glv_2
.pdfg L A W A 2. opredel>nnyj integral
2.1. pONQTIE I SWOJSTWA
2.1.1. pONQTIE OPREDELENNOGO INTEGRALA
pUSTX W PROMEVUTKE [ a b ] ZADANA NEPRERYWNAQ FUNKCIQ y = f(x):
1. |
rAZOBXEM PROMEVUTOK |
[ a b ] |
^ASTEJ S DLINAMI xi (i = 1 |
2 : : : n): |
|
2. |
w KAVDOM ^ASTI^NOM PROMEVUTKE WYBEREM TO^KU i |
LIM ZNA^ENIQ FUNKCII y = f(x) W KAVDOJ IZ \TIH TO^EK. ZNA^ENIQ
n
I WY^IS- pOLU^IM
f( 1) |
f( 2) f( 3) : : : f( n): |
3. |TI ZNA^ENIQ f( i) |
UMNOVIM NA DLINY SOOTWETSTWU@]IH ^AS- |
TI^NYH PROMEVUTKOW xi A POLU^ENNYE PROIZWEDENIQ f( i) xi SLOVIM. pOLU^ITSQ SUMMA
n
f( 1) x1 + f( 2) x2 + : : : + f( n) xn = X f( i) xi
i=1
KOTORAQ NAZYWAETSQ INTEGRALXNOJ SUMMOJ FUNKCII y = f(x) W DAN- NOM PROMEVUTKE.
o P R E D E L E N I E. oPREDELENNYM INTEGRALOM OT FUNKCII y = f(x) W INTERWALE [a b] NAZYWAETSQ KONE^NYJ PREDEL SOOTWETSTWU@]EJ INTEG- RALXNOJ SUMMY PRI NEOGRANI^ENNOM UWELI^ENII ^ISLA RAZBIENIJ PRO-
MEVUTKA NA ^ASTI (n |
! 1) |
I STREMLENII DLIN WSEH ^ASTI^NYH |
|||||
PROMEVUTKOW K NUL@ |
( xi ! 0) |
I OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
b |
|
|
n |
|
|
|
aZ |
|
|
|
|
|
|
|
f(x) dx = lim |
|
f( i) xi: |
|
|||
|
|
|
n!1 i=1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
X |
|
|
tEOREMA SU]ESTWOWANIQ OPREDELENNOGO INTEGRALA. eSLI FUNKCIQ f(x)
QWLQETSQ NEPRERYWNOJ ILI KUSO^NO-NEPRERYWNOJ W INTERWALE [ a b ] (T.E. IMEET W \TOM INTERWALE KONE^NOE ^ISLO TO^EK RAZRYWA 1-GO RODA), TO OPREDELENNYJ INTEGRAL OT \TOJ FUNKCII W \TOM PROME- VUTKE WSEGDA SU]ESTWUET.
52
pRI WYPOLNENII \TIH USLOWIJ OPREDELENNYJ INTEGRAL NE ZAWISIT NI OT WYBORA TO^EK i NI OT SPOSOBA RAZBIENIQ PROMEVUTKA NA ^ASTI. eSLI OPREDELENNYJ INTEGRAL OT FUNKCII SU]ESTWUET, T.E. SU- ]ESTWUET KONE^NYJ PREDEL SOOTWETSTWU@]EJ INTEGRALXNOJ SUMMY, TO FUNKCIQ NAZYWAETSQ INTEGRIRUEMOJ W \TOM PROMEVUTKE. oTME- TIM, ^TO MONOTONNAQ OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ WSEGDA INTEGRIRUEMA.
