Шведенко Начала математического анализа 2011

201

IV.3. kAKU@ PRQMU@ S^ITA@T KASATELXNOJ K GRAFIKU FUNKCII

pRQMU@ L NA KOORDINATNOJ PLOSKOSTI PEREMENNYH x y NAZYWA@T KASATELXNOJ K GRAFIKU FUNKCII y = f(x) W TO^KE

P0(x0 f(x0)), ESLI

A) \TA PRQMAQ PROHODIT ^EREZ TO^KU P0 ,

B) WELI^INY (P L) I (P P0) | RASSTOQNIQ OT PERE- MENNOJ TO^KI P (x f(x)) GRAFIKA FUNKCII SOOTWETSTWENNO DO PRQMOJ L I DO TO^KI KASANIQ P0 (RIS. 14) | SWQZANY

SOOTNO[ENIEM (P L) = o; (P P0) PRI (P P0) !0 (\USLO-

WIEM KASANIQ"), PRINIMA@]IM, ESLI FUNKCIQ y = f(x) NE-

PRERYWNA W TO^KE x0	, WID1	lim	(P L)	= 0	.
		x!x0	(P P0)

			y= f(x)
	y		P
	y0	P	L
		0
	0	x0	x

rIS. 14

1 tAK KAK (P P0) = p(x;x0)2 + (f(x);f(x0))2, IZ NEPRERYWNOSTI

FUNKCII y = f(x) W TO^KE x0 WYTEKAET, ^TO (P P0)!0 () x!x0 .

202

eSLI FUNKCIQ y = f(x) IMEET PROIZWODNU@ W TO^KE x0 ,

TO PRQMAQ

, ZADANNAQ NA KOORDINATNOJ PLOSKOSTI URAW-

NENIEM y =Lf 0(x0)(x

;x0) + f(x0),

QWLQETSQ KASATELXNOJ K

GRAFIKU \TOJ FUNKCII W TO^KE P0(x0 f(x0)).1

dOKAZATELXSTWO

.

pRQMAQ

L, KOTORU@ ZADAET URAWNENIE

y = f 0(x0)(x;x0)+f(x0), OBLADAET SWOJSTWAMI:

A) ONA PROHODIT ^EREZ TO^KU P0(x0 f(x0)),

B) WELI^INY

(P L)

I (P P0) DLQ \TOJ PRQMOJ, IMEQ

ZNA^ENIQ SOOTWETSTWENNO

(P

) = j

f0

x

x

;

x

f x

f x

(

0)(

0) ;( ( );

(

0))j

I

L

p(f0(x0))2+1

(P P0) = (x;x0)2+ (f(x);f(x0))2,

STREMQTSQ K NUL@ PRIp x

!x0 , PRI \TOM

P

f 0

x

x

x

f x

f x

(

L)

=

j

(

0)(

;

0) ;( ( );

(

0))j

=

P P

0

2

2

2

0)

p(f (x0)) +1 p(x;x0) + (f(x);f(x0))

(

0

;

f(x);f(x )

=

f

(x0)

x;x0 0

0.

2

!

0

0

;

x

x

f(x)

f(x )

;!

f

x

2

0

p( (

0)) +1 r1+;

x;x0

L

,

sOGLASNO DANNOMU WY[E OPREDELENI@ PRQMAQ

ZADANNAQ

URAWNENIEM y

f

0

x

x

x

0) +

f x

0),

QWLQETSQ KASATELXNOJ

=

(

0)(

;

(

2

Q.E.D.

K GRAFIKU FUNKCII y = f(x) W TO^KE P0(x0 f(x0)).

zAME^ANIE

. eSLI DLQ FUNKCII y = f(x) W TO^KE x0 SU-

]ESTWU@T LI[X

LEWAQ

I/ILI

PRAWAQ PROIZWODNYE

1 iLI, KAK DLQ KRATKOSTI GOWORQT, KASATELXNOJ W TO^KE x0 .

