Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Рабочая тетрадь 6 «Векторная алгебра» (90

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

505.6 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный университет»

Л. Б. Усова, Д. У. Шакирова

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Комплект рабочих тетрадей

Рабочая тетрадь № 6 «Векторная алгебра»

Рекомендовано Редакционно-издательским советом Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» в качестве учебного издания для бакалавров инженерно-технических направлений подготовки

Оренбург

2011

УДК 512.64: 514.12(076) ББК 22.151.5 я 7 + 22.143 я 7

У 76

Рецензент – доцент, кандидат физико-математических наук Н.Н. Щипкова

Усова, Л.Б.

У 76 Линейная алгебра и аналитическая геометрия: комплект рабочих тетрадей. Рабочая тетрадь № 6 «Векторная алгебра» /Л.Б. Усова, Д. У. Шакирова. – Оренбург: ООО «НикОс», 2011. – 50 с.

Рабочая тетрадь № 6 содержит разобранные практические задания по теме «Векторная алгебра».

Предназначена для обучения бакалавров инженерно-технических направлений подготовки.

Рабочая тетрадь поможет преподавателям организовать самостоятельное усвоение лекционного материала и текущий контроль знаний студентов. Данная тетрадь окажет существенную помощь студентам при выполнении домашних и типовых расчетных заданий, а также поможет подготовиться к контрольной работе, к коллоквиуму, зачету и тестам.

Данная рабочая тетрадь подготовлена в ходе выполнения проекта № 3.1.1/13256 (АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы»).

УДК 512.64: 514.12(076) ББК 22.151.5 я 7 + 22.143 я 7

Содержание

Введение…………………………………………………………………….4

1Вопросы для самопроверки……………………………………………...7

2Практическое занятие……………………………………………………8

3Домашнее задание………………………………………….…………....33

4Самостоятельная работа………………………………….……………..37

5Тест………………………………………………………….……………40

6Расчетно-графическое задание…………………………………………42

Список использованных источников………………………….…………50

Введение

Комплект рабочих тетрадей включает 6 рабочих тетрадей:

-рабочая тетрадь № 1 «Комплексные числа»;

-рабочая тетрадь № 2 «Матрицы»;

-рабочая тетрадь № 3 «Определители»;

-рабочая тетрадь № 4 «Обратная матрица. Ранг матрицы»;

-рабочая тетрадь № 5 «Системы линейных уравнений»;

-рабочая тетрадь № 6 «Векторная алгебра».

Данный комплект используется для проведения практических занятий, самостоятельной работы и в ходе промежуточной аттестации.

Цель создания комплекта рабочих тетрадей – развитие практических навыков решения задач. Особенностью данных тетрадей являются уровневые задания.

-Задания первого уровня зафиксированы как базовый стандарт. Выполняя их, студент овладевает конкретным материалом по дисциплине на уровне его воспроизведения. Работа по первичному усвоению материала на этом уровне имеет свои особенности. Она требует многократного его повторения, умения выделять основные группы, вычленять главное, знание приемов запоминания и т.д. Задания первого уровня должен уметь выполнить каждый студент, прежде чем приступить к работе следующего уровня.

-Задания второго уровня расширяют материал первого уровня, обеспечивают овладение студентами общими и специфическими приемами учебной

иумственной деятельности, которые необходимы для решения задач на применение. Задания данного уровня увеличивают объем сведений, помогают глубже понять основной материал, делают общую картину более цельной. Выполнение заданий второго уровня поднимает студента на уровень осознанного, творческого применения знаний и предусматривает свободное владение фактическим материалом, приемами учебной работы и умственных действий. Этот уровень позволяет студенту проявить себя в дополнительной самостоятельной работе.

В данных рабочих тетрадях применяется методика свободного выбора заданий второго уровня.

