Формулы коэффициентов наращения и наращенных сумм потоков с непрерывным поступлением постоянных платежей и с начислением про центов либо т раз в году по номинальной процентной ставке у, либо с не прерывным начислением процентов по силе роста 8 находятся аналогично и имеют соответственно следующий вид:
sоо |
i + ^ |
-1 |
тj |
|
|
(16Н) |
smS~~ |
|
S = R- |
е Sn _ j |
(17Н) |
S
2.2.2. Современная величина
Показатель современной, или приведенной, величины стоимости по тока платежей используется в расчетах при погашении долгосрочных зай мов, оценке и сравнении эффективности инвестиций, страховании и т.д.
Рассмотрим задачу погашения долгосрочного кредита. Требуется оп ределить сумму кредита, который берется на следующих условиях. В тече ние времени г сумма R погашается ежегодно равными долями р раз в году. Дисконтирование всех платежей производится сложными процентами т раз в году по номинальной процентной ставкеj.
Очевидно, что в задаче необходимо найти современную величину /?- срочной ренты, платежи которой дисконтируются с использованием прин ципа математического учета.
Тогда современная величина первого платежа, который будет произ веден через 1 /р года после начала ренты, согласно формуле (4П) будет
R |
( |
-ynHVp) |
. Современная величина второго платежа, который |
равна — • |
\ |
1+— |
|
Р |
т) |
|
будет произведен через 2-(1/р) года после начала ренты, согласно формуле
R , |
- у тЦ/ р) |
|
(4П) равна — • |
1 + — |
и т.д. (рис. 25). |
Р \ т)
Таким образом, ответ на поставленный в задаче вопрос можно Найти по формуле
(8П)
где
коэффициент приведения, который представляет собой приведенную сум му ренты с годовой выплатой, равной единице.
Из формулы (8П) легко получить выражение коэффициентов приве дения финансовых рент с различными параметрами.
1. Рента с годовым периодом платежей членов ренты /{них дискон тированием сложными процентами один раз в году (т = 1) по процентной ставке /:
Для часто встречающихся значений / и л величина коэффициентов приведения затабулирована. Из формулы коэффициента приведения следу ет, что, чем выше процентная ставка, тем меньше коэффициент приведения
иего предельная величина (рис. 26).
Всамом деле,
Величина приведенной суммы потока платежей может быть найдена по формуле
(9П)
Рис. 26
2. Р-срочная рента с годовыми платежами R и с дисконтированием платежей сложными процентами один раз в году (т = 1) по процентной ставке /:
р . l- O + Q -”
^р - М 7' - , ) -
Отсюда современная величина потока платежей может быть найдена по формуле
R l- Q + Q"'1
(ЮП)
р(1 + о 1/р- Г
3.Рента с годовым периодом платежей членов ренты Л и их дискон тировании сложными процентами т раз в году (т > 1) по номинальной процентной ставкеj:
m-п
a mn:jfm “ “
-1
Умножив и разделив коэффициент приведения наjlm, получим
a mn:j/m
а тп:jlm
s nr.jlm
т
что позволяет при расчетах пользоваться затабулированными значениями
amn:jlm и |
snr.j/m для часто встречающихся величин ntrty j/m |
т |
|
Современная величина потока платежей n 'vrnm |
с |
||
г |
, |
хипежей в этом случае может быть |
|
найдена по формуле |
|
|
|
|
A = R^ ■ |
± £ Г |
(11П) |
|
|
|
|
i J T - ,
т)
4. Р-срочная рента с годовыми платежами членов ренты R дисконти руемыми сложными процентами по номинальной процентной ставке j р раз в году (т = р ):
р-т _ |
1 -И +^ Г " |
|
т) |
|
|
атп:j/m ~ " |
|
|
|
j |
|
В этом случае современная величина потока платежей может быть |
||
найдена по формуле |
•± 3" |
|
|
(12П) |
|
5. Р-срочная рента с годовыми платежами R и непрерывным их дис контированием сложными процентами по силе роста 8:
apmS= |
lim |
1 - ( | * Л . Г |
|
|
|
|
, . , - y |
|
p - l f . u j l t f " ' - l ) ‘ p |
j |
j |
i |
m |
- | Г P ■(*"' -I) |
|||
|
|
С учетом того, что номинальная процентная ставка j при непрерыв ном начислении сложных процентов обозначалась через 8, имеем
|
1 -е - £п |
|
|
|
a',:S |
|
1)' |
|
|
Современная величина потока платежей в этом случае определяется |
||||
по формуле |
|
|
|
|
. |
R 1 |
(13П) |
||
А = ~ — 5~п---- • |
||||
|
Р |
e s P - \ |
к |
' |
6. Рента с годовым периодом (р = 1) платежей членов ренты R и не- |
||||
прерывным их дисконтированием сложными процентами по силе роста 8: |
|
|||
I |
_ t1 -е —Ли |
|
|
|
an:S- |
g |
|
|
|
|
|
е -1 |
|
|
В этом случае современная величина потока платежей определяется по формуле
А = R- |
\ - е - Sn |
(14П) |
|
|
e S - \ |
Замечания.
