Шведенко Начала математического анализа 2011

171

sIMWOLY o I O POZWOLQ@T WIDOIZMENQTX (I ^ASTO SOKRA- ]ATX) ZAPISX STANDARTNYH FRAZ I UTWERVDENIJ KASATELXNO

PREDELOW FUNKCIJ. nAPRIMER, TO, ^TO lim f(x) = b, MOVNO

x!x0;0

ALXTERNATIWNO ZAPISATX W WIDE f(x) ; b = o(1) x ! x0 ;0 SIMWOLI^ESKIE VE RAWENSTWA

A) o(1) = O(1), B) o(1) o(1) = o(1), W) o(1)O(1) = o(1)

KRATKO WYRAVA@T SOOTWETSTWENNO UTWERVDENIQ:

A) FUNKCIQ, BESKONE^NO MALAQ (PRI x ! x0), QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ (W OKRESTNOSTI TO^KI x0)

B) SUMMA (I RAZNOSTX) DWUH BESKONE^NO MALYH FUNKCIJ ESTX BESKONE^NO MALAQ FUNKCIQ

W) PROIZWEDENIE BESKONE^NO MALOJ FUNKCII NA OGRANI- ^ENNU@ ESTX BESKONE^NO MALAQ FUNKCIQ.

sLEDUET OSOBO POD^ERKNUTX:

A) ZNAK = W SIMWOLIKE o I O NE QWLQETSQ ZNAKOM RAWEN- STWA W OBY^NOM SMYSLE (W ^ASTNOSTI, o(1) = O(1) | WERNOE UTWERVDENIE, A O(1) = o(1) | NET)

B) ZAPISX f(x) = o(1) (I EJ PODOBNYE) NE IMEET SMYSLA BEZ SOPROWOVDAEMOGO (ILI PODRAZUMEWAEMOGO) UKAZANIQ, K ^EMU STREMITSQ PEREMENNAQ x (NAPRIMER, sin x = o(x) x ! 1, | WERNOE UTWERVDENIE, A sin x = o(x) x !0, | NET).

wESXMA ^ASTO OPERIRU@T SOOTNO[ENIQMI TIPA

o(g(x)) = o(1) I o(g;x) h(x) = o;g(x)h(x)

g(x)

(A TAKVE IH ANALOGAMI DLQ O)1 I \BOLEE PRODWINUTYMI"

1 kAVDOE IZ NIH PREDPOLAGAET STREMLENIE x K NEKOTOROMU ZNA^E- NI@ x0 I NAPRQMU@ WYTEKAET IZ OPREDELENIJ: ESLI f(x) = o;g(x)

(SOOTWETSTWENNO, f(x) = O;g(x) ) PRI x ! x0, TO OTNO[ENIQ f(x) I g(x)

f(x)h(x)

g(x)h(x) OKAZYWA@TSQ (PRI x!x0 ) BESKONE^NO MALYMI (SOOTWETSTWEN-

NO, OGRANI^ENNYMI).

172

o;g(x) O;h(x) = o;g(x)h(x) O;g(x) O;h(x)

= O;g(x)h(x)

o O(g(x) = o g(x) O O(g(x) = O g(x)

O o(g(x) = o g(x) .

; wOT,

K PRIMERU; , DOKAZATELXSTWA; ; PERWOGO;I POSLEDNEGO;

IZ

\TOGO SPISKA:

ESLI (PRI x ! x0) f1(x) = o g(x) , A f2(x) = O h(x) , T. E.

OTNO[ENIE

f1(x)

STREMITSQ K NUL@

,

A OTNO[ENIE

f2(x)

OSTA-

g(x)

;h(x)

;

ETSQ OGRANI^ENNYM, TO OTNO[ENIE

f1(x)f2(x)

STREMITSQ K

g(x)h(x)

NUL@, A POTOMU f1(x)f2(x) = o g(x)h(x)

(PRI x!x0)

ESLI

(

PRI x

x

0)

f x

O h x

A

h x

o g x

T

.

