glv_1
.pdf
|
1: |
Z |
x5 + x4 |
; 8 dx: |
||
|
x3 |
; |
4x |
|||
|
|
|
|
|
|
pODYNTEGRALXNAQ DROBX QWLQETSQ NEPRAWILXNOJ, PO\TOMU PREVDE WSE- GO NEOBHODIMO WYDELITX CELU@ ^ASTX I PREDSTAWITX DROBX W WIDE SUMMY CELOJ ^ASTI I PRAWILXNOJ DROBI. tAKOE RAZLOVENIE DLQ DAN- NOJ DROBI MY UVE ZAPISYWALI WY[E, PO\TOMU WOSPOLXZUEMSQ POLU- ^ENNYM REZULXTATOM
|
|
|
x5 + x4 ; 8 = (x2 + x |
+ 4) + |
4x2 + 16x ; 8: |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x3 ; 4x |
|
|
|
|
|
|
x3 |
; |
4x |
|
|
|
|
||||
pO\TOMU ISHODNYJ INTEGRAL BUDET RAWEN SUMME |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Z |
x5 + x4 ; 8 dx = |
Z |
(x2 + x |
+ 4) dx + |
Z |
4x2 + 16x ; 8 |
dx: |
|
|||||||||||
|
x3 |
; |
4x |
|
|
|
|
|
x3 |
4x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Z (x2 + x + 4) dx = |
x3 |
x2 ; |
|
|
|
|
||||||||
pERWYJ INTEGRAL |
|
3 + |
2 + 4x + C1: |
|
||||||||||||||||
nAHODIM WTOROJ INTEGRAL, DLQ ^EGO : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1) |
rASKLADYWAEM ZNAMENATELX NA PROSTYE SOMNOVITELI |
|
||||||||||||||||||
2) |
|
|
|
x3 |
; |
4x = x(x2 ; 4) = x |
(x ; 2) |
(x + 2): |
|
|||||||||||
wYPISYWAEM PODYNTEGRALXNU@ DROBX I RASKLADYWAEM EE NA |
||||||||||||||||||||
SUMMU PROSTEJ[IH DROBEJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
4x2 + 16x ; 8 |
= A + |
B |
|
+ |
|
C |
|
|
|
(?) |
|||||
|
|
|
|
|
x ; 2 |
|
x + 2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x (x ; |
2) |
|
(x + 2) |
x |
|
|
|
|
|||||||
w DANNOM SLU^AE MY IMEEM SOMNOVITELI I-GO TIPA I KAVDOMU SOMNO- |
||||||||||||||||||||
VITEL@ W RAZLOVENII ZNAMENATELQ SOOTWETSTWUET ODNA PROSTEJ[AQ |
||||||||||||||||||||
DROBX I-GO TIPA (SM. TABL. 1.5, 1.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3) |
nAHODIM NEOPREDELENNYE KO\FFICIENTY A B |
C: dLQ \TOGO |
||||||||||||||||||
PRIWODIM K OB]EMU ZNAMENATEL@ DROBI W PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA |
||||||||||||||||||||
|
4x2 + 16x ; 8 |
= A(x ; 2)(x + 2) + B x (x + 2) + C x (x ; 2): |
||||||||||||||||||
|
x (x ; 2) (x + 2) |
|
|
|
|
x (x ; 2) (x + 2) |
|
|
||||||||||||
iZ RAWENSTWA DWUH DROBEJ S RAWNYMI ZNAMENATELQMI SLEDUET I RA- |
||||||||||||||||||||
WENSTWO IH ^ISLITELEJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4x2 + 16x ; 8 = A(x ; 2)(x + 2) + B x (x + 2) + C x (x ; 2) |
(??) |
|TO RAWENSTWO SPRAWEDLIWO DLQ L@BYH ZNA^ENIJ x: dLQ NAHOVDENIQ TREH NEOPREDELENNYH KO\FFICIENTOW MOVNO W POLU^ENNOE RAWENSTWO PODSTAWITX L@BYE TRI ZNA^ENIQ x I POLU^ITX TRI SOOTNO[ENIQ DLQ NAHOVDENIQ KO\FFICIENTOW A B C:
33
oTMETIM, ^TO NAIBOLEE RACIONALXNO ISPOLXZOWATX TE ZNA^ENIQ x KOTORYE QWLQ@TSQ KORNQMI ZNAMENATELQ, W NA[EM SLU^AE \TO ^ISLA
0 2 ;2:
pODSTAWLQEM POO^EREDNO \TI ZNA^ENIQ W RAWENSTWO (? ?) I POLU^AEM
|
|
|
PRI |
|
x = 0 : |
|
|
;8 = A(;2)(2) |
=) |
|
A = 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
PRI |
|
