Компьютерные лабораторные занятия по теоретической механике. Ч. 2 (110

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

¾ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ¿

А.А. Каменский, А.А. Некипелов, В.В. Чернушкин

КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЛАБОРАТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

Часть 2

Учебное пособие

Воронеж Издательский дом ВГУ 2016

Утверждено научно-методическим советом физического факультета 23 ноября 2016 г., протокол 11

Рецензент д-р физ.-мат. наук, доц. кафедры электроники Г.К. Усков

Учебное пособие подготовлено на кафедре теоретической физики физи- ческого факультета Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов 3-го курса дневного отделения физического факультета Воронежского государственного университета.

Для направления 03.03.02 Физика

Содержание

	Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	4
7.	Неинерциальные системы отсчета . . . . . . . . . . . . . .	5
	7.1. Движение в равномерно вращающейся системе отсчета	5
8.	Малые колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	9
	8.1. Собственные частоты колебаний . . . . . . . . . . . .	9

8.2.Вынужденные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

9.Формализм Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

9.1.Функция Гамильтона и канонические уравнения . . . 20

9.2.Скобки Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

9.3.Канонические преобразования . . . . . . . . . . . . . . 26

9.4. Метод Гамильтона-Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . 30

10.Гидродинамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

10.1.Идеальная жидкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

10.2.Вязкая жидкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

11.Функции стандартных библиотек Maxima . . . . . . . . . . 37

11.1.Аналитические преобразования алгебраических выра-

жений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	38
11.2. Операции с векторами и матрицами . . . . . . . . . .	42

11.3.Дифференцирование и интегрирование. Разложение в ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

11.4.Решение дифференциальных уравнений . . . . . . . . 45

11.5.Построение графиков функций . . . . . . . . . . . . . 47 Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3

Предисловие

Настоящее пособие представляет собой вторую часть учебного пособия для лабораторных компьютерных занятий и самостоятельной работы студентов по курсу ¾Теоретическая механика и механика сплошных сред¿ для студентов специальности ¾физика¿ физического факультета.

Всего указания содержат 11 разделов, из них первые шесть включены в первую часть. Во вторую часть вошли разделы (для удобства ссылок сохранена сквозная нумерация): неинерциальные системы отсчета (разд. 7), малые колебания (разд. 8), формализм Гамильтона (разд. 9), гидродинамика (разд. 10), а также функции стандартных библиотек Maxima (разд. 11).

Ссылки на рекомендуемую литературу указаны в первой части пособия.

В конце пособия приводится предметный указатель некоторых из используемых в пособии команд, терминов, обозначений.

4

7. Неинерциальные системы отсчета

7.1.Движение в равномерно вращающейся системе отсчета

Задача 7.1

Шарик движется в однородном поле тяжести по прямой, образующей угол с вертикалью и враща-

ющейся с постоянной угловой скоростью !, êàê ïî-

казано на рисунке. Найти зависимость скорости шарика от его положения, а также связь координат и времени при условии, что механическая энергия в неинерциальной системе отсчета равна нулю.

Решение.

Будем считать, что вектор угловой скорости на-

правлен по оси z, а ускорение свободного падения в противоположную сторону. Обозначив s смещение шарика вдоль вращающейся прямой, выразим остальные координаты:

x = s sin ; y = 0; z = s cos :

> load(vect);

> r:[s*sin(alpha),0,s*cos(alpha)];

G:[0,0,-g]; Omega:[0,0,omega];

Потенциальная энергия равна

U = m (r g) = mgz:

Механическую энергию частицы в равномерно вращающейся системе от- счета вычислим по формуле

E0 = mv2 2 + U m2 [ ! r ]2

> U:-m*(r.G);

> C:-m/2*ev(express(Omega~r.Omega~r),diff);

> E=m*v^2/2+C+U;

Отсюда найдем скорость шарика, (как решение алгебраического уравнения), и присвоим переменной v (выбрали второе решение с по-

ложительным знаком):

> solve(%,v)[2];

q

v = 2E=m + s2!2 sin2 2 s g cos :