Анализ ФГОС подготовки бакалавра инженерно-технических направлений подготовки показал, что в результате обучения математике выпускник должен демонстрировать:

-владение математической культурой мышления, способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения;

-умение логически верно аргументировано и ясно строить математическую устную и письменную речь;

-готовность к кооперации с коллегами, работе в коллективе;

-способность самостоятельно приобретать и использовать в практической деятельности математические знания и умения, стремление к саморазвитию

-способность использовать основные законы математических дисциплин

впрофессиональной деятельности, интегрировать знания из разных разделов курса математики;

-способность применять аналитические, вычислительные методы для решения прикладных задач в области техники;

-способность принимать научно-обоснованные решения на основе математики, осуществлять постановку и выполнять эксперименты по проверке их корректности и эффективности;

-основные положения, законы и методы математики; способность выявить естественнонаучную сущность проблемы, возникающей в ходе профессиональной деятельности, готовность привлечь для их решения соответствующий математический аппарат;

-способность разрабатывать и применять математическую модель соответствующую процессу в ходе профессиональной деятельности.

Структура и содержание разделов рабочей тетради № 6 соответствует стандарту ФГОС и включает практикум по разделу «Векторная алгебра».

Рабочая тетрадь №6 «Векторная алгебра» состоит из блоков:

блок 1 «Вопросы для самопроверки» – содержит вопросы для проверки усвоения теоретического материала;

блок 2 «Практическое занятие»- содержит разноуровневые задания, состоящее из двух пунктов. Пункт (а) сопровождается подробным решением примера, а в пункте (б) предоставляется поле для ответов, что позволяет студенту использовать как тетрадь, индивидуального характера;

блок 3 «Домашнее задание»- содержит задания с ответами для самостоятельного решения и закрепления пройденного материала;

блок 4 «Самостоятельная работа» - содержит трехуровневые задания;

блок 5 «Тест» - содержит теоретические и практические задания данного

раздела;

блок 6 «Расчетно-графические задания» - содержит разнообразные индивидуальные задания для глубокого усвоения данного раздела.

Рабочая тетрадь «Векторная алгебра» не содержит теоретических сведений по данной теме. Необходимый лекционный материал можно найти в следующих источниках: А. Г. Курош «Курс высшей алгебры» на страницах 184-194, 211-217; К.

Н. Лунгу «Высшая математика. Руководство к решению задач» на страницах 68-79;

К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко «Сборник задач по высшей математике» на страницах 91-117; Ильин В.А., Э.Г. Позняк «Линейная алгебра» на страницах 12-46; Д.В. Беклемишев «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры» на страницах 9-39.

1 Вопросы для самопроверки

1Сформулируйте определение линейной комбинации векторов?

2Какие векторы называются линейно зависимыми?

3Какие векторы называются линейно независимыми?

4Сформулируйте определение скалярного произведения двух векторов

( через угол и через координаты) в V2 или V3?

5Сформулируйте признак перпендикулярности двух векторов.

6Сформулируйте определение коллинеарности двух векторов.

7Сформулируйте признак коллинеарности двух векторов.

8Сформулируйте определение векторного произведения двух векторов.

9Сформулируйте геометрический смысл векторного произведения двух

векторов.

10Сформулируйте определение смешанного произведения трех векторов.

11Сформулируйте геометрический смысл смешанного произведения трех

векторов.

12Сформулируйте определение компланарности трех векторов.

13Сформулируйте признак компланарности трех векторов.

14Точки A(2, 3, 2) и B(5, 0, 2). Найдите координаты AB и AB .

Даны два вектора

и угол между этими векторами равен60 .

Постройте два вектора 2

Найдите скалярное произведение двух векторов

, если

(2;3;0) и

(4; 5;1).

Найдите векторное произведения двух векторов

(2;3;0)

(4; 5;1).

Проверить коллинеарность

векторов

если

(3; 1;2),

( 6;2; 4).

Найдите смешанное произведение трех

векторов

, если

(2;3;0),

(4; 5;1) и

(0;2; 1).