2 zAPISAW PROIZWODNU@ f

0 x

KAK OTNO[ENIE DIFFERENCIALOW

(

W

(

0)

TO^KE x0 ), URAWNENIE KASATELXNOJ MOVNO PREDSTAWITX W WIDE PROPOR-

CII

y

;

y0

=

dy

(

ILI

dx

=

dy

),

GDE y

0

=

f x

x;x0

dx

x;x0

y;y0

203

0

def

lim

f(x)

;

f(x0)

0

def

lim

f(x)

;

f(x0)

,1

f;(x0) =

, f+(x0) =

x!x0

;0

x;x0

x!x0 +0

x;x0

TO URAWNENIQ

y = f;0 (x0)(x;x0)+f(x0) I y = f+0 (x0)(x;x0)+f(x0)

ZADA@T PRQMYE,

KOTORYE NAZYWA@T SOOTWETSTWENNO

LEWOJ

I

PRAWOJ KASATELXNYMI K GRAFIKU FUNKCII y = f(x) W TO^KE

P0(x0 f(x0)): USLOWIQ KASANIQ DLQ NIH IME@T WID SOOTWET-

STWENNO

lim

(P L)

= 0 I

lim

(P L)

= 0.

(

0)

(

0)

x!x0;0 P P

x!x0+0 P P

eSLI DLQ FUNKCII y = f(x),

NEPRERYWNOJ W TO^KE x0 , WY-

f x

;

f x

;! 1

POLNQETSQ USLOWIE1

(

0)

, TO \WERTIKALXNAQ"

( );

x

x

0

x

!

x0

PRQMAQ x = x0

QWLQETSQ KASATELXNOJ K GRAFIKU FUNKCII

y = f(x) W TO^KE P0(x0 f(x0).

|TO SLEDUET IZ TOGO, ^TO W DANNOM SLU^AE

(P L)

=

jx

;x0j

=

1

0.

x0) + (f(x)

f(x0))

(P P0)

(x

;

f(x);f(x )

x;!x0

p

2

;

2

r1+; x;x0

0

2 !

pRIMERY

3

.

1. tAK KAK FUNKCIQ y = psin x3

IMEET PRI

p

3

3

x = 0 PROIZWODNU@ y0(0) = lim

3

sin x

; 0

= lim

3

sin x

= 1,

x;0

x!0

x!0q x3

PRQMAQ y = x, QWLQETSQ KASATELXNOJ K GRAFIKU \TOJ FUNK-

CII W TO^KE (0 0). w SWO@ O^EREDX OSX y SLUVIT KASATELXNOJ

3

K GRAFIKU FUNKCII y = psin x W NA^ALE KOORDINAT.

2x

1 kAK, NAPRIMER, W SLU^AE FUNKCII f(x) = arcsin 1+x2 , DLQ KOTOROJ

2x

2x

f;0 (1) = lim

arcsin 1+x2

; 2

= lim

sin;arcsin

1+x2

;

2

=

x!1;0

x;1

x!1;0

x;1

= lim ;cos;arcsin

2x

= lim

; q1;(

2x

2

1+x2 )

1+x2

=1, A f+0 (1)= 1.

x!1;0

x

;

1

x!1;0

x

;

1

;

2 w TAKOM SLU^AE GOWORQT

,

=

( )

0

^TO FUNKCIQ y

f x

IMEET W TO^KE x

BESKONE^NU@ PROIZWODNU@.

204

2. uRAWNENIE p3 x2 +p3 y2 = p3 a2, GDE a | POLOVITELXNOE

^ISLO, OPREDELQET NA KOORDINATNOJ PLOSKOSTI LINI@, NAZY- WAEMU@ ASTROIDOJ1. wZQW DIFFERENCIALY OBEIH ^ASTEJ EE

URAWNENIQ,

MOVNO NAJTI URAWNENIE KASATELXNOJ PRQMOJ K

ASTROIDE W L@BOJ EE TO^KE (x0 y0):

2

dx+

2

dy = 0,

3

3

3px0

3py0

dy

3

y

y

3

py

0

;

py

0

PO\TOMU

=

, TAK ^TO

0 =

ESTX URAWNENIE

dx

; px0

x;x0

; px0

3

3

KASATELXNOJ K ASTROIDE W EE TO^KE (x0 y0).

tAK KAK \TA PRQMAQ PERESEKAET OSX y PRI x = x0 + p3 y0x20 , A OSX x PRI y = y0 + p3 x0y02 , WY^ISLENIEM SUMMY (x0 + p3 y0x20)2 +(y0 + p3 x0y02)2

(RAWNOJ a2) USTANAWLIWAETSQ SLEDU@]EE SWOJSTWO KASATELXNOJ K ASTROIDE: EE OTREZOK MEVDU OSQMI KOORDINAT IMEET POSTOQNNU@ DLINU.

