Механика и молекулярная физика. Поступательное и вращательное движение твердого тела (90
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования «Казанский национальный исследовательский технологический университет»
МЕХАНИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Методические указания к лабораторным работам
Казань
КНИТУ
2011
Составители: доц. Е.А. Цветков проф. В.С. Минкин ассист. В.В. Чистяков
Механика и молекулярная физика. Поступательное и враща- тельное движение твердого тела: методические указания к лабо- раторным работам / Сост. Е.А. Цветков, В.С. Минкин, .ассист. В.В. Чистяков; М-во образ. и науки России, Казан. Нац. Исслед. Технолог. ун-т. – Казань : КНИТУ, 2011. – 46 с.
Кратко рассмотрен учебный материал о поступательном и вращательном движении твердого тела. Дано описание четы- рех лабораторных работ по данной тематике: «Изучение законов динамики и кинематики на машине Атвуда», «Изучение враща- тельного движения», «Определение момента инерции тел мето- дом колебаний», «Определение момента инерции твердого тела методом крутильных колебаний».
Предназначены для студентов всех форм обучения, изу- чающих раздел «Механика и молекулярная физика» дисципли- ны «Физика»
Подготовлены на кафедре физики.
Печатаются по решению методической комиссии по циклу общих математических и естественнонаучных дисциплин.
Рецензенты: доц. В.В. Ризаев доц. В.В. Никешин
2
Введение
Механика - это наука о простейших формах движения и силах, вызывающих это движение.
Механическим движением называется изменение с течением времени взаимного положения тел или частей тела друг относительно друга.
Развитие механики как науки начинается с 3 в. до н. э., когда древнегреческий ученый Архимед сформулировал закон равновесия рычага и законы равновесия плавающих тел. Основные законы меха- ники установлены итальянским физиком и астрономом Галилео Гали- леем и окончательно сформулированы английским ученым Исааком Ньютоном.
Механика Галилея – Ньютона называется классической ме- ханикой. В ней изучаются законы движения макроскопических тел,
скорости которых малы по сравнению со скоростью света в вакууме
(3·108 м/с).
Механика делится на три раздела: кинематику, динамику и статику.
Кинематика - это раздел физики, который изучает движение тел вне зависимости от причин, вызывающих это движение.
Динамика изучает законы движения тел и причины, которые вызывают или изменяют это движение.
Статика изучает законы равновесия системы тел. Если из- вестны законы движения тел, то из них можно установить и законы равновесия. Поэтому законы статики отдельно от законов динамики физика не рассматривает.
Механика для описания движения тел в зависимости от усло- вий конкретных задач использует разные физические модели. Про- стейшей моделью является материальная точка. Под материальной точкой понимают любое тело, размерами и формой которого можно пренебречь в данной задаче. Одно и то же тело, в зависимости от по- становки задачи может быть рассмотрено как материальное тело или материальная точка.
3
Произвольное макроскопическое тело или систему тел можно мысленно разбить на малые взаимодействующие между собой части, каждая из которых рассматривается как материальная точка. Тогда изучение движения произвольной системы тел сводится к изучению системы материальных точек. В механике сначала изучают движе- ние одной материальной точки, а затем переходят к изучению движе- ния системы материальных точек.
Под воздействием тел друг на друга тела могут деформиро- ваться, то есть менять свою форму и размеры. Поэтому в механике вводится еще одна модель – абсолютно твердое тело. Абсолютно твердым телом называется тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками (или точнее между двумя частицами) этого тела остается по- стоянным.
Различают поступательное и вращательное движения тел.
Одно из старинных определений машины гласит: машина – это уст- ройство, преобразующее поступательное движение во вращательное или наоборот. Поступательное движение – это движение, при кото- ром любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению. При вращатель- ном движении все точки тела движутся по окружностям, центры ко- торых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.
Кинематика поступательного движения
Поступательное движение характеризуется векторами: пере- мещения, скорости и ускорения.
Линия, которую описывает материальная точка при движении,
1 |
называют траекторией (рис. 1). Вне |
|
Траектория |
зависимости от формы траектории раз- |
|
|
личают прямолинейное и криволиней- |
|
|
ное движение. Движение |
называется |
|
прямолинейным, если |
траектория |
r12 |
прямая линия, и криволинейным, ес- |
|
|
ли траектория – кривая линия |
|
|
Радиус-вектор – |
это вектор, |
2 |
4 |
|
Рис.1. |
|
проведенный из начала системы координат, в которой изучается дви- жение, в данную точку.
z |
|
|
|
Перемещение – |
это вектор |
||||||
|
|
r→12 , направленный из начального по- |
|||||||||
|
1 |
r12 |
2 |
||||||||
|
r1 |
|
|
ложения материальной точки в ее ко- |
|||||||
|
r2 |
|
нечное положение – приращение ра- |
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
диуса вектора точки за рассматривае- |
|||||||
0 |
|
|
|
мый |
промежуток |
времени |
|||||
|
|
|
|
x |
|
r12 = |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
r2 (1) |
||||
y |
|
|
|
Путь s – это длина траекто- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Рис. 2 |
|
рии от начального положения матери- |
||||||||
|
|
|
|
||||||||
альной точки до конечного. Путь - величина скалярная. |
S = S2 – S 1(2) |
Под элементарным вектором перемещения dr точки понима- ют приращение радиус-вектора r этой точки за промежуток времени
dt .
