сопромат
.pdfА.А. ОСИПОВ, В.Ф. ПЕРШИН, С.В. ПЕРШИНА
СОПРОТИВЛЕНИЕ
МАТЕРИАЛОВ
Ч а с т ь 2
Издательство ФГБОУ ВПО «ТГТУ»
Учебное издание
ОСИПОВ Алексей Александрович, ПЕРШИН Владимир Фёдорович, ПЕРШИНА Снежана Владимировна
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
Ч а с т ь 2
Учебное пособие
Редактор Л.В. Комбарова Инженер по компьютерному макетированию М.С. Анурьева
Подписано в печать 08.11.2011.
Формат 60 × 84 /16. 4,65 усл. печ. л. Тираж 100 экз. Заказ № 484
Издательско-полиграфический центр ФГБОУ ВПО «ТГТУ»
392000, Тамбов, Советская, 106, к. 14
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Тамбовский государственный технический университет»
А.А. ОСИПОВ, В.Ф. ПЕРШИН, С.В. ПЕРШИНА
СОПРОТИВЛЕНИЕ
МАТЕРИАЛОВ
Ч а с т ь 2
Утверждено Учёным советом университета в качестве учебного пособия
для студентов инженерных специальностей всех форм обучения
Тамбов Издательство ФГБОУ ВПО «ТГТУ»
2011
1
УДК 539.3/.6(075.8)
ББК Ж121я73
О-741
Р е ц е н з е н т ы:
Доктор технических наук, профессор ГНУ ВИИТиН заместитель директора по научной работе
С.А. Нагорнов
Доктор технических наук, профессор ФГБОУ ВПО «ТГТУ» заведующий кафедрой «ТММ и ДМ»
В.М. Червяков
Осипов, А.А.
О-741 Сопротивление материалов : учебное пособие / А.А. Осипов, В.Ф. Першин, С.В. Першина. – Тамбов : Изд-во ФГБОУ ВПО «ТГТУ», 2011. – Ч. 2. – 80 с. – 100 экз.
ISBN 978-5-8265-1053-7
Изложены методы расчёта на прочность при сложном нагружении элементов конструкций. Даны примеры тестовых заданий.
Предназначено для студентов инженерных специальностей всех форм обучения.
УДК 539.3/.6(075.8)
ББК Ж121я73
ISBN 978-5-8265-1053-7 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Тамбовский государственный технический университет» (ФГБОУ ВПО «ТГТУ»), 2011
2
ВВЕДЕНИЕ
Расчёты на прочность, жёсткость, устойчивость элементов конструкции являются одной из важнейших задач при проектировании зданий, сооружений, устройств и приборов. Без этих знаний инженеру невозможно проектировать и создавать надёжные и долговечные конструкции.
Впервой части данного издания были изложены материалы, посвященные растяжению (сжатию), сдвигу, кручению и изгибу, элементов конструкции. Вторая часть является ее продолжением, в ней рассмотрены задачи курса сопротивления материалов, посвященные расчетам на прочность и жесткость при сложном нагружении, статической неопределимости, динамической и ударной нагрузки, а также на устойчивость и усталость.
Вработе дано подробное изложение материала с примерами решения практических задач курса сопротивление материалов, а также тестовые задания, которые помогут закрепить полученные навыки и подготовиться
ксдачи зачёта и экзамена.
3
1.СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
Вданной главе речь пойдёт об одновременном действии деформаций бруса, что чаще встречается на практике. Каждый из простых видов деформации (растяжение или сжатие, сдвиг, кручение, изгиб) ранее был рассмотрен в отдельности. Исключением является прямой поперечный изгиб, который не принято рассматривать как случай сложного сопротивления, хотя при этом в сечениях возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент и поперечная сила. Этот вид деформации рассматривают как простой потому, что в подавляющем большинстве случаев расчёты на прочность и жёсткость ведутся без учёта влияния поперечных сил, т.е. по одному силовому фактору – изгибающему моменту.
Случаи сложного сопротивления разделяют на две группы.
К первой группе относятся косой изгиб, а также внецентренное растяжение и сжатие. Это те случаи, при которых в опасных точках бруса напряжённое состояние является одноосным или одноосным с незначительным влиянием на прочность бруса касательных напряжений. В таких случаях при расчётах на прочность теории прочности не используются.
Ко второй группе относятся изгиб с кручением, сжатие (или растяжение) с кручением, а также сжатие (или растяжение) с изгибом и кручением. В этих случаях, в опасных точках бруса возникает плоское напряжённое состояние, и расчет на прочность выполняется с применением теорий прочности.
