Прохождение излучения через границу раздела однородных изотропных сред (96

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

где длина волны света в среде Ясно что глубина проникно венияλ2 — имеет порядок длины волны2поэтому. , поле в среде опреде- лить сложноδ Экспериментально такое, проникновение можно2 обна- ружить если. поместить на расстоянии приблизительно от гра- ницы раздела, другую преломляющую среду и наблюдатьλ/4проник- новение излучения в нее -

Одна из возможных схем. экспериментального наблюдения про никновения света в среду при полном внутреннем отражении- ПВО представлена на рис 2 ( ) . 8.

Рис Схема регистрации проникновения света во вторую. 8. среду при полном внутренем отражении

На рисунке две призмы полного внутреннего отражения поста влены так что между ними образуется зазор малой толщины При- толщине зазора, значительно большей приемник излучения . ПИ не регистрирует падающую на него лучистуюδ энергию Если(тол) щина зазора становится соизмеримой с глубиной или меньше. нее- то проникающая волна пройдя вторую призму попадаетδ в ПИ ко, торый регистрирует это, прохождение На этом ,принципе работают, - в частности модуляторы света использующие. явление нарушен, ного полного, внутреннего отражения, Важно отметить что волна в- среде не является однородной так как. ПРА и ПРФ не, совпадают см рис2 Они образуют между, собой прямой угол Более подроб ное( .рассмотрение. 7). в позволяет установить также что. преломлен- ная волна не является[1]поперечной составляющая , -

Наличие волны в среде при (полном внутреннемTx 6=отражении0).

на первый взгляд противоречит2 общеизвестному факту полного от, , -

21

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ражения энергии излучения от границы раздела. В действительно-

сти никакого противоречия не существует,

поскольку часть пото-

ка энергии, проникая в среду

2

на малую глубину

(порядка длины

волны),

возвращается обратно в первую среду [4].

Вследствие этого

среднее значение вектора Пойнтинга на границе раздела сред равно

нулю [1], места входа и выхода потока энергии смещены друг отно-

сительно друга на расстояние порядка

λ/2.

Неоднородная волна в

среде 2 есть совокупность явлений входа энергии в среду 2,

движе-

ния ее вдоль границы раздела и выхода в среду

1.

Найдем выражения для амплитуд колебаний в отраженном из-

лучении R и Rk.

Из

(1.27)

с учетом

(1.46) получим

R

=

n2 cos θi − i

sin2 θi − n2

A

;

k

n2 cos θi + ipsin2 θi − n2

k

(1.49)

cos θi + i

psin2 θi

n2

R = cos θi

−

p

−

ipsin2 θi

− n2 A .

ρ

Отсюда видно, что

R

k

= A

k и

|

R

|

=

A

,

и

,

следовательно

,

= ρ

= 1 .

|

|

k

Далее вычислим изменение фаз компонент отраженной и пада-

ющей волн. Из (1.49)

ясно,

что амплитудные коэффициенты отра-

жения для различных компонент имеют вид

Rk

aeiαk

i2α

iδ

rk =

A

k

=

ae−iαk

= e

k = e

k

;

(1.50)

aeiα

r

=

R

=

= ei2α = eiδ ,

ae−iα

где

A

tg α

= tg

δk

=

sin2 θi − n2

;

k

2

−p n2 cos θi

(1.51)

δ

α

sin2 θi

n2 .

tg

= tg

= −

p

cos θi−

2

22

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Найдем разность фаз δ между компонентами, т. е. δ = δ − δk.

Поскольку δk = 2αk, δ = 2α ,

то, воспользовавшись известным

соотношением

δk

δ

tg

δ

− tg

δk

−

2

2

,

tg 2

2 = 1 + tg

δ

tg

δk

с учетом (1.51) получим

2

2

p

sin2

i

tg

δ

=

cos θi

θi − n2

.