Для характеристики движения материальной точки вводится
векторная величина – |
скорость, которой определяется как быстрота |
|||||||
движения, так и его направление в данный момент времени. |
||||||||
Пусть материальная точка движется по какой-либо криволи- |
||||||||
|
C |
нейной траектории так, что в момент |
||||||
|
времени t ей соответствует радиус вектор |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
v |
r0 . В течение малого промежутка време- |
||||||
|
ни t точка пройдет малый путь s и по- |
|||||||
|
s |
|||||||
|
лучит элементарное (бесконечно малое) |
|||||||
A |
B <v> перемещение |
|
. |
|
||||
r |
|
|||||||
|
r |
|
|
|
Отношение |
пути, пройденного |
||
r0 |
|
материальной точкой, к промежутку вре- |
||||||
|
мени, за который этот путь пройден, на- |
|||||||
0 |
|
зывается средней скоростью движения: |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = |
s |
(3) |
||||
|
|
|
|
|
t
5
<v> - скалярная величина. |
|
|
|
|
|
||||
Вектором средней скорости |
|
|
называется отношение при- |
||||||
v |
|||||||||
ращения |
|
радиуса вектора точки к промежутку времени t |
|||||||
r |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
= |
r |
(4) |
|||
|
|
v |
|
|
|
|
t
Направление вектора средней скорости совпадает с направле- нием r .
В общем случае криволинейного (и прямолинейного) движе- ния средняя скорость может быть различной на разных участках тра- ектории и зависеть от пути s, или, что то же, от промежутка времени t. Следовательно, v недостаточно полно характеризует движение. Поэтому вводят понятия мгновенной скорости (скорости в данный момент времени в данной точке пути). Будем бесконечно уменьшать промежуток времени, то есть предположим t→0. Тогда точка В стре- мится к точке А, хорда АВ – к дуге s и обе они в пределе совпадут с касательной АС. Таким образом, криволинейное движение по малой дуге s перейдет в прямолинейное движение по бесконечно малому отрезку касательной к траектории вблизи точки А, а средняя скорость на малом пути s перейдет в мгновенную скорость v в точке А, на- правленную по касательной к траектории. Таким образом, мгновен- ная скорость v , есть векторная величина, равная первой производ- ной радиус-вектора движущейся точки по времени
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
r |
= |
dr |
|
(5) |
|||
v |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
t →0 |
|
t dt |
|
|
При уменьшении t до предела s= r модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s = |
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
||||
v = |
|
|
|
|
|
= |
lim |
r |
|
= lim |
|
|
|
|
= lim |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
v |
(6) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t→0 |
|
t |
|
t→0 |
|
t |
|
|
|
t→0 |
t dt |
|
Из формул 5 и 6 следует, что скорость выражается в метрах в секунду.
Если направление вектора v точки не изменяется, то траекто- рия точки – прямая линия. В случае криволинейного движения точки направление ее скорости непрерывно изменяется. При равномерном
6
движении точки остается постоянным модуль скорости v , в то время |
|||||
как направление вектора v изменяется произвольным образом, а путь |
|||||
пройденный точкой за промежуток времени |
t равен |
||||
|
|
|
Ds=v×Dt |
|
(7) |
|
В этом случае точка проходит за равные промежутки времени |
||||
один и тот же путь. Если точка движется равномерно и прямолинейно |
|||||
со скоростью v |
вдоль оси ОХ, то зависимость ее координаты х от |
||||
времени имеет вид: |
|
|
|
||
|
|
x = x0 + vxt |
|
(8) |
|
|
где х0 – значение х в начальный момент времени (t=0), |
||||
|
vх – проекция скорости точки на ось ОХ. |
|
|||
|
Если модуль вектора скорости точки изменяется с течением |
||||
времени, то такое движение точки называется неравномерным. Для |
|||||
характеристики быстроты изменения скорости v |
точки в механике |
||||
вводится векторная физическая величина, называемая ускорением. |
|||||
A |
v1 |
|
Пусть материальная точка пере- |
||
|
|
местилась за малый промежуток времени |
|||
|
|
|
|||
|
|
B |
t из А, где она имела скорость v1 , в В, |
||
|
<a> |
v2 |
где она имеет скорость v2 . Изменение |
||
|
v |
|
(приращение) скорости точки есть вектор |
||
|
|
-v1 |
v , равный конечной и начальной ско- |
||
|
|
|
ростей: |
|
|
Рис.4 |
|
|
|
|
|
|
v = v2 − v1 |
|
|
(9) |
|
|
Отношение изменения скорости к промежутку времени, за ко- |
||||
торое это изменение произошло, называется средним ускорением |
a = |
v |
(10) |
|
t |
|||
|
|
Из правила деления вектора на скаляр следует, что среднее ус- корение направлено так же, как приращение скорости, то есть под уг-
7
лом к траектории в сторону ее вогнутости.