x = 2 : |
|
|
40 = B(2)(4) |
|
|
|
|
=) |
|
B = 5 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
PRI |
|
x = ;2 : |
|
;24 = C(;2)(;4) |
=) |
|
C = ;3: |
|
|
|||||||||||||||||||
nAJDENNYE KO\FFICIENTY PODSTAWLQEM W RAZLOVENIE DROBI (?) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4x2 + 16x ; |
8 |
= 2 + |
|
5 |
|
|
+ |
;3 |
: |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ; 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4) |
|
|
|
|
|
x (x ; |
2) |
(x + 2) |
|
x |
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
iNTEGRIRUEM PROSTEJ[IE SLAGAEMYE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
4x2 + 16x |
; 8 |
|
|
dx = |
|
2 |
dx + |
|
5 |
|
|
dx + |
|
|
;3 |
dx = |
||||||||||||||
Z |
x (x ; 2) (x + 2) |
|
Z x |
Z |
|
|
x ; 2 |
Z |
x + 2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
= 2 Z |
dx |
|
|
d(x |
2) |
; 3 Z |
d(x + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x + 5 Z |
x |
|
;2 |
|
|
|
x + 2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2(x |
2)5 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= 2 ln j x j + 5 ln j x ; 2 j ; 3 ln j x + 2 j + C2 = ln |
|
(x +;2)3 |
|
+ C2: |
|||||||||||||||||||||||||||
sUMMIRUEM \TOT REZULXTAT S REZULXTATOM INTEGRIROWANIQ CELOJ ^AS- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
TI ISHODNOJ DROBI I POLU^AEM OKON^ATELXNO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Z |
x5 + x4 ; 8dx |
= x3 |
+ x2 |
+ 4x |
+ ln |
x2(x ; |
2)5 |
+ C: |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
x3 |
; |
4x |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
(x + 2)3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C). |
|
|
|
|
||||
(KONSTANTY C1 C2 OB_EDINENY W ODNU KONSTANTU |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2: |
Z |
|
|
|
x2 |
|
dx: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(x2 |
; |
3x + 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pODYNTEGRALXNAQ DROBX QWLQETSQ PRAWILXNOJ, PO\TOMU INTEGRIRO-
WANIE PROWODIM PO SHEME: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
rASKLADYWAEM ZNAMENATELX NA PROSTYE SOMNOVITELI |
|
||||||||||
2) |
(x2 ; 3x + 2)2 = ((x ; 1)(x ; 2))2 = (x ; 1)2(x ; 2)2: |
|
||||||||||
wYPISYWAEM PODYNTEGRALXNU@ DROBX I RASKLADYWAEM EE NA |
||||||||||||
SUMMU PROSTEJ[IH DROBEJ (SM. TABL. 1.5, 1.6) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
x2 |
A |
|
B |
C |
|
D |
|
|||
|
|
= |
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
|
(?) |
|
34 |
(x ; 1)2 (x ; 2)2 |
(x ; 1)2 |
x ; 1 |
(x ; 2)2 |
x ; 2 |
3) nAHODIM NEOPREDELENNYE KO\FFICIENTY A B, C D: dLQ \TOGO PRIWODIM K OB]EMU ZNAMENATEL@ DROBI W PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA (PRI^EM,O^EWIDNO, OB]IM ZNAMENATELEM QWLQETSQ ZNAMENATELX DROBI W LEWOJ RAWENSTWA) I WYPISYWAEM RAWENSTWO ^ISLITELEJ
x2 = A(x;2)2+B (x;1) (x;2)2+C (x;1)2+D (x;1)2 (x;2) (??)