gEOMETRI^ESKIJ SMYSL OPREDELENNOGO INTEGRALA oPREDEL<NNYJ INTEGRAL OT NEOTRICATELX-
NOJ W PROMEVUTKE FUNKCII UDOBNO TRAKTO- WATX KAK PLO]ADX KRIWOLINEJNOJ TRAPECII, OGRANI^ENNOJ SWERHU GRAFIKOM \TOJ FUNK-
CII, SNIZU OSX@ |
OX |
SLEWA I SPRAWA PRQ- |
MYMI x = a |
x = b |
PARALLELXNYMI OSI |
OY . |
|
|
wELI^INY SLEDU@]IH INTEGRALOW POLU^ENY NA OSNOWANII IH GEOMET- RI^ESKOGO SMYSLA
Z5(x ; 1) dx = 8 |
(PLO]ADX PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNIKA, OGRANI- |
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
^ENNOGO PRQMYMI y = x |
; |
1 x = 1 x = 5 I OSX@ OX). |
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Z p |
|
|
(PLO]ADX POLUKRUGA y = +p |
|
RADIUSA 2). |
||
4 ; x2 |
dx = 2 |
4 ; x2 |
;2
2.1.2. CWOJSTWA OPREDELENNOGO INTEGRALA
1. pO^LENNOE INTEGRIROWANIE.
oPREDELENNYJ INTEGRAL OT ALGEBRAI^ESKOJ SUMMY FUNKCIJ RAWEN ALGEBRAI^ESKOJ SUMME INTEGRALOW OT SLAGAEMYH
b |
b |
b |
aZ |
[f(x) g(x)] dx = Za |
f(x) dx aZ g(x)dx: |
2. wYNESENIE POSTOQNNOGO MNOVITELQ .
pOSTOQNNYJ MNOVITELX WYNOSITSQ ZA ZNAK OPREDELENNOGO INTEGRALA
b |
b |
|
Za |
k f(x) dx = k Za |
f(x) dx: |
sWOJSTWA 1 I 2 POWTORQ@T SWOJSTWA NEOPREDELENNOGO INTEGRALA I ISPOLXZU@TSQ NEPOSREDSTWENNO PRI WY^ISLENIQH.
53
3. rAZBIENIE OTREZKA INTEGRIROWANIQ NA ^ASTI.
eSLI PROMEVUTOK INTEGRIROWANIQ [a b] |
RAZBIT TO^KOJ c NA ^ASTI, |
|
TO OPREDELENNYJ INTEGRAL MOVNO PREDSTAWITX W WIDE SUMMY INTEG- |
||
RALOW PO OTDELXNYM ^ASTQM PROMEVUTKA |
|
|
Zb f(x) dx = Zc f(x) dx + Zb f(x) dx: |
||
a |
a |
c |
sWOJSTWO 3 ISPOLXZUETSQ, W OSNOWNOM, PRI WY^ISLENIQH S POMO]X@ OPREDELENNOGO INTEG- RALA PLO]ADEJ FIGUR, OB_EMOW TEL, DLIN DUG I T.D.
4. sMENA NAPRAWLENIQ INTEGRIROWANIQ.
pRI PEREMENE MESTAMI PREDELOW INTEGRIROWANIQ OPREDELENNYJ IN- TEGRAL MENQET SWOJ ZNAK
Zb f(x) dx = ; Za f(x) dx: |
|
a |
b |
5. iNTEGRAL PO PROMEVUTKU NULEWOJ DLINY.
iNTEGRAL S RAWNYMI PREDELAMI INTEGRIROWANIQ RAWEN NUL@
Za f(x) dx = 0:
a
6. iNTEGRAL OT NE^ETNOJ I ^ETNOJ FUNKCIJ W SIMMETRI^NOM INTERWALE. oPREDELENNYJ INTEGRAL W SIMMETRI^NYH PREDELAH OT NE^ETNOJ FUNK- CII RAWEN NUL@.
|
eSLI f(x) = ;f(;x) |
TO Za f(x) dx = 0: |
|
|
;a |
pRI \TOM, DLQ ^ETNOJ FUNKCII ( f(x) = f(;x) ) IMEEM |
||
|
Za f(x) dx = 2 Za f(x) dx: |
|
sWOJSTWO 6 |
;a |
0 |
I GEOMETRI^ESKIJ SMYSL INTEGRALA MOGUT BYTX \FFEKTIWNO ISPOLXZOWANY W |
PODHODQ]IH DLQ \TOGO SLU^AQH.
