где полином D(p), называемый характеристическим – это левая часть дифференциального уравнения системы после замены оператора дифференцирования на некоторое комплексное число.
Полином D(p) является знаменателем передаточной функции замкнутой системы
D(p) Q(p) R(p). |
(7.28) |
Таким образом, переходный процесс xсв(t) |
представляет собой |
сумму составляющих, число которых определяется числом корней характеристического уравнения, т. е. порядком уравнения системы.
В общем случае корни pi являются комплексными. При этом они образуют пары сопряженных корней:
pi,i 1 αi jωi,
где αi может быть положительной или отрицательной величиной. Каждая такая пара корней дает в (7.26) составляющую переходного процесса, равную
Cie(αi jωi )t Ci 1e(αi jωi )t eαit (Ciejωit Cie jωit)
Aieαit sin(ωit i),
где Ai и i определяются через Ci и Ci 1.
Как видим, эта составляющая представляет собой синусоиду с амплитудой, изменяющейся во времени по экспоненте. При этом если αi 0, эта составляющая будет затухать (рис. 7.5, г). Наоборот, при αi 0 получатся расходящиеся колебания (рис. 7.5, д). Если αi 0, что соответствует паре мнимых корней, будут незатухающие синусоидальные колебания (рис. 7.5, е).
Таким образом, условием затухания данной составляющей переходного процесса является отрицательность части αi,
соответствующей |
пары сопряженных корней характеристического |
|
уравнения. |
|
pi i. |
В частном |
случае, когда ωi 0, имеем корень |
|
Соответствующая ему составляющая переходного процесса Cie it представляет собой экспоненту, которая будет затухать (рис. 7.5, а) или увеличиваться (рис. 7.5, б) тоже в зависимости от знака αi.
Итак, в общем случае переходный процесс в системе состоит из колебательных и апериодических составляющих. Каждая
151
колебательная составляющая обязана своим появлением паре комплексно-сопряженных корней, а каждая апериодическая – действительному корню. Отсюда следует, что общим условием затухания всех составляющих, а значит, и всего переходного процесса в целом является отрицательность действительных частей всех корней характеристического уравнения системы, т. е. всех полюсов (нулей знаменателя) передаточной функции системы.
Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, он даст расходящуюся составляющую переходного процесса и система будет неустойчивой.
Наличие вещественного корня на мнимой оси означает, что система находится на границе устойчивости (рис. 7.5, в). Пара сопряженных чисто мнимых корней pi,i 1 jωi даст незатухающую
гармоническую составляющую переходного процесса (рис. 7.5, е). При этом в системе установятся незатухающие колебания с частотой, равной ωi. Этот случай является граничным между устойчивостью и неустойчивостью – система при этом находится на границе устойчивости. Такая система, очевидно, также неработоспособна, как и неустойчивая.
Апериодический расходящийся процесс (рис. 7.5, б) может, например, возникнуть в САУ, если в ее управляющем устройстве ошибочно переключить полярность воздействия на объект, в результате чего управляющее устройство будет осуществлять не отрицательную, а положительную обратную связь вокруг объекта. При этом управляющее устройство будет не устранять отклонение x(t), а действовать в обратном направлении, вызывая лавинообразное его изменение.
Колебательный расходящийся процесс (рис. 7.5, д) может наступить, например, при неограниченном увеличении коэффициента передачи системы, вследствие чего управляющее устройство станет излишне энергично воздействовать на объект, стремясь ликвидировать первоначально возникшие отклонение x(t). В этом случае при каждом очередном возврате x(t) к нулю под действием управляющего устройства кривая x(t) будет пересекать ось абсцисс все с большей скоростью и процесс в целом будет расходящимся.
152
Рис. 7.5. Переходные процессы
Обычно корни с отрицательными вещественными частями принято называть левыми, поскольку они на комплексной плоскости корней расположены слева от мнимой оси, а корни с положительными вещественными частями – правыми корнями.
Если изобразить корни характеристического уравнения системы точками на комплексной плоскости (рис. 7.6), то найденное выше общее условие устойчивости линейной системы можно сформулировать еще так: для того чтобы линейная система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения (7.27) были левыми.