5

E = 0) укажем

Для решения дифференциального уравнения (при заранее, что величины sin , cos è omega положительны:

> eq:subst([E=0,v='diff(s,t)],%);

> assume (sin(alpha)>0 and omega>0);

> ode2(eq, s, t);

Ответив на вопрос Maxima про g: positive, получим ответ:

		1
	t =		ln 2 ! sin qs2!2 sin2 2 s g cos +
		! sin
		+2 s !2 sin2 2 g cos ! + const:

Задача 7.2

Определить отклонение от начальной плоскости движения для тела, брошенного с начальной скоростью v0

Указание: считать ускорение свободного падения равным g = f0; 0; gg, а угловую скорость вращения системы отсчета рав-

íîé = f cos ; 0; sin g, где широта. Решение.

> load(vect);

> v:[vx,vy,vz]; g1:[0,0,-g];

> Omega1:[-Omega*cos(theta),0,Omega*sin(theta)];

> depends([vx,vy,vz],t);

Уравнение движения частицы в равномерно вращающейся системе отсчета есть

dv	= mg + 2m [v ] + m [ [r ]] :
m dt		(7.1)

Введем его в координатной форме, пренебрегая слагаемым, квадратичным по :

> eq[1]:m*diff(v[1],t)=m*g1[1]+2*m*express(v~Omega1)[1];

> eq[2]:m*diff(v[2],t)=m*g1[2]+2*m*express(v~Omega1)[2];

> eq[3]:m*diff(v[3],t)=m*g1[3]+2*m*express(v~Omega1)[3];

Подставим dvx=dt è dvz=dt из первого и третьего уравнений во второе, продифференцировав каждую его часть по времени.

> eliminate([eq[1],diff(eq[2],t),eq[3]],

[diff(vx,t),diff(vz,t)]);> eqv:trigsimp(%[1])=0;

6

Теперь дифференциальное уравнение содержит единственную проекцию скорости и допускает понижение степени (на запрос Maxima о знаке параметра введем nonzero):

> ode2(eqv,vy,t);

Рассматривая отклонение от начальной плоскости движения, положим в начальный момент времени y = 0, vy = 0. Остальные начальные условия введем с учетом связи проекций скорости между собой:

> ic2(%,t=0,vy=0,diff(vy,t)=2*(-Omega*cos(theta)

*v0z-Omega*sin(theta)*v0x));

Поскольку данное приближение справедливо для малых величин ,

то исключим слагаемые избыточной малости, убрав многоточие из ряда Тейлора командой ratdisrep

> ratdisrep(ta);

> r:ratdisrep(taylor(%,Omega,0,1));

vy = gt2 2v0zt cos( ) 2v0xt sin( ) :

> ode2('diff(y,t)=part(r,2),y,t);

> ic1(%,t=0,y=0);

> r:factor(%);

Ответ:	v0z cos + v0x sin 3		:
y = t2
		gt

Замечание: при нулевой начальной скорости (например, тело падает в шахту), получаем кубическую зависимость от времени:

y = g 3t3 cos( ):

Задача 7.3

Определить влияние, оказываемое вращением Земли на малые колебания математического маятника (маятник Фуко).

Решение.

Потенциальная энергия математического маятника равна U = mgh,

причем

x2 + y2 + z2 = l2;

ãäå l длина нити.

> z:sqrt(l^2-x^2-y^2);

> U:m*g*(l-z);

7

В дальнейшем потребуется разложение в ряды в символьном виде, поэтому свяжем производные координат со скоростями с помощью команды gradef:

> gradef(x,t,vx); gradef(y,t,vy);

> load(vect);

> v:[diff(x,t),diff(y,t),diff(z,t)];

> Omega:[Omegax,Omegay,Omegaz];

Сила, действующая на материальную точку маятника равна

F = gradU :

> F:-ev(express(grad(U)),diff);

Подставим ее в уравнение движения (7.1), снова пренебрегая слагаемым, квадратичным по . Запишем уравнение в координатной форме, ограничившись членами первого порядка малости:

> m*'diff(v[1],t)=F[1]+2*m*express(v~Omega)[1];