|TO RAWENSTWO SPRAWEDLIWO DLQ L@BYH ZNA^ENIJ x: iSPOLXZUEM SNA- ^ALA TE ZNA^ENIQ x KOTORYE QWLQ@TSQ KORNQMI ZNAMENATELQ, W NA- [EM SLU^AE \TO ^ISLA 1 I 2: pODSTAWLQEM POO^EREDNO \TI ZNA^ENIQ W RAWENSTWO (? ?) I POLU^AEM
PRI x = 1 |
: IMEEM |
1 |
= A(;1)2 |
2 |
=) |
A = 1 |
|
PRI x = 2 |
: |
4 |
= C(1) |
|
=) |
C = 4: |
|
tAK KAK BOLX[E DEJSTWITELXNYH KORNEJ U ZNAMENATELQ NET, WOZXMEM |
|||||||
L@BOE ZNA^ENNIE x I PODSTAWIM W RAWENSTWO (? ?) |
|
||||||
PRI x = 0 : |
IMEEM 0 = 4A ; 4B + C ; |
2D: |
|||||
pODSTAWIM POLU^ENNYE RANEE ZNA^ENIQ A I C I POLU^IM |
0 = 4 ; 4B + 4 ; 2D =) 2B + D = 4:
tREBUETSQ SOSTAWITX E]E ODNO URAWNENIE, SWQZYWA@]EE KO\FFICIEN- TY B I D. mOVNO SNOWA WZQTX KAKOE-LIBO ZNA^ENIE x I PODSTAWITX W RAWENSTWO (? ?), NO MOVNO ISPOLXZOWATX I TAKOJ PRIEM: PRIRAWNQTX KO\FFICIENTY PRI ODINAKOWYH STEPENQH x W LEWOJ I PRAWOJ ^ASTQH RAWENSTWA (? ?). w NA[EM SLU^AE LEGKO UWIDETX, ^TO PRI RASKRYTII SKOBOK W PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA ^LENOW S x3 BUDET DWA: Bx3 I Dx3 A SLEWA ^LENA S x3 NET WOOB]E, PO\TOMU URAWNIWAQ KO\FFICIENTY PRI
x3 W LEWOJ I PRAWOJ ^ASTQH RAWENSTWA, POLU^IM |
0 = B + D: iTAK, |
||||||||||||||||||||||||||
DLQ NAHOVDENIQ B I D IMEEM PROSTU@ SISTEMU |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
8 |
2B + D = 4 |
= |
|
B |
= 4 D = |
; |
4: |
|
|
|
|||||||||||||||||
< |
B + D = 0 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tAKIM OBRAZOM, PODYNTEGRALXNAQ DROBX ZAPI[ETSQ W WIDE SUMMY |
|||||||||||||||||||||||||||
PROSTEJ[IH DROBEJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x2 |
|
|
= |
1 |
|
+ |
|
4 |
|
+ |
|
|
4 |
+ |
;4 |
: |
|||||||||
|
|
(x ; 1)2 (x ; |
2)2 |
(x ; 1)2 |
x ; 1 |
|
(x ; 2)2 |
x ; 2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
4) iNTEGRIRUQ PO^LENNO, POLU^IM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x2 dx |
|
= |
|
|
dx |
+ |
|
|
4 dx |
|
+ |
|
4 dx |
|
|
|
+ |
;4 dx = |
|||||||
Z (x ; 1)2 (x ; 2)2 |
Z |
|
(x ; 1)2 |
Z x ; 1 |
Z (x ; 2)2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Z |
x ; 2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
= ;x ; 1 + 4 ln j x ; 1 j + ;x ; 2 ; 4 ln j x ; 2 j + C:
35
3: Z |
dx |
: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(x2 + x)(x2 + 1) |
|
|
|
|
|
|||||
1) |
rASKLADYWAEM ZNAMENATELX NA PROSTYE SOMNOVITELI |
|||||||||
|
|
|
(x2 + x)(x2 + 1) = x(x + 1)(x2 + 1): |
|
||||||
2) |
wYPISYWAEM PODYNTEGRALXNU@ DROBX I RASKLADYWAEM EE NA |
|||||||||
SUMMU PROSTEJ[IH DROBEJ |
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
A |
|
B |
|
Cx + D |
|
||
|
|
|
|
= x |
+ |
|
+ x2 + 1 |
(?) |
||
|
|
|
x(x + 1)(x2 + 1) |
x + 1 |
||||||
w DANNOM SLU^AE MY IMEEM SOMNOVITELI I-GO I III-GO TIPOW, I KAV- |
||||||||||
DOMU SOMNOVITEL@ W RAZLOVENII ZNAMENATELQ SOOTWETSTWU@T SWOI |
||||||||||
PROSTEJ[IE DROBI (SM. TABL. 1.5, 1.6). pRIWODIM K OB]EMU ZNAMENA- |
||||||||||
TEL@ I PRIRAWNIWAEM ^ISLITELI |
|
|
|
|
|
|||||
1 = A(x + 1)(x2 + 1) + B x (x2 + 1) + Cx2 (x + 1) + D x (x + 1) (??) |
||||||||||
iMEEM DWA DEJSTWITELXNYH KORNQ x = 0 |
x = ;1. pODSTAWLQEM \TI |
|||||||||
ZNA^ENIQ W RAWENSTWO |
(??) I NAHODIM DWA NEOPREDELENNYH KO\FFI- |
CIENTA |
|
|
|
|
|
PRI |
x = 0 : IMEEM |
1 |
= A 1 1 |
=) |
A = 1 |
PRI |
x = ;1 : |
1 |
= B(;1)(2) |
=) |
B = ;1=2: |
~TOBY NAJTI OSTALXNYE KO\FFICIENTY, MOVNO LIBO PRIDATX PERE- MENNOJ x DWA PROIZWOLXNYH ZNA^ENIQ, LIBO PRIRAWNQTX KO\FFICIEN- TY PRI ODINAKOWYH STEPENQH x W LEWOJ I PRAWOJ ^ASTQH RAWENSTWA (??) I ISPOLXZOWATX UVE NAJDENNYE KO\FFICIENTY.