E

.

( ) =

;

( ) ,

( ) =

( ) ,

f(x)

!

h(x)

OTNO[ENIE

A OTNO[ENIE

h(x)

OSTAETSQ OGRANI^ENNYM,

g(x)

;

;

STREMITSQ K NUL@,

TO OTNO[ENIE

f(x)

= f(x) h(x)

STREMIT-

g(x)

h(x) g(x)

SQ K NUL@, A \TO I OZNA^AET, ^TO f(x) = o g(x)

(PRI x!x0).

fUNKCII y = f(x) I y = g(x) S^ITA@T

\KWIWALENTNYMI

;

PRI x

!

x0 (ZAPISX:

f(x)

g(x) x

!

x0),

ESLI

lim

f(x)

= 1.

x!x0 g(x)

wOT PRQMOE SLEDSTWIE PRIWEDENNYH OPREDELENIJ.

f(x) g(x) x

! x0 ,

W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE,

KOGDA

g(x)

f(x) x ! x0, I W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE,

KOGDA

f(x) = g(x) + o g(x) x!x0.

pRIMERY

2

3

2

2

3

3

. 1. x

+x

x

x

!

0,

NO

x

+x

x

x

! 1

.

;

> 0.

2. ln x = o(x ) x

+

, PRI L@BOM

w SILU OPRE-

! 1def

t

t

2

t

n

t

2

>

DELENIQ \KSPONENTY exp t = lim

1+

+

+

+

n!

;

1!

2!

;

2!

n!+1

t

t

DLQ t > 0, IZ ^EGO SLEDUET, ^TO

lim

> lim

2

= 0 POLA-

t!+1 exp t

t!+1 t =2!

GAQ ln x

= t, MOVNO ZAKL@^ITX:

lim

ln x

=

lim

1

t

= 0 .

exp t

x!+1 x

t!+1

173

sLEDU@]EE PROSTOE PRAWILO POZWOLQET UPROSTITX WY- ^ISLENIE PREDELOW PROIZWEDENIJ I OTNO[ENIJ FUNKCIJ:

oTYSKIWAQ PREDELY PROIZWEDENIJ I OTNO[ENIJ FUNKCIJ,

WHODQ]IE W NIH SOMNOVITELI1 MOVNO ZAMENQTX \KWIWA-

LENTNYMI IM FUNKCIQMI: ESLI f(x) f (x), A g(x)

g(x) (W

OBOIH SLU^AQH x

x0 ), TO lim

f(x)h(x)

= lim

f(x)h(x)

(ESLI

g(x)

e

g(x)

!

x!x0

ex!x0

e

e

KAKOJ-TO IZ \TIH PREDELOW SU]ESTWUET).

e

e

dOKAZATELXSTWO

.

pUSTX

f(x) f(x) I g(x) g(x), x ! x0 ,

e

T. E. lim

f(x)

= 1 I

lim

g(x)

= 1. tOGDA ESLI lim

f(x)h(x)

= b,

g(x)

x

!

x0 f(x)

x

!

x0 g(x)

x

!

x0e

e

e

TO I

lim

f(x)h(x)

=

lim

f(x) f(x)h(x) g(x)

= b. Q.E.D.

g(x)

e

g(x)

e

x

!

x0

x

!

x0 f(x)

g(x)

e

e

bAZOJ DLQ PRAKTI^ESKOGO PRIMENENIQ SFORMULIROWANNO- GO PRAWILA SLUVIT SLEDU@]EE UTWERVDENIE.

eSLI FUNKCIQ y = '(x) QWLQETSQ BESKONE^NO MALOJ PRI

x ! x0 , PRI^EM '(x) 6=0 DLQ WSEH x 6=x0 IZ NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , TO SPRAWEDLIWY SLEDU@]IE OT-

NO[ENIQ \KWIWALENTNOSTI (PRI x!x0):

exp '(x)

1

'(x)

sin '(x)

'(x)

ln 1+ '(x)

'(x)

;

tg '(x)

'(x)

;

a'(x) ;1

lna

;

'(x) 1+

'(x) ;1 '(x) 2

f('(x))

b, DLQ L@BOJ FUNKCII y = f(t), IME@]EJ

limf(t) = b

6

=.0

t!0

dOKAZATELXSTWO (NAPRIMER, PERWOGO I DWUH POSLEDNIH)3:

1 nO NE SLAGAEMYE!