20Сформулируйте определение базиса.

21Какие вектора называются равными?

22Сформулируйте определение ортвектора?

23Сформулируйте определение евклидова пространства.

24Сформулируйте определение нормы вектора евклидова пространства.

25Сформулируйте теорему Пифагора в Vn.

26Как определяется угол между векторами евклидового пространства?

27Сформулируйте определение ортонормированного базиса.

28Сформулируйте определение линейного пространства.

29Какие векторы называются ортогональными?

30Сформулируйте теорему Коши-Буняковского.

2 Практическое занятие

Каждое из следующих заданий состоит из пунктов (а) и (б). В пункте (а)

изложено подробное решение данного задания, в которых студентам необходимо разобраться для дальнейшего самостоятельного решения заданий в пункте (б). В

заданиях пункта (б) в пустые строки предлагается вписать решения задания и сравнить с ответом.

Задание 1

Является ли линейно зависимой система векторов:

а) 1. i, j,k ; 2. a 2i 3j, b i k ; 3. a 2i 4j k , b i 3j, c 2i 2j 2k ;

б) 1. a (0;1; 1),b (1; 3; 2), c (2; 0;1); 2. a (2; 2; 4),b (0;1; 3), c (2;1;1).

Решение.

а) 1. i (1;0;0), j (0;1;0),k (0;0;1)


				Составим											линейную								комбинацию								векторов i, j,k								на	числа			, , ,		т.е.
																1					0					0			0		0,


i j k 0, 0 1 0 0																															0,
																0					0					1			0
																0					0					1			0			0.

				Так как все числа , ,																								равны 0, то система векторов														,		линейно

																																									i		j,k
независимая.
2.
			2i			3j,
										b
		a								b			i				k
				Составим											линейную								комбинацию								векторов				a		и			на числа				, ,	т.е.
				Составим											линейную								комбинацию								векторов				a		и		b	на числа				, ,	т.е.
									2									1					0					2 0,
																																	0,
																																	0,
a	b 0, 3 0 0																											3 0,
																																	0.
									0									1					0					0,
				Следовательно, система векторов a и b - линейно независимая.
3.		a

			2i		4j k , b i															3j,				c	2i 2j 2k
																									2					1				2				0

				1		a	2b 3											c	0 1 4 2 3 3 2 0 .

																											1				0			2				0
				2 1 2 2 3 0,																			4 3 2 2 3 0, 2 2 3 0,
																												3 2 2 3					0,					6 3			0, /:(3)
				4 1 3 2 2 3 0,																			8 3					3 2 2 3					0,	3 2				6 3			0, /:(3)
														2 3 0,																1 2 3,						1				2 3,
				1										2 3 0,																1 2 3,						1				2 3,
				2 2 3,															1 2 3,
								2							,				1 2 3,
						2		2				3			,							2					.
						2						3										2				3	.
								2						,					2							3
						1		2			3			,
						1					3

Пусть 3 p,		p 0,	p R, тогда 1 2p, 2	2p,	3 p.
Таким	образом, мы		нашли совокупность чисел, отличных от нуля
2p; 2p; p ,	при	которых	линейная комбинация	будет	равна 0 (нулевому

вектору), т.е. 1a 2b 3c 0 2pa 2pb pc 0 / : p 2a 2b c 0.

Мы доказали, что векторы a, b и c - линейно зависимые.

Так как векторы линейно зависимы, то любой вектор можно выразить через

остальные векторы.

Например, c 2a 2b или 2a c 2b a 1c b или 2b c 2a b 1c a. 2 2

б) 1. a (0;1; 1),b (1; 3; 2), c (2; 0;1)

__________________________________________________________________

2. a (2; 2; 4),b (0;1; 3), c (2;1;1)

__________________________________________________________________

Ответ. а) 1. нет, 2. нет, 3. да; б) 1. нет, 2. да

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]