pONQTIEM, BLIZKIM KASATELXNOJ PRQMOJ (\KASATELXNOJ W BESKONE^NOSTI"), QWLQETSQ ASIMPTOTA2 | PRQMAQ L S TEM SWOJSTWOM, ^TO DLQ NEKOTOROGO MNOVESTWA X (IZ MNOVESTWA ZADANIQ FUNKCII y = f(x)) I NEKOTOROJ TO^KI x0 (KONE^NOJ

ILI BESKONE^NOJ) WELI^INY (P L) I (P O) | RASSTOQNIQ
OT TO^KI P (x f(x)) SOOTWETSTWENNO DO PRQMOJ L I DO NA^ALA
KOORDINAT O | UDOWLETWORQ@T SOOTNO[ENIQM:
lim (P	L	) = 0, TOGDA KAK	lim (P O) = +	1	.3
x!x0			x!x0
x2X			x2X
dLQ \WERTIKALXNOJ" PRQMOJ L (S URAWNENIEM x = a) OBA

\TI SOOTNO[ENIQ WYPOLNQ@TSQ W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE,

1 oT LAT. astrum ZWEZDA. pREDSTAWITX ASTROIDU MOVNO, SOPOSTA- WIW EE S LINIQMI, ZADANNYMI URAWNENIQMI x2+y2=a2 I px2+py2=pa2.

2 w SLOWARQH WSTRE^A@TSQ DWA WARIANTA UDARENIQ.

3 t. E. PRI NEOGRANI^ENNOM UDALENII TO^KI P WDOLX NEKOTOROJ \WET- WI" GRAFIKA FUNKCII RASSTOQNIE OT \TOJ TO^KI DO PRQMOJ L STREMITSQ K NUL@. nAZWANIE ASIMPTOTA (GRE^. ! o& | NESOWPADA@]IJ) OB_QSNQETSQ TEM, ^TO IZNA^ALXNO W OPREDELENIE ASIMPTOTY WHODILO TREBOWANIE NEDOSTIVIMOSTI TO^KOJ P PRQMOJ L.

ILI ;1.

205

KOGDA WYPOLNENO SOOTNO[ENIE1

lim

f(x) =

1

. w SLU^AE VE

x!a 0

PRQMOJ L S URAWNENIEM y = kx+b,2 KOGDA

) = jkx;

f(x)

+bj

(P

L

,

W TO WREMQ KAK (P O) =

p

x2

+(f(x))2,

pk2+1

WYPOLNENIE UKAZANNYH SOOTNO[ENIJ RAWNOSILXNO TOMU, ^TO

lim (kx

;

f(x) + b) = 0,3 W SILU ^EGO

x! 1

k =

lim

f(x)

, A b = lim

f

(x)

kx

.

x! 1 x

x;

;

x! 1

pRIMERY

. 1. gRAFIK FUNKCII y=

3

IMEET

\WERTIKALX-

x2

;1

NYE" ASIMPTOTY x =

1 I \NAKLONNU@"

ASIMPTOTU y = x.

2. pRQMAQ y = 0 QWLQETSQ \GORIZONTELXNOJ" ASIMPTOTOJ

GRAFIKA FUNKCII y =

sin x

.

x

3. dLQ FUNKCII y = y(x), ZADANNOJ PARAMETRI^ESKI URAW-

NENIQMI x =

t2

, y =

t

, IZ SOOTNO[ENIJ:

t;1

t2 ;1

A)

lim

x(t) =

1

,

lim

y(t) =

;2

1

t!;1 0

t!;1 0

B)

lim x(t) =

,

lim

y(t)

=

1

,

lim

y(t)

1

x(t)

=

3

x(t)

!

1 t

!

2

!

0;

;

2

;

4

t

1

0

1

0 y(t)

t

1

W)

lim

x(t) =

,

lim

= 0,

lim

;

0

= 0

t! 1

1

t! 1 x(t)

t! 1

;

SLEDUET, ^TO GRAFIK \TOJ FUNKCII IMEET:

A) \WERTIKALXNU@" ASIMPTOTU x =

;

1

,

2

B) \NAKLONNU@" ASIMPTOTU y =

1

x

;

3

,

2

4

W) \GORIZONTALXNU@" ASIMPTOTU y = 0.

