Классификация и приведение к каноническому виду уравнений с частными производными второго порядка (110

Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики 30 апреля 2012 г., протокол № 9

Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. М. А. Артемов

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математического и прикладного анализа факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов 3-го курса факультета прикладной математики, информатики и механики всех форм обучения.

Для специальностей: 010501 – Прикладная математика и информатика, 010901 – Механика

2

Предисловие

В настоящем пособии рассматривается одна из наиболее сложных тем курса уравнений математической физики – классификация и приведение к каноническому виду квазилинейных уравнений с частными производными второго порядка.

Изложение материала в пособии опирается на результаты, содержащиеся в курсах математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений и теории функций одной и многих комплексных переменных. В отличие от ряда общедоступных учебников по уравнениям математической физики значительное внимание в пособии уделено понятиям вещественного, а также комплексного общего интеграла обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, используемых соответственно для приведения к каноническому виду уравнений гиперболического и эллиптического типов.

Пособие предназначено для студентов 3-го курса факультета прикладной математики, информатики и механики. Оно содержит ряд упражнений и задач, решение которых позволит успешно освоить рассматриваемую тему.

§ 1. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными

Рассмотрим квазилинейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными x , y :

венные функции, u = u( x, y ) – неизвестная функция. Функции a11 , a12 , a22

называются коэффициентами уравнения (1.1).

Мы будем предполагать, что: 1) коэффициенты a11 , a12 , a22 непрерыв-

но дифференцируемы в некоторой области Ω R2 и одновременно не обращаются в нуль ни в одной точке этой области; 2) функция B определена при ( x, y ) Ω; 3) функция u принимает вещественные значения и дважды

3

a11 ( x0 , y0 ) ≠ 0 , то указанная окрестность существует в силу непрерывности коэффициента a11 . Если a11 ( x0 , y0 ) = 0 , a 22 ( x0 , y0 ) ≠ 0 , то, меняя местами переменные x и y (то есть используя замену переменных x'= y , y'= x ), получим уравнение того же вида, что и (1.1), в котором коэффициент, иг-

v( ξ,η ) = u( ξ + η, ξ − η) = u( x, y ) . Используя приведенные ниже формулы (1.5) – (1.9) , легко показать, что функция v( ξ,η ) удовлетворяет уравнению

но (в силу непрерывности), и в некоторой окрестности точки ( ξ0 , η0 ).

Задание 1. Повторить теоремы о неявной функции, о разрешимости системы функциональных уравнений и о независимости функций из курса математического анализа [1, § 41, 42].

Пусть ϕ ( x, y ) и ψ ( x, y ) – функции, дважды непрерывно дифференцируемые в некоторой окрестности G0 точки M0 и такие, что якобиан

отличен от нуля в точке M0 . Заметим, что функции ϕ ( x, y ) и ψ ( x, y ) яв-

жества Ω0 ∩Q0 ∩Q0* . Тогда при отображении (1.2) область V0 переходит в

4

являющаяся решением системы функциональных уравнений

ϕ( x, y ) −ξ = 0 ,

ψ( x, y ) −η = 0 .

Посмотрим, какой вид примет уравнение (1.1) в новых независимых переменных ξ , η. Для этого выразим частные производные функции u по

переменным x , y через производные этой функции по переменным ξ , η. В

дальнейшем для краткости будем наряду с обычными обозначениями использовать следующие обозначения для частных производных:

Используя правило дифференцирования сложной функции от нескольких переменных, имеем:

uxy = ∂∂y (vξξx + vηηx ) = (vξξξy + vξηηy )ξx +

+ vξξxy + (vηξ ξy + vηηηy )ηx + vηηx y =

5

~

B – функция, зависящая в общем случае от ξ , η, v , vξ , vη и от частных производных до второго порядка включительно функций ξ и η по переменным x и y .

Упражнение 1. Показать, что если уравнение (1.1) линейно, то уравнение (1.10) также будет линейным.

Упражнение 2. Непосредственной проверкой убедиться, что

Уравнения (1.15) и (1.16) идентичны, поэтому в дальнейшем будем рассматривать уравнение (1.15).

Так как a11 ( x, y ) ≠ 0 при ( x, y ) V0 , то уравнение (1.15) можно записать в виде

где

6

d( x, y ) = a122 ( x, y ) − a11 ( x, y )a22 ( x, y ).

Задание 2. Повторить теорему существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка [3, § 1].

Пусть G R2 – некоторая область. Через C(G ) будем обозначать совокупность всех непрерывных в области G функций, а через C k (G ), где k =1, 2,… – совокупность всех функций, имеющих в этой области непрерывные частные производные до порядка k включительно.

Пусть μ ( x, y ) – функция класса C 1(G ) и g( x, y ) – функция класса C(G ), для которой существует производная gy ( x, y ) C (G ). Предполагается, что функции μ и g принимают вещественные значения.

