Прохождение излучения через границу раздела однородных изотропных сред (96

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

т. е. z = const.

Таким образом, ПРА не совпадают с ПРФ колебаний, поэтому

такая плоская волна является неоднородной.

Оценим глубину проникновения электромагнитной волны в

проводник.

Обычно в качестве такой величины выступает z = d,

при которой амплитуда вектора E

уменьшается в e раз. Из (2.21)

можно найти

E~ (t) = E~ (0)e−az,

ω

где коэффициент a =

nq (− sin γ + χ cos γ) называется коэффи-

c

циентом поглощения.

Обычно коэффициент поглощения определяют для условия

нормального падения излучения на проводник,

т. е. для θi = 0.

В этом случае из

(2.16)

и (2.18) получаем

q = 1, γ = 0 и a =

ω

nχ =

2π

nχ =

2π

χ.

Глубина проникновения

c

λ0

λ

d =

1

=

λ0

=

λ

.

a

2πχn

2πχ

Коэффициент χ определяется проводимостью σ проводника.

Обычно для не слишком высоких частот ν имеем

2σ

ε, и поэто-

ν

му из

(2.13)

получаем

n = nχ

=

μσ

.

Следовательно

,

r

ν

λ0

1

s

cλ0

ν

d =

r

=

.

(2.23)

2π

μσ

2π

μσ

На практике для металлов σ ≈ 1017 с−1. Тогда для μ ≈ 1 найдем

d < 10−2λ0

, .

.

глубина проникновения составляет очень малую

т е

долю длины волны.

Явление проникновения электромагнитной волны в проводник

на глубину,

составляющую малую часть длины волны, хорошо из-

вестно. В технике оно носит название «скин-эффект».

31

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2.2. Амплитудные и поляризационные параметры

отраженной волны

Рассмотрим характеристики отраженной волны. Если составля-

ющие волны,

параллельные и перпендикулярные плоскости паде-

ния, равны

Ak

и A соответственно,

то для составляющих отра-

женной волны находим

R

k

=

tg(θi − θt)

A

;

R =

sin(θi − θt)

A

.

tg(θi + θt) k

−sin(θi + θt)

Поскольку угол θt

комплексный, то комплексными величинами

являются и амплитудные коэффициенты отражения

r

=

Rk

и

k

A

= A

т е

k

при отражении происходят характерные изменения

r

R

, .

.

фазы.

Таким образом, падающий линейно-поляризованный свет при

отражении от поверхности металла становится эллиптически-поля-

ризованным.

Представим амплитудные коэффициенты отражения в виде

r

Rk

r

eiϕ

r

R

r eiϕ .

k =

Ak

=

k

k;

=

A

= | |

i

Пусть азимут линейно-поляризованного падающего света равен

где tg

i

=

Ak

α

,

α

A

.

Введем азимутальный угол для отраженной волны:

tg αr

=

R

=

cos (θi − θt)

tg αi =

Rk

−cos (θi + θt)

=

|r |

e−i(ϕk−ϕ ) tg αi = P eiδ tg αi,

где

rk

|r |

P =

,

δ = ϕ

ϕ

.

(2.24)

rk

−

k

32

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Отсюда ясно, что при действительной величине tg αi величина
tg αr	в общем случае комплексная. Рассмотрим два случая.
1.	Нормальное падение ( θi = 0 ). Здесь P eiδ			= −1, т. е. P = 1 и
2. Скользящее падение ( θi = π ). Здесь P eiδ				= 1, т. е. P = 1 и
δ = π.
	2
Следует помнить, что в случае нормального падения волны на-
δ = 0.

правления падающего и отраженного лучей противоположны; та-
ким образом, отрицательная величина tg αr означает, что направле-
ние поляризации линейно-поляризованного света не изменяется в
пространстве. Оно не меняется и при скользящем падении.
Между рассмотренными углами существует так называемый
главный угол падения θi, для которого δ = π/2. При этом угле
ˉ
линейно-поляризованный свет превращается в эллиптически-поля-
ризованный, причем одна из осей эллипса поляризации параллель-
на, а другая перпендикулярна плоскости падения. Кроме того, если
выполняется условие P tg αi = 1, то tg αr = −i и отраженный свет
будет поляризован по кругу.
На рис. 12 представлены графики зависимостей P и δ от угла
падения θi для диэлектриков (пунктирные линии) и для металла
(сплошные линии). Из графиков ясно, что для металла при угле θi не
			~
наблюдается резкий скачок δ и резкий рост P , как для диэлектриков
при угле Брюстера θБ.
Таким образом, зная основные параметры проводника ε, σ или
n и χ, можно рассчитать состояние поляризации отраженного излу-
чения, если известны поляризационные параметры падающего.
На практике чаще всего стоит другая задача:			как, зная параме-
тры падающей волны и отраженного излучения,			найти константы
проводника n и χ.	= 1 и n2(1 + χ2) 1 после соответ-
Из (2.24) и (2.15) при n1
ствующих преобразований можно получить
n =	sin θi tg θi cos 2β ;
−
	1 + sin 2β cos δ

