Исследование распределения токов в конечности человека при биоадекватных воздействиях (96

ВВЕДЕНИЕ

Аппараты и системы электрофизического воздействия на биоткани используют ответные реакции систем организма для задач терапии и диагностики. Количественно и качественно оценить такие реакции невозможно без адекватного метрологического обеспечения самого воздействия, т. е. без определения плотности токов, потоков мощности электрического поля в том или ином органе или ткани организма. Сложность физически корректного их описания обусловлена, во-первых, существенным различием удельных электрических сопротивлений биотканей и, во-вторых, неправильностью геометрической формы границ органов и тканей.

Эти проблемы затрудняют использование аналитических методов расчета токов в неоднородных биотканях, поэтому при расчете, как правило, приходится применять весьма трудоемкие и громоздкие численные методы. Однако независимо от выбранного в конечном итоге метода на начальном этапе решения реальных задач необходимо проводить их качественный анализ, который обычно основан на использовании известных аналитических решений подобных задач, а также на оценке их точности. Эту точность сопоставляют с точностью используемых методов измерения медикобиологических параметров ответных реакций живых систем на воздействие. Анализ погрешности большинства традиционных методов измерения параметров сердечно-сосудистой, дыхательной, костномышечной и других систем организма показывает, что она, как правило, не превышает 15…25 %. Повышение точности измерений затруднительно, так как интерпретация данных в параметрах состояния живых систем часто не позволяет осуществлять дифференцированную диагностику патологических процессов.

В данной работе рассмотрены задачи нахождения распределения токов в конечности человека при электростимуляции и при бесконтактном электромагнитном воздействии.

Цели работы – изучение методов формирования базовых моделей для расчета токов в неоднородных средах и исследование распределениялокальныхтоковвконечностиприбиоадекватныхвоздействиях.

3

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Электростимуляция

Для расчета параметров электростимуляции рассматриваем конечность (рис. 1), на поверхности которой установлены два длинных прямоугольных проводящих электрода, через которые протекает суммарный ток I. Хороший электрический контакт электродов с поверхностью кожи достигается при использовании, например, токопроводящих паст.

Рис. 1. Геометрические и биофизические параметры модели расчета плотностей токов при электростимуляции:

γ1 =1/ ρ1 – удельная проводимость костного мозга;	γ2 =1/ ρ2	– костной ткани;
γ3 =1/ ρ3 – мягких тканей; γ4 =1/ ρ4 – кровеносных	сосудов;	γ5 =1/ ρ5 – крови;

ρi – удельное электрическое сопротивление

Допускаем, что расположение кости в геометрическом центре конечности не является принципиальным. Обоснованность этого допущения в дальнейшем будет проанализирована.

Задачу распределения токов в такой системе можно разбить на следующие этапы [1]:

– нахождение распределения токов в однородно проводящем цилиндре с радиусом R без неоднородных включений, состоящем только из мягких тканей;

4

–учет влияния кости;

–учет влияния сосудов.

Выражение для комплексной плотности тока в однородно проводящей цилиндрической системе имеет вид (рис. 2) [2]

z 2 −

1

2 −

1

j(z) = C

e−2iα +

2

e2iα +

z

2

(1)

,

1

R

R

где j(z) = jx (x, y) −ijy (x, y);

z = x +iy; C1

–

действительная кон-

станта.

Рис. 2. Модель однородно проводящей цилиндрической системы

Проинтегрировав плотность тока в средней плоскости конечности, получим для оценки величины C1 общий ток

R
I = 2L∫ j(x)dx.	(2)
0

Из выражений (1) и (2) найдем следующие соотношения:

R

1

1

I

x

2 2

x

2 2

C1

=

∫ e−2iα +

e2iα +

dx,

(3)

2L

0

R

R

5

C

=

I

,

1

2LC

где

R

dx

C = ∫

=

0

−2iα

x

2

2iα

x

2

e

+

e

+

R

R

(4)

R

dx

= ∫

.

x

4

x

2

(e

)+1

0

2iα

+e

−2iα

+

R

R

Заменяя переменную t

на

x2

в (4) и преобразуя интеграл в стан-

R

дартную форму записи неполного эллиптического интеграла 1-го рода F (ϕ, k ), получаем

1	R											dt
C = ∫																	,
			(												)
0 2		t						t2 +
											2t cos 2α+1
2		ϕ
tg
		2										dt
F (ϕ, k)= ∫																		,
							t t			2	+ 2(m		2	− k	2
		0														)t +1
где m = 1 −k2 .
Имеем очевидные соотношения
					tg		2		ϕ			=1,
									2

1 −2k2 = cos 2α,

6

(5)

(6)

(7)

откуда k =sin α,

ϕ= π.