|
|
PRI |
x3 : IMEEM |
0 = A + B + C |
=) |
|
C = ;1=2 |
|
|||||||||||||
|
|
PRI |
x2 : |
|
0 = A + C + D |
=) |
|
D = ;1=2: |
|
||||||||||||
pODSTAWLQEM \TI ZNA^ENIQ W RAZLOVENIE ISHODNOJ DROBI |
(?) |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 1 |
1 |
|
1 |
|
|
x |
1 |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
= x ; 2 |
|
|
|
|
; 2 |
|
|
|
|
; 2 |
|
|
: |
|
||
|
|
x(x + 1)(x2 + 1) |
x + 1 |
x2 + 1 |
x2 + 1 |
|
|||||||||||||||
iNTEGRIRUQ, POLU^IM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dx |
|
|
|
dx |
1 |
|
|
dx |
1 |
|
|
x dx |
1 |
|
dx |
|
|||
Z |
|
= Z |
|
; 2 Z |
|
|
; 2 Z |
|
; 2 Z |
|
= |
||||||||||
x(x + 1)(x2 + 1) |
x |
x + 1 |
x2 + 1 |
x2 + 1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
= ln j x j ; |
2 ln j x + 1 j ; |
4 ln j x2 + 1 j ; 2 arctg x + C: |
36
dx
4: Z x3 ; 1
1) rASKLADYWAEM ZNAMENATELX NA PROSTYE SOMNOVITELI
(x3 ; 1) = (x ; 1)(x2 + x + 1):
w DANNOM SLU^AE MY IMEEM SOMNOVITELI I-GO I III-GO TIPOW, I KAV- DOMU SOMNOVITEL@ W RAZLOVENII ZNAMENATELQ SOOTWETSTWU@T SWOI PROSTEJ[IE DROBI (SM. TABL. 1.5, 1.6).
2) wYPISYWAEM PODYNTEGRALXNU@ DROBX I RASKLADYWAEM EE NA SUMMU PROSTEJ[IH DROBEJ
1 |
= |
A |
+ |
Bx + C |
(?) |
||
|
|
|
|
|
|||
2 |
x ; 1 |
2 |
|
||||
|
(x ; 1)(x + x + 1) |
|
|
x + x + 1 |
|
||
3) pRIWODIM K OB]EMU ZNAMENATEL@ I PRIRAWNIWAEM ^ISLITELI |
1 = A(x2 + x + 1) + B x (x ; 1) + C(x ; 1) (??) |
|
iMEEM ODIN DEJSTWITELXNYJ KORENX x = 1. pODSTAWLQEM \TO ZNA^ENIE |
|
W RAWENSTWO (??) I NAHODIM ODIN NEOPREDELENNYJ KO\FFICIENT |
|
PRI x = 1 : 1 = A 3 |
=) A = 1=3: |
~TOBY NAJTI KO\FFICIENTY B I C, |
MOVNO SNA^ALA PRIDATX PERE- |
MENNOJ x ZNA^ENIE, RAWNOE NUL@, A ZATEM PRIRAWNQTX KO\FFICIENTY,
NAPRIMER, PRI x2 W LEWOJ I PRAWOJ ^ASTQH RAWENSTWA |
|
(??). |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
PRI |
x = 0 : IMEEM 1 |
= A 1 + C (;1) |
=) |
|
C = ;2=3 |
|||||||||||||||||||||||
|
PRI |
x2 : |
IMEEM |
0 |
= A + B |
|
|
=) |
|
B = ;1=3: |
|||||||||||||||||||
|
pODSTAWLQEM \TI ZNA^ENIQ W RAZLOVENIE ISHODNOJ DROBI |
(?) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= |
|
1=3 |
|
+ |
; |
3 |
|
x ; 3 |
= 1 |
|
1 |
1 |
|
|
x + 2 |
|
: |
|
||||||
|
|
x3 ; 1 |
|
|
|
|
|
|
x ; 1 |
; 3 x2 + x + 1 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x ; 1 x2 + x + 1 3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
4) iSHODNYJ INTEGRAL RAZOBXETSQ NA SUMMU DWUH INTEGRALOW |
||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
1 |
|
|
dx |
1 |
|
|
x + 2 |
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|
|
|
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|||||||
Z |
|
= |
3 Z |
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; 3 Z |
|
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dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
x3 ; 1 |
x ; 1 |
|
x2 + x + 1 |
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||||
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
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|
|
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2x + 1 |
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||||||
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
= |
3 |
ln jx ; 1j ; 3 |
|
2 ln jx2 + x + 1j + p3 arctg |
p |
|
|
|
! + C: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
iNTEGRIROWANIE PERWOGO SLAGAEMOGO NE PREDSTAWLQET TRUDA, A WTOROJ INTEGRAL OTNOSITSQ K KLASSU INTEGRALOW, SODERVA]IH KWADRATNYJ TREH^LEN W ZNAMENATELE DROBI (cM. PRIMER 5, P.1.3.1.).