(1.52)

sin2 θ

2

График функции tg δ представлен на рис. 9. Из графика следует, что при некотором значении2 угла падения фазовый сдвиг между компонентами отраженной волны достигаетθi = θm максимума.

Рис. 9. График зависимости от tg δ/2 угла падения при полном вну-
треннем отражении
Проведя исследование функции tg			δ		из (1.52) на экстремум, по-
лучим	2
sin2	θm =	2n2				;	(1.53)
					2
		1 + n
							23

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

tg

δm

=

1 − n2

.

(1.54)

Выражения

2

2n

(1.53) и (1.54) определяют максимально возможный

фазовый сдвиг

δm между компонентами отраженной волны и соот-

ветствующий ему угол падения θi = θm. В частности, если сре-

да 2 —

воздух

(n2 = 1), а среда

1 —

стекло К8 (n1

= 1, 52), то

n = n21 = 1/n1. Тогда

tg

δm

=

n12 − 1

(1.55)

2

2n1

и при n1 = 1, 52 получим tg

δm

= 0, 41 < 1.

Таким образом, граница раздела сред при полном внутреннем

2

отражении выступает как фазовая пластинка, которая в случае

использования общепринятых марок оптических стекол вносит

фазовый сдвиг между компонентами,

не достигающий значения

δ = π/2. Вместе с тем именно четвертьволновые пластинки пред-

ставляют наибольший интерес в практике поляризационных изме-

рений.

= π/2, т. е. δm/2 = π/4, то из

Если требуется обеспечить

δ

(1.55)

получим, что показатель преломления должен быть равным

n1 = 1+√2 ' 2,41. Это значение довольно велико, хотя такие мате-

риалы и существуют. Гораздо проще найти материалы, для которых

δ = π/2 получится при двух последовательных полных внутрен-

них отражениях. Действительно,

возьмем, например, стекло К8 и

потребуем, чтобы при каждом полном внутреннем отражении воз-

никала разность фаз δ0 = π/4, тогда полная разность фаз будет рав-

на

δ = 2δ0 = π/2.

Соответствующее значение угла падения найдем из (1.52):

δ0

p

sin2

i

tg

= tg

=

sin2 θ

θi − n2

,

2

8

где n = 1/n1.

Это уравнение приводится к квадратному относительно sin2

θi

и имеет два корня: θi

= 48o370 и θi

= 54o370. На этом основано

действие так называемого ромба Френеля (рис. 10).

24

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис. 10. Ромб Френеля

Ромб Френеля используется для получения света с круговой по-
ляризацией. Для этого на вход подается линейно-поляризованный
свет с азимутом поляризации, равным 45o,	тогда на выходе бу-
дет получен свет, поляризованный по кругу.	При необходимости
ромб Френеля можно использовать и для получения эллиптически-
поляризованного света. В этом случае азимут линейно-поляризо-
ванного света на входе должен отличаться от 45o.

2. МЕТАЛЛООПТИКА

	В настоящем разделе рассмотрены особенности распростране-
ния оптического излучения в проводящих средах.		которых присут-
	Проводящие среды (металлы), в структуре
ствуют свободные несвязанные электроны, имеют проводимость
σ, отличную от нуля. Вследствие этого при распространении элек-
тромагнитной волны в такой среде появляются токи проводимости
ˉ	ˉ
j = σE, пропорциональные напряженности электрического поля.
Наличие токов проводимости приводит к выделению джоулева те-
пла в проводнике, и электромагнитная волна в проводнике быстро
затухает. Поскольку электромагнитная волна, падающая на провод-
ник, вызывает согласованное движение электронов, которые сами
становятся источниками электромагнитных волн,		следует ожидать

высокого уровня отражения от проводника В силу инерционности механизма взаимодействия поля и электронов. между компонента ми полей падающего и отраженного излучения возникает разность- фаз колебаний что приводит к изменению поляризации отраженно го излучения ,Рассмотрим эти вопросы более подробно на основе- решения уравнений. Максвелла.