1 t. E. FUNKCIQ y = f(x) STANOWITSQ BESKONE^NO BOLX[OJ PRI STREM- LENII PEREMENNOJ x K ZNA^ENI@ a SLEWA I/ILI SPRAWA (ROLX TO^KI x0 WYPOLNQET a, A MNOVESTWA X | EE LEWAQ I/ILI PRAWAQ OKRESTNOSTX.

2 t. E. \NAKLONNOJ" ILI \GORIZONTALXNOJ" (PRI k =0).

3 t. E. W KA^ESTWE TO^KI x0 WYSTUPA@T +1 ILI ;1, A W KA^ESTWE MNOVESTWA X (ZADA@]EGO \WETWX" GRAFIKA) | OKRESTNOSTX TO^KI +1

206

IV.4. w ^EM SUTX METODA fERMA I TEOREM rOLLQ, lAGRANVA I kO[I

dLQ FUNKCII y = f(x), PRINIMA@]EJ NA MNOVESTWE1 X

DEJSTWITELXNYE ZNA^ENIQ, TO^KU x0 2X NAZYWA@T:

A) TO^KOJ ABSOL@TNOGO (ILI GLOBALXNOGO) MAKSIMUMA,

ESLI ISTINNO UTWERVDENIE, WYRAVAEMOE FORMULOJ

8x;x 2X ^ x 6=x0 ) f(x) 6f(x0) ,

SMYSL KOTOROJ: \SREDI WSEH ZNA^ENIJ FUNKCII y = f(x) NA MNOVESTWE X ZNA^ENIE f(x0) QWLQETSQ NAIBOLX[IM"2

B) TO^KOJ LOKALXNOGO MAKSIMUMA, ESLI ISTINNO UTWERV-

DENIE, WYRAVAEMOE FORMULOJ

9 >08x;x 2X ^ 0<jx;x0j< ) f(x) 6f(x0) ,

SMYSL KOTOROJ: \SU]ESTWUET OKRESTNOSTX TO^KI x0 , W L@- BOJ TO^KE x KOTOROJ, OTLI^NOJ OT x0 , NO PRINADLEVA]EJ MNOVESTWU X , ZNA^ENIE f(x) NE PREWOSHODIT ZNA^ENIQ f(x0)" ESLI ISTINNOSTX \TIH UTWERVDENIJ SOHRANQETSQ PRI ZA- MENE W NIH NERAWENSTWA f(x) 6f(x0) NA f(x) < f(x0), TO TO^KU x0 NAZYWA@T TO^KOJ STROGOGO MAKSIMUMA | ABSOL@TNOGO

ILI LOKALXNOGO | FUNKCII y = f(x) NA MNOVESTWE X.

tAKIM VE OBRAZOM (S ZAMENOJ NERAWENSTW f(x) 6 f(x0) I f(x) < f(x0) PROTIWOPOLOVNO NAPRAWLENNYMI) DA@T OPREDE-

LENIQ TO^EK MINIMUMA (ABSOL@TNOGO I LOKALXNOGO) FUNK- CII y = f(x) NA MNOVESTWE X.

tO^KI MAKSIMUMA I TO^KI MINIMUMA FUNKCII OB_EDI-

NQ@T TERMINOM TO^KI \KSTREMUMA \TOJ FUNKCII.

1 tO^EK DEJSTWITELXNOJ OSI (ILI KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI).

2 |KWIWALENTNO: \x0 TO^KA MNOVESTWA X, W KOTOROJ FUNKCIQ y = f(x) DOSTIGAET SWOEJ TO^NOJ WERHNEJ GRANI NA \TOM MNOVEST-

WE". (tAKAQ TO^KA NE OBQZATELXNO SU]ESTWUET, A ESLI SU]ESTWUET, TO NE OBQZATELXNO QWLQETSQ EDINSTWENNOJ.)