1. Коэффициенты приведения потоков с непрерывным поступлением платежей (т.е./?-*«>) при различных способах начисления процентов можно найти так же, как и коэффициенты наращения, переходя к пределу при р —> ©о в соответствующих формулах коэффициентов приведения уз орочных рент. Тогда формулы коэффициентов приведения, а также приве денных сумм для потоков с непрерывнымпоступлением постоянных пла тежей будут иметь соответственно следующий вид:
- при дисконтировании сложными процентами один раз в году по процент ной ставке i
_ 1 - 0 + О"” |
|
|
1п(1 + /) |
’ |
|
A = R 1 - 0 + 0 |
" ” |
(15П) |
ln(l + i)
- при дисконтировании сложными процентами т раз в году по номиналь ной процентной ставкеj
а
(16П)
- при непрерывном дисконтировании сложными процентами по силе роста 8
оо* ^
an\S~" |
g » |
|
А = R --——-— . |
(17П) |
|
|
О |
|
2. Формулы коэффициентов приведения и наращения потоков с н прерывным поступлением платежей и непрерывным начислением процен тов по силе роста 8 можно получить из следующих рассуждений. Совре
менная величина платежа, равного единице и выплачиваемого в момент
времени /, при непрерывном дисконтировании будет равна е~ ^ 1 Тогда со временная величина потока с непрерывным поступлением в каждый мо мент времени единичных платежей в течение времени п равна коэффици енту приведения рассматриваемого потока и может быть определена по формуле
ап-.ё=\е Stdt = - -I^ eЛ- Л Г 1 -е Sn |
|
5 |
'О |
а коэффициент наращения, используя приведенное утверждение, - по фор муле
_°о |
_оо _ Sn |
^ |
1 |
sn:S=an:<re |
=---- |
|
|
Утверждение. Если А есть современная величина обычной ренты на начало ее срока, a S - наращенная сумма той же ренты на конец ее срока, то начисление сложных процентов по процентной ставке данной ренты на сумму А в течение п периодов срока ренты даст сумму 5, а дисконтирова ние суммы S сложными процентами по процентной ставке данной ренты за тот же срок даст сумму А.
А Покажем справедливость этого утверждения, например, для слу чая начисления сложных процентов по процентной ставке / один раз в го
ду. Тогда |
|
|
|
|
|
(l +i)"de= R - 1 (1 + ,) ---(1 + 0 " = /? - (1 + °" |
' = £ , |
||||
и обратно: |
|
|
|
|
|
S- ? |
defS п 0 + 0 " - • |
(1 + /)~" =Д |
1 -(1 + 0 ' |
■=А. |
|
= |
R |
I |
|||
|
|
I |
|
|
|
Следствие. Для обычной ренты справедливо, что произведение ко эффициента приведения на множитель наращения равно коэффициенту наращения, и обратно, произведение коэффициента наращения на дис контный множитель равно коэффициенту приведения. Например,
ami •(1 + 0" = sn:i <=>sn:i ‘ ^ = sn:i'0 + 0~" = ап:/•
Замечание. Аналогичные зависимости справедливы для обычных рент с разовым и р-разовым числом одинаковых выплат годового платежа R в течение года (в том числе и при р —>°°) как при ш-разовом, так и при непрерывном начислении сложных процентов в году.