25

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2.1. Распространение волны в проводнике

Будем считать проводник изотропной средой с известными па раметрами и объемной плотностью зарядов -

Материальныеε, μ, σ уравнения в этом случае имеют ρвид= 0.

~

~

~

~

~

~

(2.1)

j = σE; D = εE; B = μH,

а уравнения Максвелла — вид

rotH~

ε

π

−

E~˙

=

4

σE~ ;

c

c

c

~

μH~˙

E~

rot

+

= 0;

(2.2)

divE = 0;

divH~ = 0.

по времени

полу

чимПродифференцируем первое уравнение

(2.2)

-

,

˙

ε

¨

4π

˙

~

−

~

~

(2.3)

rotH

c

E =

c

σE.

Затем возьмем rot от второго уравнения (2.2), тогда с учетом третье-

го уравнения (2.2)

найдем

μ

˙

2

~

~

c

rotH = r

E.

(2.4)

Исключив из (2.3) и (2.4)

H, получим

˙

~

2

με

¨

4πμσ ˙

r

~

~

~

(2.5)

E =

c2

E +

c2

E.

Это волновое уравнение, где член

c2

E

описывает затухание. Бу-

4πμσ ˙

~

дем считать для простоты, что поле монохроматично и характеризу-

ется одной частотой ω, т. е. E = E0e

, где

E0 = E0(x, y, z).

Тогда

E = iωE; E = −ω E

~

~

iωt

~

~

и уравнение (2.5)

приводится к обычному

˙

¨

2 ~

~

~ ~

классическому волновому уравнению

2

~

ˆ2

~

(2.6)

r

E + k

E = 0,

26

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

где k

—

комплексная величина, равная

ˆ2

ˆ2

ω2μ

4πσ

ω2μεˆ

k

=

(ε − i

) =

.

Здесь εˆ—

C2

ω

C2

комплексная диэлектрическая проницаемость проводни-

ка,

4πσ

εˆ = ε − i

(2.7)

.

ω

Решение уравнения (2.6)

совершенно идентично решению вол-

нового уравнения для непроводящих сред,

где фигурирует веще-

ственная диэлектрическая проницаемость

ε,

т. е.

ˆ

~

~

~rS

),

где V

Eˉ = Eˉ0ei(ωt−k(~rS))

= E0eiω(t− Vˆ

—

комплексная фазовая скорость, определяемая выражением

ˆ

ˆ

c

c

V =

nˆ

=

√

.

μεˆ

Аналогия с непроводящими средами станет еще ближе, если

кроме комплексных величин k ,

εˆ и V ввести также комплексный

ˆ

ˆ

показатель преломления nˆ, который найдем следующим образом:

c

c

= pμεˆ =

nˆ =

k.ˆ

(2.8)

Vˆ

ω

Представим nˆ так:

nˆ = n(1 − iχ),

(2.9)

где χ назовем показателем затухания.

Величины n и χ

легко выразить через материальные постоян-

ные ε, μ

и σ.

в квадрат, получим

Действительно, возведя (2.9)

nˆ2 = n2(1 − χ2 − 2iχ).

(2.10)

Кроме того, из (2.7) и (2.8) найдем

nˆ2 = μεˆ = μ(ε − i

4πσ

(2.11)

).

ω

27

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Приравняв вещественные и мнимые части в (2.10) и (2.11), получим

n2(1 − χ2) = με;

n2χ =

2πμσ

μσ

(2.12)

=

.

(2.12)

ω

ν

n

2

2

2

.

-

Систему

и

n χ

В ре

можно разрешить относительно

зультате найдем

n2 =

1

rμ2

ε2 +

4μ2σ2

με ;

+

2

ν2

(2.13)

1

rμ2ε2 +

μ2σ2

n2χ2

=

4

− με .