> eqx:ratdisrep(taylor(%,[x,y,vx,vy],0,1));

> m*'diff(v[2],t)=F[2]+2*m*express(v~Omega)[2];

> eqy:ratdisrep(taylor(%,[x,y,vx,vy],0,1));

Вернувшись к записи через производные, получим систему уравнений

ââèäå

> eq1:expand(subst([x=X(t),y=Y(t),

vx='diff(X(t),t),vy='diff(Y(t),t)],eqx/m));> eq2:expand(subst([x=X(t),y=Y(t),

vx='diff(X(t),t),vy='diff(Y(t),t)],eqy/m));

	g				g
nX•(t) = 2 zY_	(t)		X(t); Y• (t) = 2 zX_	(t)		Y (t)o:
		l			l

Два уравнения легко сводятся к одному с помощью комплексной замены

(t) = X(t) + iY (t);

для этого умножим (почленно) второе уравнение на мнимую единицу и сложим с первым:

> subst(X(t)=xi(t)-%i*Y(t),eq1+%i*eq2);

> ev(%,diff);

> eq:expand(%);

•	_	g
(t) = 2i z (t)		l	(t):

> ode2(eq,xi(t),t);

8

Ответив positive на вопрос Maxima о знаке величины l(l 2z + g), получим решение в виде

(t) = [k1 sin (!t) + k2 cos (!t)] e i zt;

ãäå

rr

! = z2	g			g
	+				:
		l		l

Множитель e i zt означает медленное вращение плоскости колебаний ма- ятника.

8. Малые колебания

8.1. Собственные частоты колебаний

Задача 8.1

Закон гармонических колебаний задан в виде

x(t) = A sin( t) cos2( t) sin2( t)=3 :

Найти положение равновесия, частоту и амплитуду колебаний. Решение.

Для гармонических колебаний со смещенным положением равновесия xeq можем записать

d2x	= !2(x(t) xeq);	d3x	= !2	dx	:
dt2		dt3		dt

Отсюда найдем частоту колебаний:

> x:A*sin(beta*t)*(cos(beta*t)^2-sin(beta*t)^2/3);

> factor(diff(x,t,3)/diff(x,t,1));

> omega:sqrt(-%);

а затем и положение равновесия:

> xeq:trigsimp(x+diff(x,t,2)/omega^2);

Амплитуду найдем по формуле

q

a = (x(t) xeq)2 + (x(t)=!)2 : (8.1)

> a:sqrt(trigsimp((x-xeq)^2+diff(x,t)^2/omega^2));

Ответ:

! = 3j j; xeq = 0; a = jAj=3:

9

Задача 8.2

Решить предыдущую задачу для следующих функций x(t): à) x(t) = A sin(2 t) + B sin2( t);

á) x(t) = A cos( t + 1) + B cos( t + 2).

Указание: для автоматического разложения тригонометрических функций кратных аргументов использовать опцию trigexpand :

> trigexpand:true;

Ответ:

		1
	a) ! = 2j j; xeq = B=2; a =		p4A2 + B2;
		2

p

á) ! = j j; xeq = 0; a = A2 + B2 + 2AB cos( 2 1):

Задача 8.3

Частица массы m совершает одномерное движение в поле

U(x) = U0 cos( x) F0x:

Получить условие, при котором могут возникнуть малые колебания и найти их частоту (U0, , F0 постоянные).

Решение.

Из условия экстремума потенциальной энергии найдем положение равновесия:

> x0:part(solve(diff(U(x),x)=0,x)[1],2);

Предупреждение solve: using arc-trig functions to get a solution. Some solutions will be lost. означает, что в формуле на экране

asin	U00			=
		F

не учтен знак . Выберем далее знак таким, чтобы коэффициент колебаний k получился положительным, это обеспечивается добавлением модуля.

> k:subst(x=x0,diff(U(x),x,2));

> omega:sqrt(ratsimp(abs(k))/m);

Очевидно, результат применим только в случае положительного зна- чения подкоренного выражения.

Ответ:
jF0j < jU0	j; ! = rjmjq(U0 )2			F02:

10