2.2.3. |
Параметры потоков платежей |
Член ренты. Пусть на какой-то момент в будущем определена сум |
|
ма долга S °. Погашать долг предполагается путем создания специального фонда S\ на основе последовательных взносов величиной R в течение не
которого периода времени с начислением на эти взносы сложных процен
тов (рис. 27), |
т.е. величина фонда определяется по формуле S\ =R-sn:i. |
||||
|
|
|
- |
►Х |
|
|
|
|
— |
—►' |
|
|
|
|
|
S] =A'Sn:i - фонд |
|
0 |
1 |
2 ......... ...........и-1 |
п |
|
|
|
|
|
|
— —ТГ" |
-► |
|
R |
R |
R |
R S - будущий долг |
t |
|
|
|
Рис. 27 |
|
|
Приравняв сумму будущего долга 5° наращенной сумме S\9можно |
|||||
определить член ренты для создания специального фонда S\9т.е. |
|
||||
|
|
S °= S , |
|
с° |
|
|
|
^>S0 = R-sn.i<^R = ---- . |
|
||
|
|
|
|
sn:' |
|
В случае, когда текущий долг 5° (рис. 28) погашается последовательными платежами, сумму текущего долга приравнивают современной величине такого потока платежей, например,
|
5° = А «=> 5° = R ■an:i <=> R = 5° / а,гЛ. |
|
|
|||
текущий долг |
- S u |
------ |
----------------------- |
- |
-► |
|
|
/<- |
-1 |
2 |
. л-1 |
п |
|
A = R |
- ° n : i |
|
|
|
|
|
\
\<--------------------------------------------------
Рис. 28 Аналогичные формулы для расчета величины члена ренты можно
вывести для любой из рассмотренных рент.
Срок ренты. Выражения для определения срока ренты с соответст вующими условиями можно получить при разрешении формул наращен ной или приведенной сумм относительно показателя п. Например, из (11Н) следует
Для рассмотренных условий обычных рент и потоков с непрерыв ными поступлениями постоянных платежей формулы для определения срока потока платежей сведены в табл. 10 ( ЫФ - номер используемой формулы).
|
|
Таблица 10 |
|
Условия потока платежей |
| ИФ |
||
Наращенная сумма - S |
Современная величина - А |
|
|
р = !; |
т = 1 |
|
9Н |
л _1п((5/Л )-/+1) |
|
|
|
ln(l + z) |
т > 1 |
ln(l + i) |
9П |
р= 1; |
*)((! + j l т)т- 1))-1 |
11Н |
|
_ _ ln((S / *)((1+ у / т)т-1)+1) |
.. _ 1п(1 |
||
m»ln(l+ у / т) |
|
m-ln(l + j / т) |
11П |
|
|
||
/>= и |
т -> оо |
|
14Н |
__ ln((5/ R)‘(e^p -1)+1) |
|
1п(1-(Л/ЛХе"Ур-1))_1 |
|
S |
п ~ |
S |
14П |
р > 1; |
т = 1 |
|
ЮН |
n _ln((S/R)p{{l +i)uP - \) +l) |
л _ 1п(1-(Л/K M l-H -)17'’ -!))-' |
||
1п(1+ 0 |
|
ln(l-W) |
ю п |
т =р |
|
||
р > 1; |
|
|
|
n _ \n((S/R )- j +l) |
„ 1 4 (1 -0 4 /* ).,)-' |
12Н |
|
m*ln(l + у /m) |
|
т • ln(l + j / т) |
12П |
р > 1; |
т * р |
|
8Н |
_ _ 1п((5/Л)Р((1 + J /т)т/Р -1)+1)) __1п(1—(А /*М 1 + jl т)т1р - 1))-1 |
|||
m-ln(l+y/m) |
|
ш*1п(1+у/т) |
8П |
|
|
||