nAPRIMER, WSE SLEDU@]IE INTEGRALY RAWNY NUL@, TAK KAK PODYN- TEGRALXNYE FUNKCII NE^ETNYE, A PROMEVUTOK INTEGRIROWANIQ SIM- METRI^EN
=2 |
2 |
|
x3 |
3 |
sin x |
||
Z x2 sin3 x dx = 0 |
Z |
|
Z |
||||
|
|
dx = 0 |
|
dx = 0: |
|||
|
|
x4 + x2 + 1 |
|||||
|
(1 + 3x2)3 |
||||||
; =2 |
;2 |
q |
;3 |
|
|
54
7. O ZNAKE INTEGRALA.
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
eSLI f(x) 0 DLQ WSEH |
x 2 [a b] |
TO |
aZ |
f(x) dx 0: |
|
|||
8. iNTEGRIROWANIE POD ZNAKOM NERAWENSTWA. |
|
|
|
|
|||||
eSLI f(x) g(x) DLQ WSEH |
x 2 [a b] TO |
Zb f(x) dx Zb g(x) dx: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
9. oCENKA OPREDELENNOGO INTEGRALA. |
|
|
|
|
|
||||
1) |
mODULX INTEGRALA NE BOLX[E INTEGRALA OT MODULQ FUNKCII |
|
|||||||
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
Za |
f(x) dx |
Za j f(x) j dx: |
|
|
||||
2) |
eSLI f(x) { NEPRERYWNAQ |
W INTERWALE |
[a |
b] |
FUNKCIQ I m; |
NAI- |
|||
MENX[EE, A M; NAIBOLX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII |
W DANNOM INTER- |
||||||||
WALE, TO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
m (b ; a) Za |
f(x) dx M (b ; a): |
|
sWOJSTWO 9 MOVET BYTX ISPOLXZOWANO DLQ OCENKI WELI^INY TRUDNO WY^ISLQEMOGO OPRE- DELENNOGO INTEGRALA.
3
oCENITX WELI^INU INTEGRALA |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Z px4 ; 8x2 + 17 dx: |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f0(x) = 1 |
|
4x3 ; 16x |
|
= 0 |
PRI x = |
; |
2 x = 0 x |
= 2: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4 q(x4 ; 8x2 + 17)3 |
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||
4 |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
tO^KA x = ;2 NE PRINADLEVIT DANNOMU PROMEVUTKU. iMEEM |
|
||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
f( 1) = p10 |
f(0) = p17 |
|
|||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f(2) = p1 = 1;= fNAIM: f(3) = p26 2 25 = fNAIB:: |
|
||||||||||||||||||
dLINA PROMEVUTKA (b ; a) = 3 |
; (;1) = 4 (b ; a)m = 4 1 = 4 |
||||||||||||||||||
(b ; a)M = 4 |
2 25 = 9: tOGDA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4 |
|
|
; 8x2 + 17 dx 9: |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
4 Z px4 |
|
||||||||||||||
|
|
;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55
10. tEOREMA O SREDNEM DLQ OPREDELENNOGO INTEGRALA:
eSLI FUNKCIQ y = f(x) NEPRERYWNA W PROMEVUTKE [a b], TO
Zb f(x)dx = f(c)(b ; a) GDE (b ; a){ DLINA OTREZKA, A c 2 (a b):
a
w GEOMETRI^ESKOM SMYSLE TEOREMA O SREDNEM OZNA^AET, ^TO PLO]ADX KRIWOLINEJNOJ TRA- PECII RAWNA PLO]ADI PRQMOUGOLXNIKA S TEM VE OSNOWANIEM I WYSOTOJ, RAWNOJ ZNA^ENI@ PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII W NEKOTOROJ TO^KE c PROMEVUTKA INTEGRIROWANIQ.