Таким образом, мнимая ось представляет собой граничную линию в плоскости корней, за которую не должны переходить корни характеристического уравнения. Вся левая полуплоскость представляет собой при этом область устойчивости.
153
Рис. 7.6. Корни характеристического уравнения системы на комплексной плоскости
Для суждения об устойчивости системы практически не требуется находить корни ее характеристического уравнения в связи с тем, что разработаны косвенные признаки, по которым можно судить о знаках действительных частей этих корней и тем самым об устойчивости системы, не решая самого характеристического уравнения. Эти косвенные признаки называются критериями устойчивости.
Критерии устойчивости могут быть разделены на алгебраические и частотные.
7.4.Алгебраические критерии устойчивости линейных систем
7.4.1.Необходимое условие устойчивости. Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения
D(p) a |
0 |
pn a pn 1 |
... a |
n |
0. |
(7.30) |
|
1 |
|
|
|
Покажем, что необходимым (но не достаточным) условием устойчивости системы является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Это значит, что при положительности всех коэффициентов система может быть устойчивой, но не исключена возможность неустойчивости системы. Если же не все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то система наверняка неустойчива и никаких дополнительных исследований устойчивости не требуется.
154
Заметим, что вместо того, чтобы быть положительными, все коэффициенты характеристического уравнения могут быть отрицательными. Умножая все члены характеристического уравнения на минус единицу, можно сделать все коэффициенты положительными, т. е. в этом случае выполнить указанное выше требование.
Для доказательства сформулированного необходимого условия устойчивости будем вначале предполагать, что все корни вещественные. Представим левую часть характеристического уравнения (7.30) в виде произведения
a0(p p1)(p p2) (p pn) 0,
где p1, p2, , pn – корни характеристического уравнения. При этом будем считать, что a0 0. Это всегда можно выполнить умножением уравнения на минус единицу.
В устойчивой системе все корни должны быть отрицательными, т. е. p1 α1, p2 α2 и т. д., где αi 0. При этом получим
a0(p α1)(p α2) (p αn) 0.
Если теперь раскрыть скобки и вернуться к уравнению вида (7.30), то все коэффициенты уравнения получатся положительными, так как, перемножая и складывая положительные величины α1 0, α2 0 и т. д., нельзя получить отрицательных величин.
При наличии в решении характеристического уравнения комплексных корней с отрицательной вещественной частью, например p1,2 α jω, где α 0 и ω 0, результат не изменится, так как множители, соответствующие этим корням, будут иметь вид
(p α jω)(p α jω) (p α)2 ω2.
Очевидно, что появление такого множителя не может изменить вывод о положительности всех коэффициентов характеристического уравнения.
Имея в виду рассмотренное необходимое условие устойчивости, далее будем всегда предполагать, что все коэффициенты характеристического уравнения положительны.
Необходимое условие устойчивости становится достаточным только для уравнений первого и второго порядков. В этом случае система будет устойчивой при положительности всех коэффициентов
155
характеристического уравнения, в чем нетрудно убедиться прямым нахождением корней уравнения.
Из алгебраических критериев устойчивости наиболее широкое распространение получили критерии устойчивости Рауса и Гурвица.
7.4.2. Критерий устойчивости Рауса. Этот критерий устойчивости был в 1877 г. предложен английским математиком Э. Раусом в виде некоторого правила (алгоритма), которое наиболее просто поясняется табл. 7.1.
В первой строке табл. 7.1 записывают в порядке возрастания индексов коэффициенты характеристического уравнения (7.30), имеющие четный индекс: a0, a2, a4, a6, …; во второй строке – коэффициенты (7.30) с нечетным индексом: a1, a3, a5, a7, ... .
Любой из остальных коэффициентов таблицы определяют как
ck,i ck 1,i 2 |
rick 1,i 1, |
(7.31) |
где |
/c1,i 1. |
(7.32) |
ri c1,i 2 |
Здесь k – индекс, означающий номер столбца табл. 7.1; i – индекс, означающий номер строки табл. 7.1. Заметим, что число строк таблиц Рауса равно степени характеристического уравнения плюс единица n 1.