2

В данном случае неполный эллиптический интеграл можно

выразить через полный эллиптический интеграл K [2, 3]:

ϕ

dϕ

2ϕ

F (ϕ, k)= ∫

=

K,

(8)

1 −k

2

sin ϕ

π

0

π

2

dϕ

π 1 +

k2

1

32

k 4

+... ,

K =

=

+

(9)

∫

2

1 −k 2 sin ϕ

4

2

4

2

2

0

где k = sin α <1. Следовательно, в разложении (9) допустимо ог-

раничиваться конечным числом членов.

Окончательное выражение для константы С1 принимает вид

C =πRL(1 +

1

sin2

α+

1

32

sin4 α),

(10)

1

22

22

42

где 2α – угол развертки электродов (см. рис. 1); L – их длина.

Используя полярные координаты (ϕ,ρ)

и решение (1), получим

j (z)= j

(z)−ij

(z)=

C

j

x

jy

x

y

1

−i

,

(11)

4 A2 + B2

j

j

где

z =ρcos ϕ+iρsin ϕ,

j

x

=

A2 + B2 + A

,

jy

=

A2 + B2

− A

,

j

2 A2 + B2

j

2 A2 + B2

ρ

4

ρ

2

A =

cos 4ϕ+ 2

cos 2ϕ cos 2α +1,

R

R

7

	ρ 4				ρ		2
B =			sin 4ϕ + 2				sin 2ϕ cos 2α.
	R				R

Найденные соотношения позволяют определить значения плотности тока в любой точке цилиндра (см. рис. 2) и, следовательно, являются решением первого этапа задачи.

Вычислительный эксперимент, проведенный c использованием (11), показывает, что при учете реальных размеров конечности и кости плотность тока в пределах области расположения кости можно (с точностью до 10…15 %) считать постоянной по величине и направлению. Таким образом, в качестве модели для второго этапа решения задачи возможно рассматривать достаточно протяженную однородную среду проводимости γ3 с плотностью тока

j3 , в которую внесено цилиндрическое включение с проводимостями γ2 , γ1 (рис. 3).

Рис. 3. Модель для расчета распределения плотности тока в цилиндрическом включении

Расчеты надо проводить в центральной плоскости с тем, чтобы не учитывать эффектов конечной длины включения. В этом случае задача нахождения распределения электрического потенциала является плоской, а ее решение – решением уравнения Лапласа для распределения электрического потенциала, которое в полярных координатах имеет вид

8

1 ∂				∂ϕ		1 ∂2ϕ
			r		+			= 0.
						r2	∂θ2
r ∂r				∂r

Общее решение уравнения Лапласа в полярных координатах имеет вид

ϕ= с1	+∞	(Anrn + Bnr−n )(cos nθ+sin nθ),
	+с2An(r )+ ∑		(12)
	−∞

где константы определяются из граничных условий и особенностей рассматриваемой задачи. Для симметричной задачи в нашем

случае ϕ(−θ)=ϕ(θ) и, следовательно, в выражении (12) члены с sin (nθ) отсутствуют.

Плотности токов в биосредах определяются как j1 = E1 = γ1E1 = ρ1

= −γ1grad(ϕ1) [1, 4], а вследствие конечности потенциала при r = 0 из выражения (12) имеем

ϕ =с	∞	A rn cos nθ.
	+ ∑
1 1	n=1	n

Учитывая, что решение должно иметь период 2π и принимая для внутренней области потенциал в центре равным нулю, получаем выражение для потенциала

ϕ1 = A1r cos θ.

(13)

Рассуждая аналогично, получаем следующие выражения для двух других областей решения:

j2 = E2 = γ2 E2 = −γ2grad(ϕ2 ), ρ2

ϕ		=		A r +	A4	cos θ,	(14)
	2
				3	r
							9

	j	=	E3	= γ			E	= −γ			3	grad(ϕ	3	),
			ρ
	3						3 3
			3
		ϕ =				A r +			A6	cos θ.				(15)
			3				5		r

При большом удалении от цилиндрического включения поле практически однородно, следовательно, должно выполняться ус-

ловие ϕ		∞	= E r cos θ= j		r cos θ	,	откуда находим
3			3	3	γ
					3
					A5 = j3 / γ3.			(16)

На границах разделов r = a и r = b выполняются условия непрерывности потенциала и нормальных составляющих плотности тока. Нормальные компоненты плотности тока, как известно, определяются выражением

jni = −γi ∂ϕ∂ri .

