8. Обработка результатов косвенных измерений

• Косвенные измерения. Коэффициент корреляции.

• Критерии значимости корреляционной связи.

• Определение стандартного отклонения результата измерения.

• Определение доверительного интервала результата измерения.

8.1. Косвенные измерения. Коэффициент корреляции

Косвенные измерения – это измерения, при которых искомое значение физической величины находят путем прямых измерений других величин , связанных с измеряемой величиной известной функциональной зависимостью

.

Величины называются измеряемыми аргументами.

При оценивании доверительных границ погрешностей результата косвенного измерения обычно принимают доверительную вероятность, равную 0.95 или 0.99. Использование других вероятностей должно быть обосновано.

Погрешность косвенного измерения зависит от погрешностей измерений аргументов и вида функциональной зависимости. Измеряемые аргументы также могут быть зависимыми друг от друга. В этом случае они называются коррелированными, в противном случае – некоррелированными. Степень такой зависимости определяется коэффициентом корреляции.

Пусть имеются результаты прямых наблюдений двух случайных величин

,

,

тогда оценка коэффициента корреляции случайных величин и определяется выражением

где ,

, – результаты наблюдений,

, – результаты измерений величин и ,

– объем результатов наблюдений.

8.2. Критерии значимости корреляционной связи

Значимость (наличие) корреляционной связи между величинами и определяется проверкой статистической гипотезы. Наблюдаемым значением критерия при этом является модуль оценки коэффициента корреляции, т.е.

.

Критическое значение критерия определяется в зависимости от объема результатов наблюдений и значения доверительной вероятности

– при

,

где ,

– квантиль стандартного нормального распределения (вычисляется по формуле ),

– при

,

где – квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы (значение квантиля определяется по формулам или ),

– при

,

где – квантиль стандартного нормального распределения (вычисляется по формуле ),

Наличие (значимость) корреляционной связи подтверждается, если

.

Пример

Имеются результаты наблюдения двух случайных величин Х и Y с нормальным законом распределения.

X	2	4	1	7	3	11	14	15	21	4
Y	7	6	4	11	2	21	31	23	40	15

Проверить гипотезу о значимости корреляционной связи между Х и Y при доверительной вероятности 0.95

Решение:

Объем выборок .

Для выборки с нормальным законом распределения координата центра распределения – это выборочное среднее арифметическое, т.е.

,

.

Проведем промежуточные расчеты

,

,

.

Вычислим коэффициент

.

Поскольку объем выборок , то коэффициент корреляции

.

Наблюдаемое значение критерия согласно

.

Поскольку , то критическое значение критерия определяется по формуле

.

Вычислим квантиль стандартного нормального распределения по формуле

,

тогда

и критическое значение критерия

.

Нулевая гипотеза о значимости корреляционной связи принимается с доверительной вероятностью , поскольку

.