37
1.3.3. iNTEGRIROWANIE PROSTEJ[IH IRRACIONALXNOSTEJ
iNTEGRALY OT IRRACIONALXNYH FUNKCIJ UVE RASSMATRIWALISX PRI IZLOVENII METODOW INTEGRIROWANIQ. eSTX INTEGRALY OT IRRA- CIONALXNYH FUNKCIJ, KOTORYE MOVNO RE[ITX NEPOSREDSTWENNYM IN- TEGRIROWANIEM ILI PODWEDENIEM POD ZNAK DIFFERENCIALA. nO OSOBO \FFEKTIWNYM METODOM INTEGRIROWANIQ IRRACIONALXNOSTEJ QWLQET- SQ METOD PODSTANOWKI (SM. P.1.2.4). pRI INTEGRIROWANII WYRAVENIJ, SODERVA]IH IRRACIONALXNOSTI, WYBOR PODSTANOWKI DIKTUETSQ TEM, ^TO NEOBHODIMO IZBAWITXSQ OT IRRACIONALXNOSTI I NOWOJ IRRACIO- NALXNOSTI W HODE PREOBRAZOWANIQ PODYNTEGRALXNOGO WYRAVENIQ PO- QWITXSQ NE DOLVNO. pRI \TOM ISPOLXZU@TSQ KAK ALGEBRAI^ESKIE, TAK I TRIGONOMETRI^ESKIE PODSTANOWKI.
pROSTEJ[IE IRRACIONALXNOSTI
k PROSTEJ[IM IRRACIONALXNOSTQM OTNOSQTSQ FUNKCII, W KOTORYE WHODQT RADIKALY RAZLI^NYH STEPENEJ
|
|
|
OT |
x, |
|
ILI |
(ax + b) |
ILI |
|
|
ax + b |
: |
|
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|
|
|
|
|
cx |
+ d |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
w PODOBNYH INTEGRALAH IZBAWITXSQ OT IRRACIONALXNOSTI MOVNO, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
WWEDQ WMESTO |
|
x |
ILI |
(ax + b) |
|
ILI |
|
ax + b |
|
NOWU@ PEREMENNU@ tp |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
PRI^EM STEPENX p DOLVNA BYTX TAKOJ, |
cx |
+ d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
^TOBY IZWLEKALISX KORNI WSEH |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
STEPENEJ, WHODQ]IH W DANNU@ PODYNTEGRALXNU@ FUNKCI@. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
px dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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12 |
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|
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|
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|||||||
|
1: |
|
|
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= x = t12 t = px |
= t6 12t11 dt= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Z |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = 12t |
11 |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
Z |
t8 +t3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
px2 + px |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t17 dt |
|
|
|
|
|
t14 dt |
|
|
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9 |
|
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|
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|
|
|
|
|
t4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
= 12 Z |
t3(t5 +1) |
|
= 12 Z t5 +1 |
= 12 Z 0t |
;t |
|
+ |
t5 +1 |
1 dt= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
12 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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t10 t5 |
1 |
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|
p@x10 |
|
|
|
px5 |
|
1 A |
12 |
|
|
|
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|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||
= 12 010 ; 5 + 5 ln jt5 +1j1= 12 0 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 5 ln j px5 + 1j1+C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
@ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
A |
|
x |
@ |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||
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|
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|
|
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|||||||||||||
|
2: |
Z |
x + px2 + px |
dx = |
|
= t6 t = px |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
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|
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dx = 6t5 dt |
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|||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||
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||||||||||||||
|
x(1 + px) |
|
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|
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||||||||||||||||||||||
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|
t6 + t4 + t |
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5 |
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t5 |
+ t3 + 1 |
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|
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|
|
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|
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|
|
|
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||||||||||||||||||
|
= Z |
t6(1 + t2) |
6t dt = 6 Z |
|
|
1 + t2 |
|
|
|
dt = |
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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1 |
|
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|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||
|
|
|
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|
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|
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|
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|||||||
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|
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|
|
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|
|
|||||||
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|
|
3 |
|
|
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|
|
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4 |
|
|
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|
p 4 |
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|
|
6 |
|
|
||||||||||
|
= 6 Z (t + 1 + t2 ) dt = 6(t =4 + arctgt) = 6( |
|
|
|
p |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
=4 + arctg |
|
x) + C |
38
3:
=
=
=
|
|
p |
|
|
+ p |
|
|
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x = t12 t = p |
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x |
x |
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|
x |
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||||||||||||||||||||
