16

Условия задания и исходные данные.

Бесконечная трехслойная плоская стенка, в одном из слоев которой непрерывно распределены по объему внутренние источники теплоты мощностью , Вт/м³, ориентирована относительно системы координат как показано на рис. 1.

В данной задаче в качестве масштабов абсциссы и ординаты приняты 1 м и 1 С соответственно. В таблицах исходных данных приведены: в табл. 1  объемные мощности тепловых источников , Вт/м³, значения толщин слоев стенки м и значения соответствующих коэффициентов теплопроводности Вт/(м.К); в табл. 2  характер граничных условий с необходимыми числовыми данными.

Требуется: 1) Для каждого слоя стенки найти уравнения стационарных температурных полей С и зависимость плотности теплового потока от координаты Вт/м²;

2) рассчитать и представить в виде таблиц значения температуры и плотности теплового потока при следующих значениях координаты х:

;

3) построить графики изменения температуры и изменения плотности теплового потока по толщине трехслойной стенки.

Методические указания.

Теплопроводностью называется такая форма передачи теплоты, которая обусловлена зависящими от температуры движениями микроструктурных элементов тел. В газах этот процесс осуществляется путем диффузии молекул, в металлах  вследствие движения свободных электронов и колебаний ионов кристаллической решетки, а в жидкостях и твердых диэлектриках  вследствие действия упругих волн, возникающих при колебаниях молекул и атомов около их равновесных положений. Но при аналитическом изучении процессов переноса теплоты дискретное строение вещества не учитывается; вещество рассматривается как сплошная среда, непрерывно распределенная по занимаемому объему. Это позволяет представить температуру и другие характеристики состояния среды в виде непрерывных функций координат, а математическое описание процесса выполнять в бесконечно малых величинах, считая даже дифференциальные объемы рассматриваемого пространства большими по сравнению с расстояниями между микрочастицами.

Сплошная среда называется однородной, если во всех её точках физические свойства одинаковы при одинаковых температурах и давлениях. Если физические свойства не зависят от выбранного направления, то среда называется изотропной.

Передача теплоты в объеме твердого тела (неподвижная среда) происходит только теплопроводностью. Необходимым и достаточным условием передачи теплоты из одной области тела в другую является неодинаковость температур этих областей, т.е. наличие неоднородного температурного поля. Температурным полем называется совокупность мгновенных значений температуры, непрерывно распределенной в пространстве, в котором происходит изучаемый процесс. Если в каждый момент времени пространственное распределение температуры остается одним и тем же, то температурное поле называется стационарным. Если температурное поле с течением времени перестраивается, то оно назывется нестационарным: .

Скалярному температурному полю соответствует векторное поле градиента температуры. Градиентом температуры называется вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный производной от температуры по направлению этой нормали, т.е.

. (1)

Здесь  единичный вектор нормали к изотермической поверхности.

Количество теплоты, переданное за единицу времени через единицу площади изотермической поверхности по нормали к ней в сторону убывания температуры, называется плотностью теплового потока , Вт/м². Согласно закону Фурье, это количество теплоты пропорционально производной от температуры по нормали. В векторной форме записи закон Фурье имеет вид:

. (2)

Здесь  вектор плотности теплового потока, , Вт/м.К  коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплопроводности. Коэффициент теплопроводности является физической характеристикой вещества.

Закон Фурье можно записать через модули векторов:

. (3)

Количество теплоты , где F, м²  площадь, взятая на изотермической поверхности, называется тепловым потоком, Вт. Здесь q  непрерывеая функция точки в области F.

Конфигурация температурного поля определяется видом дифференциального уравнения теплопроводности и условиями единственности его решения. Вывод дифференциального уравнения теплопроводности основан на 1-м законе термодинамики. При условии, что работа не производится, уравнение 1-го закона имеет вид:

, Вт (4)

Здесь  секундное изменение внутренней энергии вещества, содержащегося в произвольном объеме V, выделенном в теле с неоднородным распределением температуры;  секундное количество теплоты, проходящее вследствие теплопроводности через замкнутую поверхность S, ограничивающую объем V, в котором определен вектор ;  секундное количество теплоты, выделяющееся (или поглощающееся) в данном объеме за счет действия внутренних источников (или стоков) теплоты.