207

nEOBHODIMOE USLOWIE TO^KI \KSTREMUMA (\METOD fERMA")1. eSLI TO^KOJ \KSTREMUMA2 FUNKCII y = f(x) NA PROMEVUTKE I R SLUVIT KAKAQ-LIBO WNUTRENNQQ TO^KA c \TOGO PROMEVUTKA, TO LIBO f 0(c) = 0, LIBO W TO^KE c DANNAQ FUNKCIQ NE IMEET PROIZWODNOJ3.

dOKAZATELXSTWO. eSLI TO^KOJ \KSTREMUMA (DLQ OPREDE-

LENNOSTI MAKSIMUMA)4 FUNKCII y = f(x) NA PROMEVUTKE I QWLQETSQ NEKOTORAQ WNUTRENNQQ TO^KA c \TOGO PROMEVUTKA, TO DLQ L@BOGO DOSTATO^NO MALOGO (PO MODUL@) PRIRA]ENIQ

	;		M	;			M
Mx = x		c PRIRA]ENIE	Mf = f(x)		f(c) OKAZYWAETSQ NEPO-
LOVITELXNYM, TAK ^TO Mfx 6 0 PRI Mx > 0							I Mxf > 0 PRI
Mx < 0. sLEDOWATELXNO,					0		def	Mf	, TO
			ESLI SU]ESTWUET f			(c) = lim
f 0(c) = 0.							Mx!0 Mx
		Q.E.D.

1 pROOBRAZOM \TOGO UTWERVDENIQ QWLQETSQ \METOD OTYSKANIQ NAI- BOLX[IH I NAIMENX[IH ZNA^ENIJ", PRIMENIMYJ K MNOGO^LENAM I OPI- SANNYJ W SO^INENII 1639 G. (S TEM VE NAZWANIEM) FRANCUZSKOGO MATEMA- TIKA fERMA (Fermat, Pierre, 1601{1665) RUSSKIJ PEREWOD \TOGO SO^INE- NIQ WKL@^EN W RUSSKOE IZDANIE \gEOMETRII" dEKARTA [8]. mETOD SOSTO- IT W TOM, ^TO, ZAPISAW DLQ MNOGO^LENA p(x) RAWENSTWO p(x) = p(x+h), SLE- DUET SOKRATITX OB]IE ^LENY, RAZDELITX OSTAW[IESQ NA h I OTBROSITX WSE TE, W KOTORYH OSTALSQ MNOVITELX h (ILI EGO STEPENX) POLU^ENNOE W REZULXTATE URAWNENIE IMEET RE[ENIQMI ISKOMYE TO^KI MAKSIMUMA I MINIMUMA MNOGO^LENA p(x). eSLI OPERIROWATX PONQTIEM PROIZWODNOJ (KOTORYM fERMA NE RASPOLAGAL), TO \TO URAWNENIE PRINIMAET WID p0(x) = 0.

2 mAKSIMUMA ILI MINIMUMA, ABSOL@TNOGO ILI LOKALXNOGO, STRO-

GOGO ILI NET.

3 iSKATX TO^KI \KSTREMUMA FUNKCII NA PROMEVUTKE SLEDUET PO-

\TOMU LI[X SREDI TEH EGO WNUTRENNIH TO^EK, W KOTORYH PROIZWODNAQ FUNKCII LIBO RAWNA NUL@ (TAKIE TO^KI NAZYWA@T STACIONARNYMI),

LIBO NE SU]ESTWUET, I SREDI KONCEWYH TO^EK PROMEVUTKA. pRIMER FUNKCII y = x3 POKAZYWAET, ^TO WYPOLNENIE USLOWIQ f 0(c) = 0 E]E NE GARANTIRUET NALI^IQ \KSTREMUMA FUNKCII W TO^KE c.

4 aBSOL@TNOGO ILI LOKALXNOGO (STROGOGO ILI NET).

208

tEOREMA rOLLQ1. eSLI FUNKCIQ2 y = f(x):

A) NEPRERYWNA NA OTREZKE I R,3

B) IMEET PROIZWODNU@ f 0(x) W L@BOJ WNUTRENNEJ TO^KE x \TOGO OTREZKA,

W) NA KONCAH OTREZKA I PRINIMAET ODNO I TO VE ZNA^E- NIE,

TO f 0(c) = 0 HOTQ BY W ODNOJ WNUTRENNEJ TO^KE c \TOGO OT- REZKA.

dOKAZATELXSTWO. eSLI W L@BOJ TO^KE OTREZKA I FUNKCIQ y = f(x) PRINIMAET TO VE SAMOE ZNA^ENIE, ^TO I NA EGO KON- CAH, TO ONA QWLQETSQ POSTOQNNOJ NA \TOM OTREZKE, I POTOMU f 0(x) = 0 W L@BOJ WNUTRENNEJ TO^KE x OTREZKA I . eSLI VE SREDI ZNA^ENIJ FUNKCII NA OTREZKE I ESTX OTLI^NYE OT EE ZNA^ENIQ NA EGO KONCAH, TO LIBO TO^NAQ WERHNQQ, LIBO TO^-