2 w PREDPOLOVENII, ^TO a >0 a 6= 1,A 6= 0. 3 dOKAZATELXSTWA OSTALXNYH | PO TOJ VE SHEME.

174

pUSTX fxng | L@BAQ SHODQ]AQSQ K x0 POSLEDOWATELXNOSTX DEJSTWITELXNYH ^ISEL, OTLI^NYH OT x0. tOGDA POSLEDOWA-

TELXNOSTX f'(xn)g	BUDET SHODITXSQ K NUL@, PRI^EM WSE \LE-
MENTY '(xn) \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI BUDUT OTLI^NY OT
NULQ. tAK KAK lim exp t;1 = 1, lim			(1+t) ;1 = , A limf(t) = b,
t!0	t	t!0	t	t!0
KRITERIJ (\KWIWALENTNOE OPREDELENIE) PREDELA FUNKCII W
TO^KE \^EREZ POSLEDOWATELXNOSTI" POZWOLQET ZAKL@^ITX: PO-
SLEDOWATELXNOSTI exp '(xn);1		, (1+'(xn)) ;1
				I f('(xn))
	'(xn)		'(xn)

SHODQTSQ SOOTWETSTWENNO K EDINICE, ^ISLU I ^ISLU b. pOWTORNO PRIMENQQ WY[EUPOMQNUTYJ KRITERIJ, MOVNO PRIJTI K WYWODU:

lim exp '(x)			;1 = 1,	lim	(1+'(x)) ;1 = I	lim f('(x)) = b.
x!x0		'(x)		x!x0	'(x)	x!x0
tAK KAK PO PREDPOLOVENI@ 6= 0I b 6= 0,\TO OZNA^AET, ^TO
exp '(x) ;1			'(x)	1+ '(x) ;1 '(x) I f('(x)) b
PRI x	!	x0 . Q.E.D.		;

zAME^ANIE. pRI OTYSKANII PREDELOW PROIZWEDENIJ I OT- NO[ENIJ FUNKCIJ ZAMENQTX \KWIWALENTNYMI FUNKCIQMI MOVNO LI[X WHODQ]IE W NIH SOMNOVITELI, NO NI W KOEM

SLU^AE NE SLAGAEMYE: ZAMENA W HODE WY^ISLENIQ lim

1

cos x

;x2

x!0

WY^ITAEMOGO cos x NA \KWIWALENTNU@ EMU (PRI x !

0) EDI-

NICU DAET NEPRAWILXNYJ OTWET NULX, TOGDA KAK NA SAMOM

1

cos x

2 sin2

x

2(

x

)2

1

2

2

DELE lim

; 2

= lim

x

2

= lim

x

2

= 2 .

x!0

x

x!0

x!0

pRIMERY

. 1. lim

ln tg x

=

lim ln(1+(tg x;1) =

x! 4

1;ctg x

x! 4

1;ctg x

= lim

tg x;1

= lim tg x = 1.

x! 4

1;ctg x

x! 4

175

2. lim ;

2x;3

x+1

= lim exp;(x

+1) ln

2x;

3

=

x!1

2x+1

x!1

2x+1

=

lim exp (x+1) ln 1+

4

= exp

lim

;4(x+1)

= e;2.

;

;

x!1

;

;

x!1 2x+1

2x+1

sin x

1

1

sin x

3. lim;

x;a

= lim exp;

ln

=

x;a

x!a

sin a

x!a

sin a

= lim exp

1

ln 1+

sin x

;sin a

= lim

sin x;sin a

=

;x;a

x!a

;

sin a

x!a (x;a) sin a

2 cos

x+a

sin

x;a

cos

x+a

= lim

2

2

= lim

2

= ctg a.

