2 курс ОАУ(ТАУ) [препод. Петунин В.И.] / Лекции / 4

Рис. 4.1

На рис. 4.1 представлены некоторые из характеристик пропорционального звена. Амплитудно-фазовая частотная характеристика W( jω) есть точка на действительной оси (рис. 4.1, а); фазовая частотная характеристика (ω) совпадает с положительной полуосью частот; логарифмическая амплитудная частотная характеристика L(ω) (рис. 4.1, б) параллельна оси частот и проходит на уровне L(ω) 20lgk. Переходная характеристика (рис. 4.1, в) параллельна оси времени и проходит на уровне h(t) k.

4.2. Интегрирующее и дифференцирующее звенья, их частотные и переходные характеристики

4.2.1. Интегрирующее звено. Интегрирующим называют звено, которое описывается уравнением

py(t) ku(t)

или передаточной функцией

W(p) k . p

Уравнение этого звена может быть записано также в виде

t

y(t) k u(t)dt y0.

0

Таким образом, выходная величина этого звена пропорциональна интегралу от входной величины, чем и объясняется название звена. Коэффициент передачи интегрирующего звена k

имеет размерность с 1.

79

4.2.2. Дифференцирующее звено. Дифференцирующим называют звено, которое описывается уравнением

y(t) kpu(t) k du(t) dt

или передаточной функцией

W(p) kp.

Таким образом, в соответствии с названием выходная величина такого звена пропорциональна производной от входной величины. Коэффициент передачи дифференцирующего звена k измеряется в секундах.

Частотные и временные функции имеют вид:

W( jω) jkω, U(ω) 0, V(ω) kω, A(ω) kω,

с положительной мнимой полуосью. ЛФЧХ (рис. 4.3, б) параллельна оси частот и проходит на уровне (ω) π2: сдвиг фазы не зависит от частоты и равен π2.

ЛАЧХ есть прямая, проходящая через точку с координатами ω 1 и L(ω) 20lgk и имеющая наклон 20 дБ/дек (читается: плюс двадцать децибел на декаду): L(ω) увеличивается на 20 дБ при увеличении частоты на одну декаду.

Передаточная функция и соответственно частотные характеристики дифференцирующего звена являются обратными передаточной функции и характеристикам интегрирующего звена.

81

Аргумент числителя W( jω) равен нулю, а аргумент знаменателя arctgωT. Поэтому

(ω) argW( jω) arctgωT.

Согласно АЧХ

t

h(t) k(1 e T ).

Весовая функция

t

w(t) h(t) k e T . T

АФЧХ апериодического звена (рис. 4.4, а) есть полуокружность, в чем нетрудно убедиться, исключив из параметрических уравнений (4.6) АФЧХ частоту.

Рис. 4.4

ЛАЧХ представлена на рис. 4.4, б. На практике обычно ограничиваются построением так называемой асимптотической ЛАЧХ (ломаная линия на том же рис. 4.4, б). Только в критических случаях, когда небольшая погрешность может повлиять на выводы, рассматривают точную ЛАЧХ. Впрочем, точную ЛАЧХ можно легко построить по асимптотической ЛАЧХ, если воспользоваться следующей зависимостью разности L между асимптотической и точной ЛАЧХ (табл. 4.1).

83

Величина постоянной времени T определяет инерционность звена: чем она больше, тем более длительным является переходный процесс в звене. Хотя теоретически время нарастания экспоненты h(t) равно бесконечности, практически за длительность переходного процесса принимают время, которое прошло от начала процесса до момента, когда выходная величина достигла 95% ее конечного установившегося значения. Для апериодического звена это время равно 3T .

Если можно пренебречь инерционностью апериодического звена, т. е. принять в его уравнении T 0, получим пропорциональное звено.

4.3.2. Форсирующее звено. Форсирующим звеном или форсирующим звеном первого порядка называют звено, которое описывается уравнением

y(t) k(Tp 1)u(t)

или передаточной функцией

W(p) k(Tp 1).

Это звено, как и апериодическое, характеризуется двумя параметрами: постоянной времени T и передаточным коэффициентом k.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика

W( jω) k(Tjω 1).

Остальные частотные и временные функции имеют вид:

U(ω) k, V(ω) kTω, A(ω) k(Tω)2 1,

(ω) arctgTω, L(ω) 20lgk 20lg(Tω)2 1, h(t) k[Tδ(t) 1(t)], w(t) k[Tδ(t) δ(t)].

изображена на рис. 4.5, б. Как и в случае апериодического звена, на практике ограничиваются построением асимптотической ЛАЧХ (ломаная линия). Частоту ω1 1T , соответствующую точке излома этой характеристики, называют сопрягающей частотой.

85

а б

Рис. 4.5

Уравнение асимптотической ЛАЧХ форсирующего звена имеет

вид

ЛФЧХ форсирующего звена можно получить зеркальным отражением относительно оси частот ЛФЧХ апериодического звена и для ее построения можно воспользоваться теми же шаблоном и номограммой, которыми пользуются для построения последней.

Передаточная функция форсирующего звена W(p) k(Tp 1) может быть представлена суммой передаточных функций пропорционального и дифференцирующего звеньев. Так же, как и дифференцирующее звено, форсирующее звено в идеальном виде не может быть реализовано.

4.4. Динамические звенья второго порядка, их частотные и переходные характеристики

Динамическое звено второго порядка, которое можно описать уравнением

(T02 p2 T1p 1)y(t) ku(t)

или в другой форме

(T2 p2 2 Tp 1)y(t) ku(t),

86

где T T0,ξ T1 /2T, или передаточной функцией

k

W(p) T2 p2 2 Tp 1,

называют колебательным, если 0 ξ 1, консервативным, если ξ 0 и апериодическим звеном второго порядка, если 1. Коэффициент

ξназывают коэффициентом демпфирования или степенью затухания.

4.4.1.Колебательное звено. Амплитудно-фазовая частотная характеристика

Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю выражение, получим вещественную и мнимую частотные функции

ЛФЧХ (рис. 4.6, б) при 0 асимптотически стремится к оси частот, а при – к прямой π. Ее можно построить с помощью шаблона. Но для этого необходимо иметь набор шаблонов, соответствующих различным значениям коэффициента демпфирования.

Амплитудная частотная функция

k

A(ω)

(1 T2ω2)2 (2ξTω)2

и логарифмическая амплитудная функция