Следовательно, имеем уравнения для нахождения оставшихся коэффициентов:

ϕ3 r=b =ϕ2 r=b A3b + Ab4 = E3b + Ab6 ,

ϕ

2

r

=ϕ

r=a

A a =

A a +

A4

,

=a

1

1

3

a

γ

∂ϕ3

= γ

∂ϕ2

γ

E

−

A6

= γ

A

−

A4

,

3

r=b

2

r=b

3

3

2

3

∂r

∂ϕ2

∂r

∂ϕ1

b2

A4

b2

γ

2

r=a

= γ

1

r

=a

γ

A −

= γ

A .

∂r

∂r

2

3

1 1

a2

10

Окончательно для коэффициентов получаем

	A3 =							2ρ2ρ3 j3											,	(17)
		(ρ3 +ρ2 )+						a2 (ρ2 −ρ3 )(ρ1								−ρ2 )
																)
										b2 (ρ +ρ					2
													1
	A4 =							2ρ2ρ3 j3									,			(18)
			(ρ3		+ρ2 )		(ρ1 +ρ2 )						+	(ρ2 −ρ3 )
				a2 (ρ −ρ					2	)				b2
						1
					A = A +						A4		;							(19)
						1	3				a2
	A =			b2	A	(ρ3 +ρ2 )+ A − E b2 .														(20)
				a2
	6				4	(ρ3 −ρ2 )								4		3

Теперь для нахождения радиальной и азимутальной компонент плотности тока и модуля вектора плотности тока возможно использование следующих соотношений:

E

r

= −

∂

ϕ, E = −

1

∂

ϕ, E = E2

+ E2

,

∂r

θ

r ∂θ

r

θ

∂ϕ

2

1

∂ϕ

2

j = γ E

= γ

i

+

i

.

(21)

i

i

i i

∂r

∂θ

r

По формулам (13) – (21) можно рассчитать ток в любой точке кости, костного мозга и мягких тканей, окружающих кость (эти области должны быть не слишком приближены к границе конечности), т. е. найти решение второго этапа задачи.

Для нахождения решения третьего этапа задачи возможно использование тех же формул (13) – (21), но «входной» в сосуд будет плотность тока, рассчитанная на втором этапе в той области мягких тканей, где расположен сосуд. Кроме того, необходимо заменить соответствующие проводимости и размеры на значения, ха-

11

рактеризующие сосудистую стенку (вместо кости) и кровь (вместо костного мозга).

Ограничения данного метода расчета определяются в значительной мере теми допущениями, которые были сделаны на каждом из этапов расчета. На первом этапе не рассматриваем эффекты конечной длины электродов (краевые эффекты), что допустимо, если выполняется условие L R, а расчет проводим для средней части электродов. На практике достаточно, чтобы выполнялось условие L > (4…5)R.

На втором и третьем этапах предполагаем, что плотность «входного» тока на протяженном цилиндрическом включении пространственно однородна. Возможность использования этого допущения не является универсальной, так как необходимо оценивать степень неоднородности «входного» тока. Расчеты показывают, что для нижних и верхних конечностей (с учетом их геометрических размеров и проводимостей) в пределах области, занимаемой костью, плотность тока однородна с точностью до 10…15 %. Что же касается кровеносного сосуда, то «входной» ток можно считать однородным с точностью 5…15 % при условии, что расстояние от стенки сосуда до кости или до кожных покровов – не менее двух-трех диаметров сосуда.

На всех этапах предполагаем, что конечности и включения обладают правильной геометрической формой (округлой); ось конечности параллельна осям цилиндрических включений кости и сосуда.

Бесконтактное электромагнитное воздействие

Для случая бесконтактного электромагнитного воздействия в расчете учитываем, что внешнее электрическое поле E(t) создается за счет одной пары встречно включенных соленоидов (рис. 4). Тогда для двух соленоидов имеем выражение

E (t)= −	kL		dI (t)	,	(22)
	2πR		dt
	0

где I(t) – ток в соленоидах; k – коэффициент формы соленоидов (в расчетах принимается равным единице, поскольку длина каждого соленоида много больше его диаметра); L – индуктивность соленоидов; R0 – расстояние между осью конечности и осью соленоида.

12