(x;a) sin a

sin a

x!a

x!a

ln

1+x

4. lim

1;x

=1

x!0 arctg(1+x);arctg(1;x)

ln;1+

2x

= lim

1;x

=

x!0 tg(arctg(1+x)

;arctg(1;x))

2x

= lim

1;x

=

x!0

tg(arctg(1+x))

;tg(arctg(1;x))

1+tg(arctg(1+x))tg(arctg(1;x))

2x

= lim

1;x

= 2.

x!0

(1+x)

;(1;x)

1+(1+x)(1;x)

x p

lim x2

p

5.

lim

x2

+1

;

x

=

1+ x

2

;

1 =

x!+1

;

x!+1

;

;

x2

1

x;2 =

1

=

lim

2

x!+1

2

x p

x2) p

lim

x2

+1

x

=

lim (

1+ x;2

+1 =

.

x!;1

;

;

x!;1

;

;

;1

6. limx

1

= lim exp

;

1

ln x

= lim exp ln(1+(x;1))

= e;1.

1x

x!1

x!1

1;x

x!1

;(1;x)

1

tAK KAK arctg(1+x) ;arctg(1;x) ! 0 PRI x ! 0.

176

w SLEDU@]IH PRIMERAH a I b | POLOVITELXNYE ^ISLA.

7. lim

ax;xa

= lim

(ax;aa) ;(xa;aa) =

x!a

x;a

x!a

x;a

x

= lim aa(ax;a ;1) ;aa((

)a ;1) =

a

x!a

x;a

ax a

1

(1+

x;a

)a 1

x!a ;

;

x;a

;

= aa(ln a

;

1).

x;a

= limaa

;

;

a

8. lim

xx;aa

= lim

xx;ax+ax;aa

=

x!a

x;a

x!a

x

x;c

= lim ax((

)x;1)+aa(ax;a ;1) =

a

x!a

x

a

= lim

ax exp(x ln

;xa) ;1 + aa

ax;a ;1

=

x!a;

x;a

x;a

x ln(1+

x;a

)

ax

;

a

;

1

= lim

ax

x

a

a

+ aa

=

x

!

a;

x

;

a

= aa + aa ln a. ;

ax2

bx2

bx2

(

a

)x2

1

x2 ln

a

1

b

b

9. lim

x

; x

2 = lim

2x

a

x

; 2

= lim

a

2 =

ln

a

.

x!0

x!0

b )

(a ;b

)

x!0 b

(( b ) ;1)

(x ln

b

2

2

1

1

2

2

10. lim;

ax + bx

x

= lim exp;

ln

ax + bx

=1

x x

x x

x

!

0

a +b

x

!

0

x

a

+b

ax2;aaxx++bbxx2;bx

= exp;xlim0;

1

ln;1+

=

x

!

= exp

lim

ax(ax2;x;1) + bx(bx2;x;

1)

=

;x

!

0;

x(ax+bx)

x(ax+bx)

(x2;x) ln a + (x2;x) ln b

= exp

lim

=

1

.

;x

!

0;

x

2

x

2

pab

1 s U^ETOM WOZMOVNOSTI PERESTANOWKI SIMWOLOW \KSPONENTY I PRE-

DELA (SM. S. 161).

177

wYDELENIE GLAWNOJ ^ASTI FUNKCII

sREDI OTNO[ENIJ \KWIWALENTNOSTI f(x) g(x) x !x0 ,

OSOBO WYDELQ@T TE, KOTORYE IME@T WID

f(x) c (x;x0) x

!x0 1 I

f(x)

c x x!1

(ILI

1)

PRI \TOM c (x;x0)

(SOOTWETSTWENNO, c x ) NAZYWA@T

GLAWNOJ

^ASTX@

, A POKAZATELX

PORQDKOM

FUNKCII y = f(x) OTNOSI-

TELXNO BESKONE^NO MALOJ x

x

PRI x

!

x

SOOTWETSTWENNO

;

0

0

(

2

,

OTNOSITELXNO BESKONE^NO BOLX[OJ x

PRI x!1).

pRIMERY

. 1. gLAWNAQ ^ASTX FUNKCII y

= sin x

;

tg x PRI

x

0 NAHODITSQ IZ USLOWIQ

lim

sin x

tg x

= 1:

!