Z |
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3 |
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12 |
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|
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|||
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|
|
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|
dx = |
|
dx = 12t11 |
dt |
|
|
|
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|
= |
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
6 |
|
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|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||
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px5 |
|
px7 |
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|||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
;4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
t |
3 |
+ t |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
t |
+ t |
|
|
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|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||||
Z |
t15 |
; t14 |
12t |
dt = 12 Z |
t |
; 1 |
dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
12 |
|
(t2 |
+ t |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
) dt = 12(t3=3 + t2=2 |
|
|
2t |
|
2 ln t |
|
1 |
|
) = |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Z12 |
|
|
|
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|
|
; |
; t |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
; |
j |
; |
|
j |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
2 px |
|
|
2 ln |
|
px |
|
1 |
|
|
) + C |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
12( px3=3 + |
px2=;2 |
|
; |
j |
; |
j |
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
; |
12 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||
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|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
4:
5:
6:
7:
8:
9:
= 6 Z
Z |
|
|
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|
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dx |
|
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= |
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x = t10 |
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= |
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5 |
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dx = 10t9 |
dt |
|
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|||||||||||||||||
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|
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|
|
|||||||||||||||||
|
x(px + px2) |
|
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|
10t9 dt |
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|
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|
|
|
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|
|
= Z |
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= 10 Z |
|
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|
|
|
dt |
|
|
|
= : : : |
||||||||||||||||||||||
|
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|
|
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t10(t5 + t4) |
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|
t5(t + 1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Z |
|
|
|
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|
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|
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|
|
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dx |
|
|
|
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3x + 2 = t6 x = |
|
1 |
(t6 |
|
; |
2) |
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|||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
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|
+ p3 |
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dx = |
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dx = 2t5 dt |
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3 |
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|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3x + 2 |
3x + 2 |
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2t5 dt |
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t3 dt |
|
|||||||||||
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|
|
|
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|
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|
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= Z |
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|
|
|
|
|
= 2 Z |
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= : : : |
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p |
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t3 + t2 |
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t + |
1 |
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x + 1 = t6 x = t6 |
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Z |
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1 |
; |
x + 1 |
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dx = |
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; |
1 |
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= |
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3 |
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dx = 6t5 dt |
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x + 1 + px + 1 |
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t3 |
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= |
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1 |
; t3 |
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6t5 |
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dt = 6 |
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; t6 |
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dt = : : : |
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Z t6 |
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Z |
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+ t2 |
