1) Функция s3(X) непрерывна на отрезке [a,b] вместе со своими производными до второго порядка включительно;

б)  S₃(x_i)=y_i, i=0,1,...,n;

в)  S"₃(x₀)=m₀, S"₃(x_n)=m_n.

Сформулированная выше задача имеет единственное решение.

Вторая производная S"₃(x) непрерывна и, как видно из выражения (2.4.1), линейна на каждом отрезке [x_i-1, x_i], (i=1,...,n), поэтому представим ее в виде

, (2.4.3)

где h_i = x_i- x_i-1, m_i= S"₃(x_i). Эта кусочно-линейная функция частного вида непрерывна, поэтому в формуле (2.4.3) учтено n-1 условие непрерывности второй производной сплайна.

Проинтегрируем обе части равенства (2.4.3)

, (2.4.4)

где A_i и B_i - постоянные интегрирования.

Пусть в (2.4.4) x=x_i и x=x_i-1, тогда используя условия б), получим

, i=1,...,n.

Из этих уравнений находим A_i и B_i, и окончательно формула (2.4.4) принимает вид

. (2.4.5)

Функция (2.4.5) непрерывна, проходит через заданные точки, ее вторая производная имеет одинаковые односторонние пределы в узловых точках. Однако первая производная этой функции в общем случае имеет разрывы первого рода при x=x_i .

Найдем условия, которым должны удовлетворять числа m_i, чтобы первая производная была непрерывной, т.е. чтобы во всех внутренних узловых точках выполнялись равенства

.

Согласно (2.4.5)

. (2.4.6)

Из формулы (2.4.6) можно найти левый односторонний предел подстановкой x=x_i

. (2.4.7)

На отрезке [x_i, x_i+1] (2.4.6) принимает вид

.

Отсюда подстановкой x=x_i находим правый односторонний предел

. (2.4.8)

Приравнивая выражения (2.4.7) и (2.4.8) для i=1,...,n-1, получим n-1 уравнение

(2.4.9)

с n-1 неизвестными m_i (i=1,...,n-1). Согласно условию в) m₀ и m_n заданы.

Система линейных алгебраических уравнений (2.4.9) имеет трехдиагональную матрицу с диагональным преобладанием. Такие матрицы являются неособенными. Поэтому неизвестные m₁, m₂,..., m_n-1 находятся из системы (2.4.9) однозначно. Они могут быть найдены итерационными и прямыми методами решения систем линейных алгебраических уравнений, в том числе и методом прогонки. После определения m_i функция S₃(x) восстанавливается по формуле (2.4.5).

Метод прогонки

Пусть имеется система уравнений, записанная в матричном виде:

. (2.4.10)

В нашем случае согласно (2.4.9)

.

Решение системы ищется в виде

m_i = _i m_i+1 + _i, i=1,...,n-1, (2.4.11)

где _i, _i - прогоночные коэффициенты. Используя выражение для m_i-1 из (2.4.11), подставим это неизвестное в i‑е уравнение системы

c_im_i-1 + a_im_i + b_im_i+1 = d_i.

Получаем

(a_i +c_i _i-1)m_i + b_i m_i+1 = d_i -c_i_i-1, .

Сравнивая это соотношение с (2.4.11), выводим рекуррентные формулы для прогоночных коэффициентов _i, _i (прямая прогонка):

₀=₀=0, . (2.4.12)

Очевидно, что m_n-1=_n-1 (при b_n-1=0). Все остальные неизвестные находим по формулам (2.4.11), используя выражения для прогоночных коэффициентов (2.4.12).

Для реализации алгоритма требуется выполнить 8(n-1) арифметических операций: 3(n-1) сложений, 3(n-1) умножений, 2(n-1) делений.

Таким образом, решение задачи сводится к определению значений вторых производных искомой функции из решения системы n-1 уравнений (2.4.10) методом прогонки с дальнейшим табулированием искомой функции по формуле (2.4.5).