В общем случае среднее ускорение может быть различным на различных участках траектории. Оно зависит от промежутка времени, по которому проводится усреднение. Будем уменьшать промежуток времени. В пределе при t→0 точка В будет стремиться к точке А и среднее ускорение на пути АВ превратиться в мгновенное ускорение
a в точке А
a = lim a = lim |
v = |
d v |
(11) |
|
|
||||
t→0 |
t→0 |
t dt |
|
Таким образом, мгновенное ускорение движения в любой точке - это вектор, направленный под углом к траектории в сторону ее вогнутости, определяемый как первая производная вектора скорости по времени или степень изменения скорости во времени. Математиче- ски ускорение- это вторая производная радиус-вектора по времени.
Из формул 10 и 11 следует, что ускорение выражается в мет-
рах на секунду в квадрате (м/с2).
|
v |
v at |
|
τ |
|
vn |
a |
|
a |
|
n |
Рис.5
Вектор ускорения принято раскла- дывать на две составляющие, одна из кото- рых направлена по касательной к траекто-
рии и называется касательным или тан-
генциальным ускорением aτ , другая – по
нормали к траектории и называется нор-
мальным или центростремительным
ускорением an .
Тангенциальная составляющая ускорения равна первой произ- водной по времени от модуля скорости, характеризует быстроту из- менения скорости по модулю, направлена по касательной к траекто- рии
a = lim |
vτ |
= lim |
v = |
dv |
(12) |
|
|
|
|||||
τ |
t→0 |
t |
t→0 |
t dt |
||
|
|
Нормальная составляющая ускорения характеризует быст-
роту изменения скорости по направлению и направлена к центру кри-
визны траектории
8
an |
= lim |
vn |
= |
v2 |
(13) |
|
t |
r |
|||||
|
t→0 |
|
|
Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенци- альной и нормальной составляющей
a = an + aτ |
(14) |
|
и численно равна: |
|
|
a = |
|
|
an2 + aτ2 |
(15) |
В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следующим образом:
1)aτ = 0, an =0 – прямолинейное равномерное движение.
2)aτ = а = const, an .=0 – прямолинейное равнопеременное
движение (равноускоренное, если a >0, и равнозамедленное, если a <0). При таком виде движения
аτ = а = |
v |
= |
v2 |
− v1 |
|
|
|
|
(16) |
||
t |
t2 |
|
|||
|
|
− t1 |
Если начальный момент времени t1 = 0, а начальная скорость v1 = v0, то обозначив t2 = t и v2 = v, получим a=(v-v0)/t, откуда
v = v0 + at |
(17) |
Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произволь- ного момента времени t, найдем, что длина пути, пройденного точкой, в случае равнопеременного движения
|
|
t |
t |
|
at |
2 |
|
|
|
|
s = ∫vdt = ∫(v0 + at)dt = v0t + |
|
|
(18) |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
0 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
aτ |
= f(t), |
an .=0 – |
прямолинейное движение с переменным |
||||
ускорением – ускоренное движение; |
|
|
|
|||||
4) |
aτ |
= 0, an .= const. При aτ = 0 скорость по модулю не изме- |
||||||
няется, |
а |
изменяется |
по направлению. Из |
формулы 13 |
||||
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
( an |
= lim |
vn |
= |
v2 |
) следует, что радиус кривизны должен быть |
|
t |
r |
|||||
|
t→0 |
|
|
постоянным. Следовательно, это есть равномерное движение по ок- ружности;
5)aτ = 0, an .≠0 – равномерное криволинейное движение;
6)aτ = const, an . ≠0 – криволинейное равнопеременное движе-
ние;
7) aτ = f(t), an . ≠0 – криволинейное движение с переменным ускорением.
Кинематика вращательного движения
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
твердое |
тело, |
||||
|
|
|
|
|
которое |
вращается |
|
вокруг |
|||
|
|
|
|
|
неподвижной оси (рис. 6). Тогда |
||||||
|
|
dϕ |
|
|
отдельные точки этого тела будут |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Δϕ |
описывать |
окружности |
разных |
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
радиусов, центры которых лежат |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
на |
|
|
|
R |
оси вращения. Пусть некоторая |
||||||
|
|
|
|
S |
точка движется по |
окружности |
|||||
|
ω |
радиуса R. Ее положение через |
|||||||||
|
|
|
|
|
промежуток |
времени |
t |
зададим |
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
углом Δφ. Элементарные (беско- |
||||||
|
|
|
|
|
нечно малые) повороты можно |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
dϕ |
|
рассматривать |
как |
векторы |
(они |
|||||
|
O |
|
|
v |
обозначаются |
ϕ |
или dϕ ). |
Мо- |
|||
|
|
||||||||||
|
|
R |
дуль вектора dϕ равен углу пово- |
||||||||
|
|
|
|
|
рота, а его направление совпадает с направлением поступательного
Рис.6 движения острия винта, головка ко- торого вращается в направлении движения точки по окружности, то есть подчиняется правилу правого винта («правило буравчика»).
Векторы, направления которых связываются с направлением враще-
10