NAQ NIVNQQ GRANX \TOJ FUNKCII4 NA OTREZKE I DOSTIGAETSQ

W NEKOTOROJ EGO WNUTRENNEJ TO^KE c, OKAZYWA@]EJSQ W SILU \TOGO LIBO TO^KOJ ABSOL@TNOGO MAKSIMUMA, LIBO TO^KOJ

1 fRANCUZSKIJ ALGEBRAIST rOLLX (Rolle Michel, 1652{1719) W IZDAN- NOM W 1691 G. SO^INENII \dOKAZATELXSTWO ODNOGO METODA RE[ENIQ URAW-

NENIJ WSEH STEPENEJ" (\Demonstration d'une methode pour resoudre les egalites de tous les degres") USTANOWIL LI[X SLEDU@]EE: W DWUH SOSEDNIH ODNOKRATNYH KORNQH MNOGO^LENA PROIZWODNAQ \TOGO MNOGO^LENA PRI-

NIMAET ZNA^ENIQ PROTIWOPOLOVNYH ZNAKOW. rOLLX OPERIROWAL ^ISTO ALGEBRAI^ESKI, I W KA^ESTWE TOGO, ^TO SEJ^AS NAZYWA@T PROIZWODNOJ MNOGO^LENA p(x), U NEGO WYSTUPAL (KAK RAZ RAWNYJ p0(x)) KO\FFICIENT PRI z W RAZLOVENII MNOGO^LENA p(x+z) PO STEPENQM z. sOWREMENNU@ FORMULIROWKU \TEOREMY rOLLQ" DAL wEJER[TRASS W SWOIH (UVE UPO- MINAW[IHSQ NA S. 85) LEKCIQH PO DIFFERENCIALXNOMU IS^ISLENI@.

2 pRINIMA@]AQ DEJSTWITELXNYE ZNA^ENIQ: NA KOMPLEKSNOZNA^NYE

FUNKCII UTWERVDENIE TEOREMY NE RASPROSTRANQETSQ (PRIMER NIVE). 3 t. E. (SM. S. 143) NEPRERYWNA W KAVDOJ WNUTRENNEJ TO^KE \TOGO OT-

REZKA I NEPRERYWNA SLEWA ILI SPRAWA W EGO KONCEWYH TO^KAH.

4 a OBE ONI DOSTIGA@TSQ NA OTREZKE I (SM. S. 147, TEOREMA 2).

209

ABSOL@TNOGO MINIMUMA1 FUNKCII y = f(x) NA OTREZKE I . w OBOIH SLU^AQH f 0(c) = 0 W SILU NEOBHODIMOGO USLOWIQ TO^KI \KSTREMUMA (SM. S. 207). Q.E.D.

tO, ^TO NA KOMPLEKSNOZNA^NYE FUNKCII TEOREMA rOLLQ NE RSPRO- STRANQETSQ, WIDNO NA PRIMERE FUNKCII y = eix, KOTORAQ

A) NEPRERYWNA NA OTREZKE [0 2 ],2

B) IMEET PROIZWODNU@		eix 0= ieix W L@BOJ WNUTRENNEJ TO^KE \TOGO
OTREZKA,2		;
W) ei0 = ei2 =1,
NO PROIZWODNAQ KOTOROJ	eix 0		= ieix	OTLI^NA OT NULQ PRI L@BOM ZNA-
^ENII x.	;
tEOREMA lAGRANVA3. eSLI FUNKCIQ4 y = f(x):
A) NEPRERYWNA NA OTREZKE I				R ,

B) IMEET PROIZWODNU@ f 0(x) W L@BOJ WNUTRENNEJ TO^KE x \TOGO OTREZKA,

TO SPRAWEDLIWO RAWENSTWO5

f(b);f(a) = f 0(c)(b;a) ,

GDE a I b | KONCEWYE TO^KI6 OTREZKA I, A c | NEKOTORAQ WNUTRENNQQ TO^KA \TOGO OTREZKA.

1 sOOTWETSTWENNO SLU^AQM f(c) = supf(x) I f(c) = inf f(x).
I	I
2 kAK I WOOB]E W L@BOJ TO^KE DEJSTWITELXNOJ OSI (I KOMPLEKSNOJ
PLOSKOSTI).