χ = tg 2β sin δ,

33

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис. 12. Графики зависимостей P и δ от θi						при падении электромагнитной
волны на поверхность диалектрика и металла
где tg β = P .	ˉ	ˉ	и, следовательно,
При δ = π/2 θi = θi , β = β,
	−		i		i
	n =	ˉ		ˉ
		sin θ		tg θ cos 2β;
		ˉ
	χ = − tg 2β.
Зная n и χ, легко определить коэффициенты отражения метал-
ла при нормальном падении. Действительно,									по формуле Френеля
34

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

вычислим

nˆ − 1

n(1 + iχ) − 1

= n2(1 + χ2) + 1 − 2n.

ρ =

2

=

2

n2(1 + χ2) + 1 + 2n

nˆ + 1

n(1 + iχ) + 1

При использовании на практике этого выражения необходимо помнить что параметры и следует рассматривать как функ ции частоты, света посколькуn nχвеличины характеризующие- металл также зависят, от частоты ε, μ, σ,

Различие, в механизме дисперсии. в прозрачных диэлектриках и металлах заключается в том что в прозрачной среде дисперсия обусловлена вынужденными колебаниями, связанных электронов тогда как в металле она обусловлена вынужденными колебаниями, свободных электронов.

3.

ПРИМЕРЫ

Пример 1. На прямоугольную призму АР-90 по нормали к ее

входной грани падает линейно-поляризованная волна (рис. 13)

с

азимутом поляризации α

=

30o

и единичной интенсивностью.

Показатель преломления материала призмы n = 1, 6. Определить

интенсивность и состояние поляризации волны после призмы.

Решение. Обозначим J1

, J2

, J3

поляризационные матрицы про-

пускания и отражения для поверхностей 1, 2 и

3 соответственно.

В

общем случае

r

0

Jпр = r

n2 cos θt

t

0

Jотр =

0k

r ;

0k

t ,

n1 cos θi

поэтому

J1 = √n t0k

t0

; J2 =

r0k

r0

; J3 = r

n

0k0

t0

.

1

t

0

В нашем случае

2n1

2

tk = t =

=

;

n2 + n1

n + 1

35

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис. 13. К примеру 1

tk0 = t0 =

2n

; rk = eiδk; r = eiδ ,

где δk и δ

n + 1

— фазовые сдвиги для соответствующих компонент при

полном внутреннем отражении.

√

.

Вектор Джонса волны на входе в призму равен Eˆ1 =

/2

3

1/2

Вектор Джонса на выходе определяется следующим образом:

ˆ

ˆ

E3

= J3J2J1E1.

После перемножения матриц получим

2n

√

3

Eˆ3 =

eiδk eiδ

,

где δ = δ

(n + 1)2

−δk — разность фаз между компонентами, определяемая

выражением (1.52), т. е.

δ

cos θ

sin2 θi

1/n2

tg

=

ipsin2 θi

−

.

2

Отсюда при θi = 45o найдем δ = 50o.

36

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Интенсивность волны на выходе определим из выражения

		4n2					√		=	16n2
								3
	I = Eˆ3 Eˆ3 =		√3 e−iδ
							eiδ				.
		(n + 1)4								(n + 1)4

При n = 1, 6 получим I = 0, 896, т. е. при прохождении призмы

потери энергии составляют около 10 %.

Определим состояние поляризации волны на выходе из призмы.

Положение оси эллипса поляризации относительно оси

х найдем из

выражения tg 2ψ = tg 2α cos δ = tg 60o cos 50o [2] и после вычисле-

ния получим ψ = 24o.