Будем говорить, что соотношение μ ( x, y ) = const является общим ин-

тегралом (вещественным общим интегралом) обыкновенного дифферен-

циального уравнения

в области G , если для любой фиксированной точки ( x* , y* ) G найдется постоянная δ * > 0 , такая, что: 1) для любого x , удовлетворяющего условию x − x* <δ * , существует единственное решение y = f ( x,C* ) уравнения μ ( x, y ) = C* , где C* = μ( x* , y* ), причем точка ( x, y ) G ; 2) функция y = f ( x,C* ) является решением уравнения (1.18) при x − x* <δ * .

гда, в силу теоремы единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, это решение совпадает на интервале I

7

уравнения (1.18) в области G , чем и объясняется, что оно носит название «общий интеграл уравнения (1.18) в области G ».

Заметим, что если μ y ( x, y ) ≠ 0 в области G , то, в силу теоремы о не-

явной функции, условие 1) в определении общего интеграла будет выполнено.

Т е о р е м а. Пусть d( x, y ) ≥ 0 при ( x, y ) V0 . Тогда для того, чтобы функция ξ = ϕ ( x, y ) была решением уравнения (1.15) в области V0 , необхо-

димо и достаточно, чтобы соотношение ϕ ( x, y ) = const было общим интегралом одного из обыкновенных дифференциальных уравнений

в области V0 .

До к а з а т е л ь с т в о

Не о б х о д и м о с т ь. Предварительно отметим, что в силу условия d( x, y ) ≥ 0 функции λ1 ( x, y ) и λ2 ( x, y ) принимают вещественные значе-

ния.

Пусть функция ξ = ϕ ( x, y ) является в области V0 решением уравнения (1.15), или, что то же самое, уравнения (1.17), то есть

определению области V0 . Поэтому ϕ y ( x, y ) ≠ 0 для всех ( x, y ) V0 .

В силу (1.21) функция ϕ ( x, y ) должна удовлетворять одному из урав-

8

Предположим, что функция ϕ ( x, y ) удовлетворяет уравнению (1.22), и покажем, что в этом случае соотношение ϕ ( x, y ) = const является общим интегралом уравнения (1.19) в области V0 .

Пусть ( x* , y* ) – произвольная точка области V0 . Так как ϕ y ( x, y ) ≠ 0 для ( x, y ) V0 , то, как уже отмечалось выше, условие 1) в определении общего интеграла выполнено. Покажем, что функция y = f ( x,C* ), где C* =ϕ ( x* , y* ), удовлетворяющая уравнению ϕ ( x, y ) = C* , является решением уравнения (1.19).

ем уравнения (1.19), что и требовалось показать.

С помощью аналогичных рассуждений можно показать, что если функция ϕ ( x, y ) удовлетворяет уравнению (1.23), то соотношение

ϕ ( x, y ) = const является общим интегралом уравнения (1.20). Таким обра-

зом, необходимость доказана.

Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть соотношение ϕ ( x, y ) = const является общим интегралом одного из уравнений (1.19) или (1.20), например, урав-

Полагая в (1.25) x = x* и учитывая, что y* = f ( x* ,C* ), получим

ϕx ( x* , y * ) + λ1( x* , y* )ϕy ( x* , y* ) = 0 .

9

Так как ( x* , y* ) – произвольная точка области V0 , то отсюда следует, что функция ξ =ϕ ( x, y ) является решением уравнения

ξx + λ1ξy = 0 ,

аследовательно, и уравнения (1.15) в области V0 .

Аналогично рассматривается и случай, когда соотношение ϕ ( x, y ) = const является общим интегралом уравнения (1.20). Теорема до-

казана.

Каждая линия из семейства линий, задаваемых общими интегралами уравнений (1.19) и (1.20), называется характеристикой уравнения (1.1). Сами уравнения (1.19) и (1.20) называются дифференциальными уравне-

ниями характеристик уравнения (1.1).

Будем говорить, что уравнение (1.1) является в точке M0 = ( x0 , y0 ) Ω

точке M0 (то есть тип уравнения не меняется при преобразовании незави-

симых переменных).

Будем говорить, что уравнение (1.1) является уравнением гиперболиче-

ского (соответственно параболического или эллиптического) типа в некото-

рой области W Ω, если оно является уравнением гиперболического (соответственно параболического или эллиптического) типа в каждой точке области W .

Рассмотрим отдельно каждый из перечисленных типов уравнений. А) Уравнения гиперболического типа

Пусть уравнение (1.1) имеет гиперболический тип в некоторой области W Ω. Зафиксируем точку M0 = ( x0 , y0 ) W . Как показано ранее, без ог-

раничения общности можно считать, что a11 ( x, y ) ≠ 0 в некоторой окрест-

10