wELI^INA f(c) PRI \TOM NAZYWAETSQ SREDNIM ZNA^ENIEM INTERWALE I WY^ISLQETSQ SOOTWETSTWENNO PO FORMULE
|
|
1 |
b |
|
|
|
|
|
|
|
fSR:ZN: = f(c) = |
aZ |
f(x)dx: |
||||||
|
b ; a |
||||||||
|
|
|
|
|
p |
dx |
|||
|
nAJTI SREDNEE ZNA^ENIE FUNKCII y = |
|
; p |
|
|||||
x + 9 |
|||||||||
x |
|||||||||
WALE [0 16]: |
|
|
|
|
|
FUNKCII W
W INTER-
sOGLASNO FORMULE DLQ SREDNEGO ZNA^ENIQ FUNKCII NAHODIM
|
|
1 |
|
b |
|
|
1 |
|
16 |
|
dx |
|
|
|
|
fSR:ZN: = f(c) = |
|
|
Za |
f(x)dx = |
|
|
Z |
p |
p |
|
0 75: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
b |
; |
a |
16 |
; |
0 |
|
|||||||||
x + 9 |
|
||||||||||||||
; |
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
zDESX NE PRIWEDENO SAMO WY^ISLENIE INTEGRALA, TAK KAK METODY WY^ISLENIQ OPREDE- LENNYH INTEGRALOW PRIWODQTSQ NIVE.
iNTEGRAL S PEREMENNYM WERHNIM PREDELOM
iNTEGRALOM S PEREMENNYM WERHNIM PREDELOM NAZYWAETSQ INTEGRAL Zx f(t) dt = (x) KOTORYJ QWLQETSQ FUNKCIEJ WERHNEGO PREDELA.
a
t E O R E M A bARROU. pROIZWODNAQ INTEGRALA S PEREMENNYM WERHNIM PREDELOM RAWNA ZNA^ENI@ PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII NA \TOM PREDELE
0Zx f(t) dt10 = f(x):
@a Ax
iZ \TOJ TEOREMY WYTEKAET ODNO WAVNOE SLEDSTWIE. iNTEGRAL S PERE-
MENNYM WERHNIM PREDELOM QWLQETSQ PERWOOBRAZNOJ DLQ PODYNTEG-
RALXNOJ FUNKCII. |TO SLEDSTWIE POZWOLQET WYWESTI OSNOWNU@ FOR- MULU INTEGRALXNOGO IS^ISLENIQ { FORMULU nX@TONA-lEJBNICA.
56
2.1.3. fORMULA nX@TONA {lEJBNICA
wY^ISLENIE OPREDELENNOGO INTEGRALA, SLEDUQ EGO OPREDELENI@, KAK PREDELA INTEGRALXNOJ SUMMY WESXMA TRUDNAQ I GROMOZDKAQ OPE- RACIQ. sU]ESTWUET BOLEE LEGKIJ PUTX WY^ISLENIQ, OSNOWANNYJ NA PRIMENENII SLEDU@]EJ TEOREMY.
t E O R E M A. wELI^INA OPREDELENNOGO INTEGRALA RAWNA RAZNOSTI ZNA^ENIJ L@BOJ PERWOOBRAZNOJ OT PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII, WZQTYH PRI NIVNEM I WERHNEM PREDELAH INTEGRIROWANIQ
tAKIM OBRAZOM, ESLI F(x) ESTX KAKAQ-LIBO PERWOOBRAZNAQ DLQ FUNK- CII f(x), TO SPRAWEDLIWO RAWENSTWO
b |
|
b |
|
aZ |
f(x) dx = F (x) |
a |
= F (b) ; F(a): |
|
|
|TA FORMULA NAZYWAETSQ FORMULOJ nX@TONA-lEJBNICA.
wWEDENNAQ FORMULA POZWOLQET TEPERX SFORMULIROWATX NE TOLXKO RAZ- LI^IE, NO I SHODSTWO NEOPREDELENNOGO I OPREDELENNOGO INTEGRALOW.
r A Z L I ^ I Q.