Отношение полуосей эллипса поляризации найдем из соотно-

шения b/a = tg β, где угол β

пределяется выражением sin 2β =

= sin 2α sin δ

= sin 60o sin 50o

[2]. Отсюда β

= 20, 74o, поэтому

b/a = tg β = 0, 38. Читателю предлагается самостоятельно постро-

ить эллипс поляризации.

Пример 2. Стопа плоскопараллельных стеклянных пластин с

показателем преломления n установлена под углом Брюстера на пу-

ти падающей плоской волны (рис. 14). Определить число m пластин

в стопе при условии,

что степень деполяризации вышедшей волны

не превышает

δ = 1 %.

степенью деполяризации понимается отно-

Примечание. Под

шение I /Ik,

где I и

Ik —

интенсивности составляющих волны,

поляризованных перпендикулярно и параллельно плоскости паде-

ния соответственно.

Решение. Представим падающую волну линейно-поляризованной

с азимутальным углом

α

= 45o и единичной интенсивностью

(энергетически это эквивалентно неполяризованной волне с ин-

тенсивностью, равной единице). Вектор Джонса такой волны равен

1

Eˆ1 = √2/2

1 .

Рассмотрим отдельную пластину в стопе (cм. рис. 14). Матрица

пропускания такой пластины равна Jпр = Jпр2Jпр1, где

r

; Jпр2 = s

n20

cos θt0

t0

n2 cos θt

t

0

0

Jпр1 =

0k

0k

t0

.

n1 cos θi

t

n10

cos θi0

37

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис. 14. К примеру 2

Здесь
cos θt0 = cos θi; cos θi0 = cos θt;				n2 = n10 = n; n20 = n1 = 1.
С учетом этих соотношений матрица пропускания отдельной
пластины будет равна
		Jпр = tk0tk0			t 0t0			.
Амплитудные коэффициенты пропускания tk и t определяют-
ся по формулам Френеля (1.26):
tk =		2 sin θt cos θi				t =			2 sin θt cos θi
					,					.
	sin (θi + θt) cos (θi − θt)								sin (θi + θt)
В нашем случае θi = θБ, где tg θБ = n2/n1, θi + θt = π/2, поэтому
		2 cos2 θБ		n1		1
tk =			= ctg θБ =			=		;
		sin 2θБ		n2			n
38

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

= 2 cos2

2

2n2

2

t

θ

=

=

1

=

.

1 + tg2

n2

+ n2

1 + n2

Б

θБ

1

2

Аналогично для второй поверхности пластины получим t0 =

2(n10 )2

2n2

k

= n10 /n20 = n, t0 =

=

.

Таким образом,

для элементов матрицы одной пластины

(n10 )2

+ (n20 )2

1 + n2

t t0

= 1, t

t0

=

4n2

.

(1 + n2)2

k k

Поскольку все пластины в стопе одинаковы, вектор Джонса на вы-

ходе будет равен Em = JпрE1.

Подставив в это выражение значение

ˆ

m ˆ

вектора Джонса на входе в стопу и выражение для матрицы пропус-

кания одной пластины,

с учетом найденных соотношений получим

окончательно:

.

Eˆm =

√

/2

2n1

2m

2

1 + n2

Интенсивность волны на выходе определяется аналогично приме-

ру 1:

1

1

2n

4m

I = EˆmEˆm =

+

= Ik + I .

2

2

1 + n2

По условию примера

δ = I I /Ik, т. е.

2n

m

= (δ)1/4 .

1 + n2

Последнее выражение позволяет легко определить необходимое
число m пластин в стопе.
Читателю полезно выполнить необходимые расчеты для случа-
ев: n = 1, 6 —	стекло марки Ф5; n = 3, 4 —	кремний; n = 4, 0 —
германий.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

	СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Борн М., Вольф Э. Основы оптики: Пер. с англ. М: Мир, 1970.
2.	Пахомов И.И., Хорохоров А.М., Горелов А.М. Поляризация излу-
850 с.

чения. Кристаллооптика. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.
50 с.	Пахомов И.И., Комраков Б.М., Хорохоров А.М. Сборник задач по
3.
физической оптике. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1992. 111 с.
4.	Матвеев А.Н. Оптика. М: Высш. шк., 1985. 351 с.
5.	Горелов А.М., Пахомов И.И., Хорохоров А.М. Элементы электро-
магнитной теории излучения. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2000. 43 с.
6.	Пахомов И.И., Хорохоров А.М., Уткин Г.И. Дифракция света. М.:

Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. 40 с.