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p |
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+ p |
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t4 |
+ 1 |
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dx = x ; 3 = t4 x = t4 + 3 = |
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|
x ; 3 |
x |
; 3 |
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|
4 |
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Z |
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p |
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dx = 4t3 dt |
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x ; 3 + 1 |
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t + t |
2 |
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4 |
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5 |
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= Z |
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4t |
3 |
dt = 4 Z |
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t |
|
+ t |
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dt = : : : |
|||||||||||||||||||||||
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t2 + 1 |
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t2 + 1 |
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1 |
; x |
|
= t2 |
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||||||
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v |
1 |
|
; x dx |
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Z |
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= 1 + x |
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2 |
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= |
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u |
1 + x |
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|
x |
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x = 1 |
; t |
|
dx = |
;4t dt |
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t |
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1 + t2 |
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(1 + t2)2 |
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= |
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t |
|
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;4t (1 + t2) |
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dt = |
|
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4 |
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|
t2 dt |
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|
= : : : |
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Z |
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; |
Z (1 + t2) (1 |
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t2) |
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(1 + t2)2 (1 |
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t2) |
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Z |
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dx |
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|
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|
= |
|
|
|
|
x = t |
6 |
dx;= 6t5dt = |
Z |
|
|
6t5dt |
|
|
= |
|
|
|
|
|
; |
|
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px + px |
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t2 +t3 |
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t = px |
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3 |
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6 |
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|||
t3dt |
= 6 |
|
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|
(t3 |
+1) |
;1dt |
= 6 |
|
|
(t+1)(t2 ;t+1) dt |
|
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|
6 |
|
|
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|
dt |
|
= ::: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t+1 |
Z |
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Z |
; |
Z t+1 |
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t+1 |
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t+1 |
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39
|
10: |
|
dx |
|
|
= x ; 2 = t2 dx = 2tdt |
|
= |
Z |
2tdt |
= |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Z px;2 + 4 |
|
t+4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x = t2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|||||||||
|
|
= 2 |
|
(t+4) ;4 dt = 2 |
|
dt |
|
8 |
|
|
|
dt |
= 2t |
|
; |
8 ln |
t+4 |
|
= |
||||||
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|||||||||||||||
|
|
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|
|
Z |
t+4 |
|
|
Z |
|
; |
|
Z |
|
|
t+4 |
|
|
|
j |
|
j |
|
||
|
|
|
|
|
|
= j t = px;2 j = 2px;2 ; 8 ln jpx;2+4j + C: |
oSNOWOJ CELX@ PRIWEDENNYH WY[E PRIMEROW BYLO UBEDITXSQ W TOM,^TO PRI UDA^NOJ ZAMENE INTEGRALY OT IRRACIONALXNYH FUNKCIJ PRIWO- DQTSQ K INTEGRALAM OT RACIONALXNYH DROBEJ (W NEKOTORYH SLU^AQH MOVET POLU^ITXSQ I CELAQ RACIONALXNAQ FUNKCIQ), INTEGRIROWANIE KOTORYH MY RASSMATRIWALI W PREDYDU]EM PARAGRAFE.
1.3.4. iNTEGRIROWANIE DIFFERENCIALXNYH BINOMOW
iNTEGRIROWANIE DIFFERENCIALXNYH BINOMOW, T.E. INTEGRALOW WIDA
Z xm ( a xn + b)p dx
WOZMOVNO TOLXKO W TREH SLU^AQH S POMO]X@ PODSTANOWOK ~EBY[EWA. eSLI ^ISLA m n p I IH UKAZANNYE KOMBINACII NE UDOWLETWORQ@T NI ODNOMU IZ SLU^AEW, TO INTEGRAL OT DANNOGO DIFFERENCIALXNOGO BINOMA QWLQETSQ NEBERU]IMSQ, T.E. NE WYRAVAETSQ W \LEMENTARNYH FUNKCIQH.
|
sLU^AI |
|
|
pODSTANOWKA |
|
|
|
|
|||
1) |
p { CELOE ^ISLO |
x = ts GDE s { OB]IJ ZNAMENATELX |
|||
|
|
|
|
DROBEJ n I m |
|
2) |
m + 1 |
;CELOE ^ISLO |
axn + b = ts, GDE s { ZNAMENATELX |
||
n |
|||||
|
|
|
|
DROBI p |
|
3) |
m + 1 |
+ p{ CELOE ^ISLO |
axn + b |
= ts GDE s{ ZNAMENATELX |
|
n |
xn |
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
DROBI p |
||
|
|
|
|
|
|
nIVE PRIWEDENY PRIMERY, ILL@STRIRU@]IE TO, ^TO DIFFERENCI- ALXNYJ BINOM S POMO]X@ PODSTANOWOK ~EBY[EWA PRIWODITSQ K RA- CIONALXNOJ FUNKCII, W ^ASTNOSTI K RACIONALXNOJ DROBI.