nEOPREDELENNYJ INTEGRAL ESTX SEMEJSTWO PERWOOBRAZNYH FUNKCIJ F (x) + C I W GEOMETRI^ESKOM SMYSLE ESTX SEMEJSTWO INTEGRALXNYH LINIJ { GRAFIKOW WSEH PERWOOBRAZNYH FUNKCIJ, POLU^A@]IHSQ PRI NEPRERYWNOM PARALLELXNOM PEREME]ENII L@BOJ IZ NIH PO WERTIKA- LI.
oPREDELENNYJ INTEGRAL ESTX KONKRETNOE ^ISLO, KOTOROE S GEOMET- RI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ UDOBNO TRAKTOWATX KAK PLO]ADX SOOTWETSTWU- @]EJ KRIWOLINEJNOJ TRAPECII.
s H O D S T W O (SWQZX).
nESMOTRQ NA RAZLI^NU@ PRIRODU NEOPREDELENNOGO I OPREDELENNOGO INTEGRALOW, MEVDU NIMI ESTX MNOGO OB]EGO. |TO KASAETSQ NE TOLX- KO WNE[NEGO SHODSTWA, NO I SWOJSTW \TIH INTEGRALOW I METODOW IH WY^ISLENIQ. kROME \TOGO, WSQKIJ OPREDELENNYJ INTEGRAL, SOGLASNO FORMULE nX@TONA{lEJBNICA, ESTX PRIRA]ENIE PERWOOBRAZNOJ FUNK- CII NA OTREZKE [a b] : F = F (b) ; F(a):
57
2.2. wY^ISLENIE OPREDELENNOGO INTEGRALA
fORMULA nX@TONA{lEJBNICA, SWQZYWA@]AQ WY^ISLENIQ OPREDELEN- NOGO I NEOPREDELENNOGO INTEGRALOW, POZWOLQET SDELATX WYWOD, ^TO WSE METODY NEOPREDELENNOGO INTEGRIROWANIQ MOVNO S OPREDELENNY- MI OGOWORKAMI PERENESTI NA SLU^AJ OPREDELENNOGO INTEGRIROWANIQ.
2.2.1. nEPOSREDSTWENNOE INTEGRIROWANIE
k \TOMU METODU MY OTNESLI TAKIE INTEGRALY, PRI RE[ENII KO- TORYH ISPOLXZU@TSQ TABLICY NEOPREDELENNYH INTEGRALOW I PODWEDE- NIQ POD ZNAK DIFFERENCIALA, SWOJSTWA INTEGRALOW I FORMULA nX@TONA- lEJBNICA, SOGLASNO KOTOROJ MY SNA^ALA NAHODIM PERWOOBRAZNU@ FUNK- CI@, A ZATEM WY^ISLQEM RAZNOSTX EE ZNA^ENIJ W WERHNEM I NIVNEM PREDELAH INTEGRIROWANIQ. rASSMOTRIM PRIMERY.
