.24)

где A₂ и – амплитуда и частота вынужденных колебаний выходной величины; γ - сдвиг по фазе.

При изучении выходных характеристик y(t) ,будем пренебрегать «собственной» составляющей решений и ограничиваться только «вынужденной» составляющей.

В этом случае A₂ и γ можно определить по частотной функции W(i ). Можно показать (см. Приложение 2), что W(i ). что получается из передаточной W(p)= (где Y(p) Δy(t), U(p) Δu(t)) путем замены p=i , где – частота вынужденных колебаний. Частотную функцию (как комплексное число) представим в виде:

W(i )=Re( )+ Im( )=A( )e^iγ(ω), (4.25)

где Re( ), Im( ) – соответственно действительная и мнимая часть частотной функции; - модуль частотной функции, называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ); γ(ω)=arg W(iω) – аргумент частотной функции, называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ). Модуль и аргумент частотной функции изображены на рис. 32.

При этом: ; .

С помощью этих выражений можно построить (рис.32.б) амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ), при изменении ω от о до ∞ (строить зависимость при -∞<ω<+∞ нет необходимости, т.к. кривые симметричные относительно оси абсцисс).

АФЧХ также как передаточная функция W(p) и дифференциальное уравнение системы определяет ее динамические свойства, но обладает тем преимуществом, что может быть построена экспериментально.