1.1. КОСОЙ ИЗГИБ
Косым изгибом называется такой вид изгиба, при котором плоскость действия изгибающего момента, возникающего в поперечном сечении бруса, не совпадает ни с одной из его главных плоскостей.
Случай косого изгиба, когда в поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент, называется чистым косым изгибом.
Если в сечении наряду с изгибающим моментом действует поперечная сила, то этот вид изгиба называется поперечным косым изгибом.
Пусть имеется брус прямоугольного поперечного сечения с жёстко заделанным левым концом. К нему на свободном конце приложена сила P, причём линия действия силы отклонена от вертикальной оси y на угол α
(рис. 1.1).
В случае косого изгиба изгибающий момент необходимо разложить на два изгибающих момента Mx и My . При этом полный изгибающий момент
будет равен M = Mx2 + My2 , и он будет действовать в плоскости, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей рассматриваемого сечения.
4
y
След плоскости действия момента
Мy
|
P |
|
x |
|
А |
|
z |
|
z |
l |
|
|
Рис. 1.1 |
y |
След плоскости |
|
действия полного |
|
момента М |
x
След плоскости действия момента
Мх
Рис. 1.2
5
Таким образом, косой изгиб можно рассматривать как сочетание двух прямых изгибов, вызываемых изгибающими моментами, действующими относительно двух главных центральных осей инерции поперечного сечения x и y . Проекции силы P на соответствующие оси будут
иметь следующие значения:
Px |
= P sin α; |
(1.1) |
|
|
|
Py |
= P cos α. |
|
На основании принципа независимости действия сил, полное нормальное напряжение в поперечном сечении равно сумме напряжений от
раздельного действия моментов M x |
и M y . Следовательно, напряжение в |
|||||||||||
любой точке поперечного сечения можно определить по формуле |
|
|||||||||||
σ = σ |
|
+ σ |
|
= ± |
|
M |
x |
|
y ± |
M y |
x . |
(1.2) |
M x |
M y |
|
I x |
|
I y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В этой формуле значения x |
и y – |
это координаты выбранной точки |
||||||||||
поперечного сечения в системе координат |
|
xoy . В формулу подставлены |
||||||||||
абсолютные значения моментов M x |
и M y . |
|
|
|
|
|
||||||
Полный изгибающий момент (рис. 1.2) связан с его составляющими |
||||||||||||
M x и M y зависимостями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M x |
= M cos α; |
|
|
(1.3) |
||||||
|
|
M y |
= M sin α. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
В нашем случае, в сечении А рис. 1.1:
M x = Py z;
M y = Px z.
Вместо значений M x и M y в уравнение (1.2) подставим соответствующие выражения из системы:
cos α |
|
sin α |
|
|
|
σ = ±M |
|
y + |
|
x . |
(1.4) |
|
|
||||
|
I x |
|
I y |
|
|
|
|
|
|
||
В данной формуле α – угол между вертикальной осью |
y и плоско- |
стью действия полного момента.
При косом изгибе нормальные напряжения в центре тяжести поперечного сечения равны 0. Чтобы в этом убедиться, достаточно подставить в формулу (1.2) координаты центра тяжести x = 0 и y = 0 . Следователь-
но, при косом изгибе нейтральная ось, также как и при прямом изгибе, проходит через центр тяжести поперечного сечения (рис. 1.3).
6
Нейтральная |
|
линия |
|
α |
Р |
|
β |
|
σ |
Рис. 1.3
Известно, что на нейтральной оси нормальные напряжения равны 0, поэтому для её нахождения приравняем к нулю формулу (1.4). Однако величина M ¹ 0 , поэтому для нейтральной оси можно записать:
|
cos α |
y + |
sin α |
|
x = 0 . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
I x |
|
I y |
|
||||||
При известных значениях α , |
I x и I y это прямая, проходящая через |
|||||||||
начало координат: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y = −tgα |
I x |
|
x . |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
I y |
|
||||
Тангенс угла наклона β нейтральной оси к оси x равен − y |
x , т.е.: |
|||||||||
|
tgβ = tgα |
I x |
. |
(1.5) |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
I y |
|
Эта формула служит для определения положения нейтральной оси при косом изгибе.
Нейтральная ось всегда отклоняется от оси x на угол β в ту же сто-
рону, в которую плоскость действия изгибающего момента отклоняется от оси y на угол α .
Нормальные напряжения в точках поперечного сечения при косом изгибе прямо пропорциональны расстоянию от рассматриваемой точки до
7