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1: Z p |
x |
|
|
3 ; 5p |
x |
dx = Z |
|
|
3p |
x |
; 5p |
x |
p |
x |
|
dx = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Z1 |
3x1=3 ; 5x5=6 |
|
|
|
|
dx |
|
= 3 Z1 x1=3 dx ; 5 Z1 x5=6 dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
xn+1 |
|
|
|
|
|
|
x4=30 1 |
|
|
|
x11=6 10 |
|
|
|
9 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
30 |
|
1 |
||||||||||||||||||||||
= Z xn dx = |
|
|
|
|
= 3 4=3 0 ; 511=6 |
|
0 = |
4 x4=3 |
|
; |
|
11 x11=6 |
|
0 = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n + 1 |
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
; |
30 |
|
|
|
|
21 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
(1 ; 0) ; |
11(1 ; 0) = 4 |
11 |
|
= ;44 ;0 48: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
;1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
;1 d (5x + 11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
dU |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2: |
|
Z |
|
|
|
|
|
= |
|
|
Z |
|
|
|
|
|
= |
|
Z |
|
|
|
= |
; |
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
(11 + 5x)2 |
5 |
|
|
|
(11 + 5x)2 |
|
|
|
U2 |
U |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1;2 |
1 |
|
|
|
;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
;2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
1 |
||||||||||||||||
= ; |
|
|
|
|
|
2 = ;5 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
! = ; |
|
; 1! = |
6: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 11 + 5x |
|
; |
11 |
; |
5 |
11 |
; |
10 |
|
5 6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3: |
|
|
1 |
|
|
dx |
|
= |
|
|
1 |
(1 + ex) |
; ex |
dx = |
|
1 |
1 |
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
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dx = |
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|||||||||||||||||||||||||||
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Z |
1 + ex |
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Z |
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Z |
; |
1 + ex ! |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 + ex |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
;1 |
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1 |
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;1 |
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|
;1 |
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|||||||||
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d |
(ex + 1) |
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Z dx = x |
Z |
dU |
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||||||||||||||||||||||||||||
= Z dx ; Z |
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1 + ex |
|
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|
= |
|
U |
|
|
= ln U |
|
= |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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;1 1 |
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;1 |
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1 |
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||||||||||
= x |
; |
1 ; ln j 1 + ex j |
; |
1 = 1 ; (;1) ; |
ln j 1 + e j ; ln j 1 + e;1 j = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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1 + e |
|
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(1 + e)e |
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|||||||||||||||||
= 2 ; ln |
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= 2 |
|
; ln |
|
|
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= 2 ; ln e = 2 ; 1 = 1: |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 + 1=e |
|
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|
e + 1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
58 |
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16 |
|
|
|
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16 |
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||
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dx |
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px + 9 + px |
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Z |
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Z |
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|||||||||||||||||||
|
4: |
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p |
|
|
|
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|
|
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|
|
= |
|
p |
|
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|
|
p |
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|
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dx |
= |
|
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|||||||||||
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x + 9 |
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px |
( |
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px) |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
; |
|
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x + 9 + px) ( x + 9 |
; |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
0 |
|
|
|
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|
0 |
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||||
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|
p |
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|
|
|
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|
16 p |
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||||||||
|
16 |
|
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x + 9 + px |
|
|
|
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|
|
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|
x + 9 + px |
|
|
|
|
|
|
16 p |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
Z ( |
p |
|
|
|
|
|
dx |
= |
Z |
|
|
|
dx = |
Z |
|
|
x + 9 + px |
dx = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
2 |
|
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|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(px) |
|
|
|
x + 9 |
; |
x |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x + 9) |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
16 |
|
|
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|
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|
|
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|
|
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|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
|
1 |
|
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|
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1 |
|
|
2 |
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16 |
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|||||||
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(px + 9 + px) dx = |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
9 Z |
9 |
3 |
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(x |
+ 9)3=2 + x3=2 |
|
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j0 |
|
= |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
0 |
|
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|||