;

TAK KAK

tg x

sin x(cos x

x!0

c x

2 x

sinx

2(

x

2

lim

sin x

= lim

;

1)

= lim ;

2 sin

2

= lim

;

2) x

,

;

x!0

c x

x!0

c x

cos x

x!0

c x1

cos x

3x!0

c x

DANNOE USLOWIE WYPOLNQETSQ PRI

c = ; 2

I = 3.

3

3

1 PRI

2. gLAWNAQ ^ASTX FUNKCII y = px2 +1

;

px2

;

3

3

p

2

p

2

x

!1

I]UT IZ SOOTNO[ENIQ

lim

x +1;

x ;1

= 1. tAK KAK

x

c

x

3

3

!13

3

3

3

2

2

2

2

p

p

(px +1)

(px

1)

lim

x +1;

x ;1

= lim

3

2

3

;

3

;

3

2

=

x!1

c

x

x!1c x ((px2+1) +px2+1px2;1+(px2;1) )

= lim

2

,

+

4

3

2

3

3

2

x!1 c x

3

((p1+x;2) +p1;x;4+(p1;x;2) )

SLEDUET WZQTX c =

2

I = ;

4

.4

3

3

1

2 w SLU^AE x0 2R (S DOPUSTIMOSTX@ PRI \TOM WARIANTOW x!x0 0).

pRI OTRICATELXNOM ^A]E GOWORQT O ^ISLE

; 1KAK O PORQDKE

FUNKCII y = f(x) OTNOSITELXNO BESKONE^NO BOLX[OJ

PRI x!x0

x

;

x0

(SOOTWETSTWENNO, OTNOSITELXNO BESKONE^NO MALOJ

1

x

).

x

PRI

!1

3

tAK ^TO sin x;tg x PRI x!

0 ESTX BESKONE^NO MALAQ

3-GO PORQDKA

OTNOSITELXNO BESKONE^NO MALOJ

x.

3

3

4 mOVNO SKAZATX, ^TO FUNKCIQ y = px2 +1;px2 ;1 ESTX BESKONE^NO

4

1

PRI x!+1.

MALAQ PORQDKA

3 OTNOSITELXNO BESKONE^NO MALOJ

x

178

3. pOSKOLXKU

4

1

q1 +p1 +px = r1 + pxq(px); +1

=

8

4

1

1

8

PRI x!+1,

= pxr(px); + q(px); + 1 px

GLAWNOJ ^ASTX@ FUNKCII y =

q

1 +

1 +p

!

+

1

x

PRI x

1

1

8

OTNOSITELXNO

QWLQETSQ x | BESKONE^NO BOLX[AQ PORQDKA

8

p

BESKONE^NO BOLX[OJ x (PRI x!+1).

4. dLQ NAHOVDENIQ GLAWNOJ ^ASTI FUNKCII y = xx;1 PRI

x

!

1 TREBUETSQ NAJTI DEJSTWITELXNYE ^ISLA c I

S TEM,

x

x

1

tAK KAK xx

x

x

x

x

^TOBY

lim

;

= 1.

1

ln

,

1 = exp(

ln )

;

x!1 c (x;1)

1 PRI x

;

A ln x = ln(1+(x

1))

x

!

1, GLAWNAQ ^ASTX FUNKCII

x

;

;

y = x

;1 PRI x

!

1 ESTX

BESKONE^NO MALAQ x;1.

5.

tAK KAK ln x = o(x ) x

!

+

1

, PRI L@BOM >

0 (SM.