40
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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4 |
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||
11: Z px(1 + px)4 dx = Z x1=2 1 + x1=3 |
dx = |
|
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3 |
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||
= |
|
m = 1=2 |
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n = 1=3 |
p = 4 ; CELOE |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x = t6 dx = 6t5dt |
|
= Z t3 1 + t2 4 6t5 dt = 6 Z t8 1 + t2 4 dt = : : : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
12: |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
|
|
x;1 |
|
1 + x1=3 |
|
|
;3 |
dx = |
|
|
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||||||||||||||||
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|
Z x(1 + px)3 |
Z |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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3 |
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= |
|
m = ;1 |
|
|
|
n = 1=3 |
|
p = ;3 ; CELOE |
|
= |
|
|
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|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
= t3 dx = 3t2dt |
|
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= Z |
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3t2 dt |
|
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= 3 Z |
|
dt |
|
|
= : : : |
|||||||||||
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|
t3 (1 + t)3 |
t (1 + t)3 |
|||||||||||||||||||
|
13: |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
Z |
|
x;1(8 |
|
x2);1=3dx = |
|
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|||||||||||||||||||
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3 |
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Z x p8 |
; x2 |
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; |
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m = ;1 n = 2 p = ;1=3 |
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m + 1 |
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1 + 1 |
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; CELOE |
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||||||||||||
= |
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n |
= |
; |
2 |
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= 0 |
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= |
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8 ; x2 = t3 x = (8 ; t3)1=2 |
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dx = ;3t2(8 |
; |
t3);1=2 |
dt |
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2 |
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Z |
t2 |
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t3);1=2 dt |
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3 |
(8 |
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3 |
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t dt |
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= ;2 |
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(8 ; t3)1=2 t |
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= ;2 Z |
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= |
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(8 |
; |
t3) |
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;3 |
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t dt |
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= ;2 Z |
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= : : : |
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(2 |
; |
t) (4 + 2t + t2) |
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14: Z |
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dx |
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= Z x;2 1 + x3 ; |
5=3 |
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dx = |
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x2 |
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3 (1 + x3)5 |
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q |
n = 3 p = |
;5=3 |
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m = ;2 |
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m + 1 |
+ p = ;2 + 1 |
;5 |
= |
; |
2 |
; |
CELOE |
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n |
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3 |
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; |
3 |
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= |
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1 + x3 = t3 x3 x = (t3 |
; |
1);1=3 |
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= |
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dx = ;t2(t3 |
; |
1);4=3dt |
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(1 + x3);5=3 |
= (t3 x3);5=3 = t;5 x;5 |
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= t;5 (t3 ; 1)5=3 = ; Z (t3 ; 1)2=3 t;5 (t3 ; 1)5=3 t2 (t3 ; 1);4=3 dt =
=; Z (t3 ; 1) t;3 dt = ; Z (1 ; t;3) dt = : : :
41
15:
= 6 Z
Z |
|
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|
3 |
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2 |
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p |
CELOE |
x = t6 |
|
3 |
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4 |
2 5 |
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|||||
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||||||||||||||
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||||||||||||||
px (1+ px2) |
|
dx= |
dx;= 6t5dt |
|
= 6 Z t (1+t |
) t dt= |
||||||||||||||||||
8 |
4 |
8 |
|
|
|
|
|
8 |
|
12 |
|
16 |
|
t9 |
12 |
13 |
|
6 |
|
17 |
|
|||
t |
(1+2t |
+t |
)dt = 6 Z (t |
+2t |
|
+t |
|
)dt = 6 |
9 + |
13t |
|
+ |
17t |
|
= |
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2 |
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12 |
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6 |
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||||
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px3 |
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6 |
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6 |
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= |
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t = px |
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= |
+ |
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px13 + |
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px17 + C: |
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6 |
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3 |
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13 |
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17 |
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||||||
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p |
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dx |
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16: |
Z |
x |
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|
= |
Z |
x1=2(x3=2 +4);1=2dx = |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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qpx +4 |
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1 |
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3 |
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1 |
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m+1 |
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; CELOE |
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|
||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
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m = |
2 |
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|
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n = |
2 |
|
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|
p = ;2 |
|
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|
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|
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|
n |
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= 1 |
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|
= |
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x3=2+4 = t2 |
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x = (t2 |
;4)2=3 t = qpx3 + 4 |
= |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
2 |
|
2 |
|
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1=3 |
2tdt = |
4 |
|
|
|
2 |
;4); |
1=3 |
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||
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dx = |
3 |
(t ;4); |
|
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|
3t(t |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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1 |
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|
4 |
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|
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|
|
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|
1 |
|
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|
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|
|
|
4 |
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|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
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|
|
|
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|
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|
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||||||||||||||
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= Z (t2 |
;4)3 |
|
t;1 |
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;4);3 |
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2 |
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3 t (t2 |
dt = Z 3dt = |
3t = |
3qpx3 + 4 + C: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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17: |
Z |
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|
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|
dx |
|
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|
|
|
= |
Z |
x;3(2 |
|
; |
x3) |
; |
1 |
dx = |
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3 |
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n +p = ;1 ; CELOE |
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x3 = 2(t3 +1);1 |
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x = p2(t3 +1);3 |
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dx = ;p2 t2 (t3 +1);3 dt |
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x3);3 = t;1x;1 = t;1(p2);1 (t3 + 1)3 |
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= ; Z |
p2 t2 (t3 |
+1); |
3 |
2;1 (t3+1) t;1 2;3 |
( |
t3+1)3 |
dt = ; Z |
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dt = |
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2 |
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2 |
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3 |
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3 |
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3 |
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3 |
2 |
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t |
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= t |
= |
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; x ) |
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; 4 |
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; |
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