= |
2 |
|
|
|
253=2 |
; |
93=2 |
+ 163=2 |
|
= |
|
|
2 |
|
53 |
; |
33 |
+ 43 |
|
= 2 |
34 |
|
|
2 5: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
27 |
|
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|
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|
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|
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|
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27 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
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|
2.2.2. iNTEGRIROWANIE PO ^ASTQM
iNTEGRIROWANIE PO ^ASTQM W OPREDELENNOM INTEGRALE PROWODITSQ PO FORMULE
|
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|
|
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b |
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b |
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|
|
b |
|
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|||
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aZ |
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U dV = U V |
a ; |
Za |
V dU. |
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U = x |
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dU = dx |
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5: Z1 x 32x dx = |
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
2x |
dx V = Z 3 |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
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|
2x |
|
= |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||
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|
|
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|
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dV = 3 |
|
dx = 2 ln 3 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
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|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
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|
Z 32x |
|
|
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|
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|
1 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= x |
|
|
|
|
|
32x j0 ; |
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
32x j0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32x |
j0 |
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 ln 3 |
|
2 ln 3 |
2 ln 3 |
4 ln2 3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
9 ln 3 |
; 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
30 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
2 |
64: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
; |
4 ln2 3 |
; |
|
|
|
|
|
; 4 ln2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 ln 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ln 3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 ln2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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dx |
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|
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|
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|
|
||
|
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U = arcsin px |
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|
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|||||||||||||||||||
|
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1=4 arcsin p |
|
|
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|
|
|
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|
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dU = |
2p |
|
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|
p |
|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 ; x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6: |
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Z |
|
p1 |
; |
x |
|
dx = |
|
|
dV = p dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
V = 2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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1=4 |
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1 ; x |
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dx |
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= ;2p1 ; x arcsin px j01=4 + Z |
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2p1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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; x |
2p |
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p |
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= |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
1 x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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0 |
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;p |
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||
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p |
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p |
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1=4 |
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1=4 dx |
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p |
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|
|
|
|
|
|
1=4 |
|
|
|
p |
|
1=4 |
|
||||||||||||||||||||||||
= ;2 |
1 ; x arcsin |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x j0 |
|
|
+ Z |
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px = ;2 |
|
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1;x arcsin |
xj0 |
|
|
+2 |
|
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xj0 |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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0 |
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|
|
= ;2q |
|
arcsin(1=2) ; 0 + 2(1=2) ; 0 = ;p |
|
6 + 1 0 1: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3=4 |
3 |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
59 |
2.2.3. zAMENA PEREMENNOJ. pODSTANOWKA
pRAWILO ZAMENY PEREMENNOJ W OPREDELENNOM INTEGRALE TREBUET K SEBE ZNA^ITELXNO BOLX[EGO WNIMANIQ, ^EM ANALOGI^NOE PRAWILO W NEOPREDELENNOM INTEGRALE. sFORMULIRUEM EGO.
pRAWILO ZAMENY PEREMENNOJ W OPREDELENNOM INTEGRALE.
eSLI FUNKCIQ f(x) NEPRERYWNA W INTERWALE [a b], A FUNKCIQ '(t) MO- NOTONNA I NEPRERYWNA WMESTE SO SWOEJ PROIZWODNOJ W INTERWALE [ ], PRI^EM '( ) = a '( ) = b, TO IMEET MESTO FORMULA
b |
|
Za |
f(x) dx = Z f [ (' (t) ] '0(t) dt: |
|TA FORMULA I NAZYWAETSQ FORMULOJ PODSTANOWKI ILI ZAMENY PERE- MENNOJ W OPREDELENNOM INTEGRALE.
sHEMA PRIMENENIQ SPOSOBA PODSTANOWKI DLQ WY^ISLENIQ INTEGRALA WYGLQDIT SLEDU@]IM OBRAZOM.
1) wYBRATX PODSTANOWKU (SDELATX ZAMENU PEREMENNOJ)
x = '(t) TAK ^TOBY FUNKCIQ '(t) BYLA NEPRERYWNOJ I MONOTONNOJ W INTERWALE [ ]:
2)nAJTI dx = '0(t) dt PRI^EM PROIZWODNAQ '0(t) TAKVE DOLVNA BYTX NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ.
3)pODYNTEGRALXNU@ FUNKCI@ f(x) PREOBRAZOWATX S U^ETOM WY- BRANNOJ PODSTANOWKI.
4)sMENITX PREDELY INTEGRIROWANIQ, T.E. W SOOTWETSTWII S PRO-
IZWEDENNOJ ZAMENOJ NAJTI ZNA^ENIQ PEREMENNOJ |
t: |
t1 |
= |
I |
t2 = SOOTWETSTWU@]IE ZNA^ENIQM PEREMENNOJ |
x: |
x1 |
= a |
I |
x2 = b: |
|
|
|
|
5) pODSTAWITX WSE W ISHODNYJ INTEGRAL I WY^ISLITX EGO.