Внутренняя энергия увеличивается, если объем V получает теплоту в количестве и одновременно в нем выделяется теплота в количестве . Изменение внутренней энергии равно объемному интегралу , Вт. Количество теплоты , Вт, где Вт/м³  объемная мощность внутренних источников или стоков теплоты; в различных случаях может быть функцией как координат, так и времени.

Величина равна полному потоку векторного поля через замкнутую поверхность S. В соответствии с этим полученное объемом V количество теплоты (см. рис. 2, который показывает, что количество теплоты, вносимое в объем V через поверхность S, отрицательно, а выносимое из объема  положительно). Здесь  проекция вектора на внешнюю нормаль к поверхности теплообмена S; .

По теореме Гаусса-Остроградского, , следовательно, с учетом (2) получим При произвольном объеме V уравнение (4) приводится к виду: , и мы получаем дифференциальное уравнение распространения теплоты теплопроводностью в однородной и изотропной среде:

, Вт/м³ (5)

Здесь с, Дж/кг.К, , кг/м³ и , Вт/м.К  соответственно удельная теплоемкость, плотность и коэффициент теплопроводности вещества.

Если теплофизические характеристики вещества не зависят от температуры, то уравнение (5) принимает вид:

или .

Здесь  коэффициент температуропроводности, м²/с; он характеризует скорость выравнивания температуры в неравномерно нагретом теле;  дифференциальный оператор Лапласа. В прямоугольной системе координат оператор Лапласа имеет вид: ; если при этом рассматривается стационарный процесс (температура не является функцией времени), то дифференциальное уравнение теплопроводности получает вид:

или .

Условия единственности решения дифференциального уравнения стационарной теплопроводности состоят из геометрических, физических и граничных условий. Геометрическими условиями задаются форма и размеры тела, физическими  теплофизические характеристики вещества.

Граничными условиями 1-го рода задается распределение температуры по поверхности тела: , где  текущие координаты на поверхности тела. Если температура во всех точках поверхности тела одна и та же, то граничное условие 1-го рода упрощается: .

Граничными условиями 2-го рода задается распределение плотности теплового потока по поверхности тела: . Если через каждую точку поверхности проходит тепловой поток с одной и той же плотностью, то .

Граничными условиями 3-го рода задаются температура окружающей среды и условие теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой:

, Вт/м² (6) Уравнение (6) выражает закон теплоотдачи Ньютона-Рихмана. Здесь , Вт/(м²К)  коэффициент теплоотдачи, значение которого в данном случае должно быть известно.

Количество теплоты, которое отводится от поверхности тела в окружающую среду вследствие теплоотдачи, равно тому количеству теплоты, которое подводится к этой поверхности из внутренних объемов тела вследствие теплопроводности. Поскольку в данной задаче каждая поверхность является изотермической, то

, Вт/м² (7)

Сопоставив уравнения (6) и (7), получим для данной задачи с учетом уравнения (3):

и .

Граничные условия 4-го рода выражают равенство между тепловыми потоками, проходящими через единицу площади поверхности соприкосновения тел: . В случае идеального термического контакта оба тела имеют на поверхности соприкосновения одинаковую температуру, т. е. .

Рекомендуется выполнять задание в следующем порядке:

1. Для каждого слоя стенки найти общее решение одномерного дифференциального уравнения стационарной теплопроводности;

2. составить систему из шести алгебраических уравнений, выражающих граничные условия задачи: условия на внешних границах трехслойной стенки и на границах между слоями в случае идеального термического контакта;

3. после подстановки в систему уравнений исходных данных, содержащихся в таблицах 1 и 2, решить систему относительно констант интегрирования, входящих в общие решения дифференциального уравнения;

4. используя полученные константы интегрирования, составить уравнения температурных полей слоев стенки; проверить, имеется ли внутри стенки максимум температуры; при наличии максимума определить его положение () и значение максимальной температуры () ;

5. рассчитать значения температуры и плотности теплового потока для указанных значений координаты x и построить требуемые графики.