1

x

S. 172) , FUNKCIQ y

= ln x NE IMEET GLAWNOJ ^ASTI WIDA c

ln x

PRI x

!

+

1

. zAMENA VE W SOOTNO[ENII

lim

= 0

PERE-

1

x!+1 x

MENNOJ x NA

, PRIWODQ]AQ K SOOTNO[ENI@

lim x ln x=0

x

x!0+0

(PRI L@BOM >0) POZWOLQET SDELATX WYWOD: FUNKCIQ y = ln x

1

NE IMEET GLAWNOJ ^ASTI WIDA c

;x

PRI x

!

0+0.

x

6.

lim

xx

;1

=

lim

exp (exp(x ln x)

;

1) ln x =2

x!0+0

x!0+0

=

lim

exp(x ln2 x) =2 exp 0 = 1,

x ;0+0

!

x

PRI

IZ ^EGO SLEDUET, ^TO GLAWNOJ ^ASTX@ FUNKCII y = xx

x! 0 +0 QWLQETSQ BESKONE^NO MALAQ x.

1 ~ASTO \TO WYRAVA@T SLOWAMI: \ln x RASTET PRI x!+1 MEDLENNEE

L@BOJ STEPENI x".

2 s U^ETOM TOGOG, ^TO	lim x ln x = 0 PRI L@BOM >0 (SM. PREDY-
	x!0+0
DU]IJ PRIMER).

179

III.12. ~TO PODRAZUMEWA@T POD TO^KAMI RAZRYWA FUNKCII

tO^KAMI RAZRYWA FUNKCII ESTESTWENNO NAZYWATX TE TO^- KI, W KOTORYH NARU[AETSQ NEPRERYWNOSTX DANNOJ FUNKCII1. nEOVIDANNO WOZNIKA@]AQ PRI \TOM TRUDNOSTX SOSTOIT W TOM, ^TO NE WSQKU@ TO^KU, W KOTOROJ FUNKCIQ NE QWLQETSQ NEPRERYWNOJ, RAZUMNO S^ITATX TO^KOJ RAZRYWA \TOJ FUNK-

CII NAPRIMER, FUNKCIQ y = arcsin x NE QWLQETSQ NEPRERYW- NOJ PRI x = 2, ODNAKO x = 2 NE ESTX TO^KA RAZRYWA \TOJ FUNKCII.

dATX WSEOHWATNOE OPREDELENIE TO^KI RAZRYWA FUNKCII OKAZYWAETSQ NE TAK PROSTO, I TO, K ^EMU UDALOSX PRIJTI W RAMKAH MATEMATI^ESKOGO ANALIZA, SWODITSQ K WYDELENI@ SLEDU@]IH WIDOW TO^EK RAZRYWA FUNKCIJ DEJSTWITELXNOJ

PEREMENNOJ2.

I. dWUHSTORONNIE RAZRYWY FUNKCII.

tO^KU x0 2 R S^ITA@T TO^KOJ DWUHSTORONNEGO RAZRYWA3

FUNKCII y = f(x), ESLI \TA FUNKCIQ OPREDELENA W NEKOTO- ROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , ISKL@^AQ, WOZMOVNO, SAMU \TU TO^KU, I NE QWLQETSQ NEPRERYWNOJ W TO^KE x0 NI SLEWA, NI SPRAWA4.

1 wOT ^TO OB \TOM PISAL kO[I ([34], S. 35): \ESLI FUNKCIQ f(x) PE-

RESTAET BYTX NEPRERYWNOJ W OKRESTNOSTI KONKRETNOGO ZNA^ENIQ PERE- MENNOJ x, TO GOWORQT, ^TO ONA STANOWITSQ RAZRYWNOJ I ^TO PRI \TOM KONKRETNOM ZNA^ENII PEREMENNOJ PROISHODIT RAZRYW". (w ORIGINALE:

\lorsqu'une fonction f(x) cesse d'^etre continue dans le voisinage d'une valeur particuliere de la variable x, on dit qu'elle devient alors discontinue, et qu'il y a pour cette valeur particuliere solution de continuite".)