iTAK, SHEMA DEJSTWIJ PRI ZAMENE PEREMENNOJ W OPREDELENNOM IN- TEGRALE TA VE, ^TO I W NEOPREDELENNOM. rAZNICA SOSTOIT LI[X W TOM, ^TO POSLE WYPOLNENENIQ INTEGRIROWANIQ NE NUVNO WOZWRA]ATXSQ K STAROJ PEREMENNOJ x A WY^ISLENIQ PROWODITX DLQ PEREMENNOJ t W INTERWALE [ ]:
60
|
p |
|
|
=2 |
|
|
|
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x = sin t |
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|||||||||||||
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3 |
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dx |
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||||||||||||||||||||
7: |
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Z |
|
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x p |
|
= |
|
dx = cos t dt |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
1 |
|
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x2 |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||
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|
|
p1 |
|
|
x2 = cos t |
||||||||||||||||||||||||||||
|
1=2 |
|
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|
; |
|
|
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|
; |
|||||||||||||||||||||||||
=3 |
|
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=3 |
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=3 |
|||||||
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cos t dt |
|
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|
dt |
|
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t |
|
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|||||||||||||||||||||
= Z |
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= Z |
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|||||||||||||||||||||
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|
= ln |
tg |
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
sin t |
|
cos t |
|
sin t |
|
2 |
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|
|
=6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
=6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
=6 |
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||||||
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p |
|
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|
= t |
|
||||||||||
|
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|
|
|
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|
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3x + 1 |
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||||||||||||||
|
5 |
|
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|
dx |
|
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|
3x + 1 = t2 |
|
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|||||||||||||||||||
8: Z |
|
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|
|
1 |
|
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|
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|
|
|
|||||||||||||
2x + p |
|
|
= x = |
(t2 |
; |
1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3x + 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
dx = |
3 |
t dt |
|
|
|||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
||||
|
|
|
|
|
|
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t dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
(t2 |
; |
1) + t |
t2 + |
3 |
|
t |
; |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
t = arcsin x
x1 |
= 1=2 |
|
) |
t1 = =6 |
|
||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
= =3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x2 = 3=2 ) t2 |
|
||||||||||||||
= ln |
|
tg |
|
|
; ln |
tg |
|
|
= |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
6 |
|
12 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= ln 0 577 |
; ln 0 268 0 77: |
||||||||||||||
|
t = p |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3x + 1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
x1 = 0 |
|
t1 = 1 |
|
= |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x2 = 5 |
|
t2 = 4 |
|
pOLU^ILI INTEGRAL S KWADRATNYM TREH^LENOM W ZNAMENATELE. nE BUDEM PRIWODITX PODROBNYH WYKLADOK, ZAPI[EM OKON^ATELXNYJ RE- ZULXTAT
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
t |
|
1=2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
|
ln j t2 + |
|
|
t ; 1 j 1 ; |
|
|
ln |
|
|
|
|
t;+ 2 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
2 |
|
10 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
7=2 |
|
|
|
|
|
1=2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
21 |
|
2 3 |
|
|
|
|
|
7 |
|
6 |
|
||||||||||||||
= |
|
ln 21 |
|
|
ln |
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
= |
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
= |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
6 ; |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 ; 10 |
|
|
|
|
|
12 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2! ; 10 0 |
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
ln 14 ; |
3 |
|
ln |
7 |
|
0 94: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
10 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg 2 |
= t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = tg |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
=2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
x = 2 arctg t |
|
|
|
x1 = 0 |
|
|
|
|
|
t1 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
9: |
Z |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
2 dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
x2 = =2 |
|
|
|
|
t2 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 + cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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cos x = |
1 |
; t22 |
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1 |
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2 dt |
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1 |
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1 + t |
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1 |
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dt |
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2 |
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t |
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1 |
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|||||||||||
= Z |
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= 2 |
Z |
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= p3 |
arctgp3 |
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0 |
= |
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2 + |
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1;t2 |
1 + t2 |
3 + t2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
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2 |
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0 |
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1+t |
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2 |
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1 |
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|||||||
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= p |
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arctgp |
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; arctg 0! = |
3p |
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0 6: |
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3 |
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3 |
3 |
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