2

ν2

Рассмотрим теперь монохроматическую плоскую волну с часто-

той ω, падающую на проводник под углом

θi

(рис. 11),

и введем си-

стему координат xyz,

так,

чтобы ось z

совпала с нормалью к по-

верхности, а плоскость xoz

являлась плоскостью падения. Запишем

уравнение падающей волны в виде

~ (i)

~

~(i)

))].

(2.14)

E

= A exp[i(ωt

− k(~rS

~

(i)

,

определяющий направление падающей волны, имеет

Вектор S

координаты

~(i)

{sin θi, 0, cos θi}.

S

Рассуждая аналогично предыдущему

(см. разд. 1.1), получим

для направления отраженной волны θr = π − θi и для направления

преломленной волны

sin θt =

n1

sin θi.

(2.15)

nˆ

Величина nˆ является комплексной, поэтому комплексным будет

и угол θt.

Однако этот угол уже не имеет простого смысла угла пре-

ломления. Запишем,

как и раньше, координаты вектора преломлен-

~

(t)

{sin θt, 0, cos θt} и, пользуясь (2.15), найдем его со-

ной волны S

ставляющие

Sx(t) = sin θt =

n1 sin θi

= n1

1 + iχ

sin θi;

n(1 − iχ)

n(1 + χ2)

28

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис Иллюстрация преломления волны в проводящей среде. 11.

Sz(t) = cos θt =

=

1

n12(1 − χ2)

sin2 θi

−

i

2n12χ

sin2 θi.

(2.16)

n2(1 + χ2)2

s

− n2(1 + χ2)2

Выразим компоненту Sz(t) в экспоненциальной форме:

Параметры

Sz(t) = qeiγ

= q cos γ + iq sin γ.

(2.17)

q и γ можно найти,

если возвести в квадрат (2.16) и

(2.17) и приравнять действительные и мнимые части. Тогда полу-

чим

q2 cos 2γ = 1

n12(1 − χ2)

sin2

θi;

− n2(1 + χ2)2

(2.18)

−2n12χ

q2 sin 2γ =

sin2

θi.

n2(1 + χ2)2

29

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Запишем теперь уравнения преломленной и отраженной волн:

ˆ ~(t)

ˆ ~(t)

);

E~ (t) = T~ei(ωt−k(~rS

))

= T~eiωte−ik(~rS

(2.19)

E~ (r) = Re~

ˆ

~

(r)

ˆ ~

(r)

).

i(ωt−k(~rS

)) = Re~ iωte−ik(~rS

Рассмотрим сначала преломленную волну. Для этого раскроем

показатель экспоненты:

ˆ

~(t)

ωnˆ

(t)

(t)

ω

k(~rS

) =

(xSx

+ zSz

) =

(xn1 sin θi+

c

c

+ zqn(cos γ + χ sin γ) + inzq(sin γ − χ cos γ)).

(2.20)

Если подставить (2.20) в (2.19),

то для преломленной волны по-

лучим

~

(t)

~

ω

nzq(− sin γ + χ cos γ)]×

E

= T ∙ exp[−

c

ω

× exp[i(ωt − c (xn1 sin θi + zqn(cos γ + χ sin γ)))]. (2.21)

Отсюда легко видеть, что это также плоская волна, поскольку ПРФ

xn1 sin θi + zqn(cos γ + χ sin γ) = const

представляет собой плоскость, нормаль к которой образуют угол θt0

с осью z (см. рис. 11),

причем

tg θt0 =

n1 sin θi

,

или

qn(cos γ + χ sin γ)

sin θ0

=

n1 sin θi

=

n1 sin θi

.

(2.22)

t

qn12 sin2 θi + q2n2(cos γ + χ sin γ)2

n20

Формально (2.22)

напоминает закон преломления Снеллиуса,

,

n0

θi.

однако следует иметь в виду что

2 зависит от угла падения

Из ясно также что амплитуда волны уменьшается по мере увеличения(2.21)глубины проникновения, по экспоненциальному зако ну. Поверхности равных амплитуд определяютсяz соотношением -

nzq(sin γ + χ cos γ) = const,

30