2 s TEMI ILI INYMI OGOWORKAMI I RASHOVDENIQMI W DETALQH. 3 iLI, DLQ KRATKOSTI, PROSTO TO^KOJ RAZRYWA.

4 iNOGDA DOPOLNITELXNO TREBU@T, ^TOBY W TO^KAH x 6=x0 UKAZANNOJ

OKRESTNOSTI FUNKCIQ y = f(x) BYLA NEPRERYWNOJ.

180

dWUHSTORONNIJ RAZRYW FUNKCII W TO^KE BYWAET ODNOJ IZ SLEDU@]IH TREH RAZNOWIDNOSTEJ:

USTRANIMYJ RAZRYW | KOGDA FUNKCIQ y = f(x) IMEET W TO^KE x0 (KONE^NYJ) PREDEL (ILI, ^TO RAWNOSILXNO, RAWNYE

MEVDU SOBOJ PREDELY SLEWA I SPRAWA), NO PRI \TOM NE QWLQ-

ETSQ NEPRERYWNOJ W TO^KE x0 , T. E. NE WYPOLNQETSQ RAWENSTWO

lim f(x) = f(x0) | TO LI IZ-ZA TOGO, ^TO NE OPREDELENO ZNA-

x!x0

^ENIE f(x0), TO LI IZ-ZA TOGO, ^TO ZNA^ENIE f(x0) NE RAWNO PREDELU FUNKCII W TO^KE x0

RAZRYW 1-GO RODA | KOGDA FUNKCIQ y = f(x) IMEET W TO^KE x0 (KONE^NYE) PREDELY SLEWA I SPRAWA, NO ONI NE RAWNY DRUG

DRUGU: lim f(x) 6=lim f(x)

x!x0;0 x!x0+0

RAZRYW 2-GO RODA | KOGDA FUNKCIQ y = f(x) NE IMEET W TO^KE x0 LIBO PREDELA SLEWA, LIBO PREDELA SPRAWA (LIBO OBOIH), LIBO ODIN IZ NIH (ILI OBA) QWLQ@TSQ BESKONE^NYMI.

tERMIN USTRANIMYJ RAZRYW OB_QSNQETSQ TEM, ^TO ESLI FUNKCIQ y = f(x) IMEET W TO^KE x0 PREDEL, RAWNYJ b, NO PRI \TOM LIBO b 6=f(x0), LIBO ZNA^ENIE f(x0) NE OPREDELENO, TO POSLE IZMENENIQ FUNKCII W OD-

def

NOJ LI[X TO^KE x0 PRISWOENIEM EJ NOWOGO ZNA^ENIQ f(x0) = b FUNKCIQ STANOWITSQ NEPRERYWNOJ W TO^KE x0 , T. E. RAZRYW USTRANQETSQ. nAPRO- TIW, RAZRYWY 1-GO I 2-GO RODA QWLQ@TSQ NEUSTRANIMYMI: NI PRI KAKOM OPREDELENII (ILI IZMENENII) ZNA^ENIQ f(x0) SOOTNO[ENIE NEPRERYW-

NOSTI lim f(x) = f(x0) NE MOVET BYTX DOSTIGNUTO.

x!x0

II. oDNOSTORONNIE RAZRYWY FUNKCII.

tO^KU x0 2 R S^ITA@T TO^KOJ LEWOSTORONNEGO RAZRYWA

FUNKCII y = f(x), ESLI \TA FUNKCIQ OPREDELENA W NEKOTOROJ

LEWOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , WKL@^AQ SAMU \TU TO^KU, NO NE QWLQETSQ NEPRERYWNOJ SLEWA W TO^KE x0 (SPRAWA OT TO^KI x0 FUNKCIQ MOVET BYTX OPREDELENA ILI NE OPREDELENA, NO ESLI UV ONA OPREDELENA W PRAWOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , TO