3 eE MOVNO NAJTI NA S. 68 \tEORII ANALITI^ESKIH FUNKCIJ" [44] FRANCUZSKOGO MATEMATIKA lAGRANVA KAK ^ASTNYJ SLU^AJ TOGO, ^TO SEJ^AS NAZYWA@T FORMULOJ tEJLORA S OSTATKOM W ZAPISI lAGRANVA,

O KOTOROJ NIVE (SM. S. 233).

4 pRINIMA@]AQ DEJSTWITELXNYE ZNA^ENIQ.
5 zAPISANNOE W WIDE f 0(c) =	f b	f a
	( );	( ) , \TO RAWENSTWO OZNA^AET, ^TO
	b;a		(c f(c)),
PRQMAQ, KASATELXNAQ K GRAFIKU FUNKCII y = f(x) W TO^KE
PARALLELXNA (ILI SOWPADAET S) PRQMOJ, PROWEDENNOJ ^EREZ KONCEWYE
TO^KI (a f(a)) I (b f(b)) GRAFIKA.
6 wNE ZAWISIMOSTI OT TOGO,	a< b ILI a >b.

210

dOKAZATELXSTWO. eSLI FUNKCIQ y = f(x) UDOWLETWORQET USLOWIQM TEOREMY (A ONI SOWPADA@T S PERWYMI DWUMQ USLO- WIQMI TEOREMY rOLLQ), TO FUNKCIQ

f(b);f(a)

TAKVE UDOWLETWORQ@]AQ \TIM USLOWIQM UDOWLETWORQET E]E

y = f(x); b;a (x,;a),

I TRETXEMU USLOWI@ TEOREMY rOLLQ: W TO^KAH a I b ONA PRINIMAET ODNO I TO VE ZNA^ENIE f(a). pO TEOREME rOLLQ

PROIZWODNAQ

;	;	b ;a		;		;	b ;a
f(x)		f(b) ;f	(a) (x		a) 0= f 0(x)		f(b);f	(a)

\TOJ FUNKCII RAWNA NUL@ W NEKOTOROJ WNUTRENNEJ TO^KE c

OTREZKA I , T. E. f 0(c) = f(b);f(a) . Q.E.D. b;a

sLEDSTWIQ IZ TEOREMY lAGRANVA

1. fORMULA KONE^NYH PRIRA]ENIJ. eSLI FUNKCIQ y = f(x) IMEET PROIZWODNU@ NE TOLXKO W TO^KE x0 , NO I W NEKOTOROJ EE OKRESTNOSTI, TO DLQ L@BOJ TO^KI x IZ \TOJ OKRESTNOSTI PRIRA]ENIE Mf = f(x);f(x0) WYRAVAETSQ ^EREZ

PRIRA]ENIE Mx = x;x0 FORMULOJ KONE^NYH PRIRA]ENIJ

Mf = f 0(x0 + Mx) Mx 0 < <1 .1

dOKAZATELXSTWO. wZQW W UPOMQNUTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 L@BU@ (OTLI^NU@ OT x0 ) TO^KU x, DOSTATO^NO PRIMENITX

1 kONKRETNOE ZNA^ENIE (A ONO ZAWISIT OT PRIRA]ENIQ Mx) W RAM- KAH DANNOJ FORMULY NE UTO^NQETSQ.

pO DAWNEJ TRADICII PRIRA]ENIQ Mx = x;x0 I Mf = f(x);f(x0) NAZYWA@T \KONE^NYMI" DLQ UKAZANIQ NA IH OTLI^IE OT \BESKONE^NO MALYH" PRIRA]ENIJ dx I df (TAK W PREVNIE WREMENA PONIMALI DIFFERENCI-

ALY), SWQZX MEVDU KOTORYMI WYRAVAETSQ FORMULOJ

df = f0(x0)dx

.

=

;

0

=

( );

-

(

0)

\kONE^NOSTX" PRIRA]ENIJ Mx

x

x

I Mf

f x

f x

SLEDUET PO

NIMATX PO\TOMU W TOM SMYSLE, ^TO ZA x MOVET BYTX WZQTA L@BAQ TO^KA DEJSTWITELXNOJ OSI, NE WYHODQ]AQ LI[X ZA PREDELY TOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , W KOTOROJ FUNKCIQ y = f(x) IMEET PROIZWODNU@.