АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Глава I. Векторная алгебра.

§1.Векторы в пространстве. Основные определения.

Определение 1.Вектором в пространстве называется направленный отрезок.

Таким образом, векторы в отличие от скалярных величин имеют две характеристики: длину и направление. Будем обозначать векторы символами , илиа.

(Здесь А иВ– начало и конец данного вектора (рис.1))аВ

Длина вектора обозначается символом модуля: .Арис.1

Различают три вида векторов, задаваемых отношением равенства между ними:

1. Закрепленные векторыназываются равными, если у них совпадают начала и концы соответственно. Примером такого вектора является вектор силы.

2. Скользящие векторы называются равными, если они расположены на одной прямой, имеют одинаковые длины и направления. Примером таких векторов является вектор скорости.

3. Свободные или геометрические векторысчитаются равными, если они могут быть совмещены с помощью параллельного переноса.

В курсе аналитической геометрии рассматриваются толькосвободные векторы.

Определение 2.Вектор, длина которого равна нулю, называетсянулевымвектором, илиноль –

вектором.

Очевидно, начало и конец нулевого вектора совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления или имеет любоенаправление.

Определение 3.Два вектора, лежащих на одной прямой или параллельных прямых называются

коллинеарными (рис.2). Обозначают:.a

b

Нулевой вектор можно считать коллинеарным любому. рис.2

Определение 4. Два коллинеарных и одинаково направленных вектора называются

сонаправленными.Обозначают:.

Теперь можно дать строгое определение равенства свободных векторов:

Определение 5. Два свободных вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют

одинаковую длину.

Определение 6. Три вектора, лежащих в одной или параллельных плоскостях называются

компланарными.

Два перпендикулярных вектора называют взаимно ортогональными:.

Нулевой вектор можно считать ортогональным любому.

Определение 7. Вектор единичной длины называетсяединичным вектором или ортом.

Орт, сонаправленный ненулевому вектору аназываютортом вектораа:e_a.

§2.Линейные операции над векторами.

На множестве векторов определены линейные операции: сложение векторов и умножение вектора на число.

I. Сложение векторов.

Суммой 2 – х векторов называется вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец с концом второго, при условии, что начало второго совпадает с концом первого.

Легко видеть, что сумма двух векторов, определенная

таким образом (рис.3а), совпадает с суммой векторов,

построенной по правилу параллелограмма (рис.6). b

Однако, данное правило позволяет строить a

сумму любого числа векторов (рис.3б).

a+b

рис.3а

a

b a+b+c

рис.3б c