Таблица 7.1
Коэффициент |
Строка |
Столбец |
|
|
|
ri |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
… |
|
|
|
|
|
|
|
– |
1 |
c11 a0 |
c21 a2 |
c31 a4 |
… |
– |
2 |
c12 a1 |
c22 a3 |
c32 a5 |
… |
r3 c11 /c12 |
3 |
c13 c21 r3c22 |
c23 c31 r3c32 |
c33 c41 r3c42 |
… |
r4 c12 /c13 |
4 |
c14 c22 r4c23 |
c24 c32 r4c33 |
c34 c42 r4c43 |
… |
r5 c13 /c14 |
5 |
c15 c23 r5c24 |
c25 c33 r5c34 |
c35 c43 r5c44 |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
|
|
После того как таблица Рауса заполнена, по ней можно сделать суждение об устойчивости системы. Условие устойчивости Рауса формулируется так: для того чтобы система автоматического
156
управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели один и тот же знак, т. е. при a0 0 были положительными
c11 a0 0; c12 a1 0; c13 0; ... ; c1,n 1 0. |
(7.33) |
Если не все коэффициенты первого столбца положительны, то система неустойчива, а число правых корней характеристического уравнения равно числу перемен знака в первом столбце таблицы Рауса.
Критерий Рауса особенно удобен, когда заданы численные значения коэффициентов характеристического уравнения (7.30). Поскольку форма алгоритма, при помощи которого составляют таблицу Рауса, очень удобна для программирования, то определение устойчивости можно выполнить с помощью быстродействующих ЭВМ довольно быстро даже при характеристических уравнениях высокого порядка.
7.4.3. Критерий устойчивости Гурвица. В 1895 г. немецким математиком А. Гурвицем был разработан алгебраический критерий устойчивости в форме определителей, составляемых из коэффициентов характеристического уравнения системы.
Из коэффициентов характеристического уравнения (7.30) строят сначала главный определитель Гурвица
|
a1 |
a3 |
a5 |
a7 |
|
0 |
|
|
|
a0 |
a2 |
a4 |
a6 |
|
0 |
|
|
n |
0 |
a1 |
a3 |
a5 |
|
0 |
(7.34) |
|
0 |
a0 |
a2 |
a4 |
|
0 |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
an |
|
по следующему правилу: по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от a1 до an в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз – коэффициентами с последовательно убывающими индексами. На место коэффициентов с индексами больше n и меньше нуля проставляют нули.
157
Отчеркивая в главном определителе Гурвица диагональные миноры, получаем определители Гурвица низшего порядка
|
|
|
|
|
a1 |
a3 |
|
|
|
|
a1 |
a3 |
a5 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
a , |
|
2 |
|
, |
|
3 |
|
a |
a |
2 |
a |
4 |
, . |
(7.35) |
|||
1 |
1 |
|
|
a |
a |
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
a1 |
a3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Номер определителя Гурвица определяется номером коэффициента по диагонали, для которого составляют данный определитель. Критерий устойчивости Гурвица формулируется следующим образом: для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого
коэффициента характеристического уравнения a0, т. е. при |
a0 0 |
||||||
были положительными. |
при a0 0 для устойчивости |
|
|
||||
Таким |
образом, |
системы |
|||||
необходимо и достаточно выполнение следующих условий: |
i 0 |
||||||
для i 0,1, 2, , n. |
|
|
|
|
|
|
|
Раскрывая, |
например, |
определители |
Гурвица |
для |
|||
характеристических |
уравнений |
первого, второго, третьего |
|||||
и четвертого |
порядков, |
можно |
получить следующие |
условия |
|||
устойчивости:
1) для уравнения первого порядка n 1 a0 p a1 0,
условия устойчивости
a0 0, a1 0; 2) для уравнения второго порядка n 2 a0 p2 a1p a2 0,
условия устойчивости
a0 0, a1 0, a2 0; 3) для уравнения третьего порядка n 3 a0 p3 a1p2 a2 p a3 0,
условия устойчивости
a0 0, a1 0, a2 0, a3 0, a1a2 a0a3 0;
158
4) для уравнения четвертого порядка n 4 a0 p4 a1p3 a2 p2 a3p a4 0,
условия устойчивости
a0 0, a1 0, a2 0, a3 0, a4 0,
a1a2a3 a0a32 a12a4 0.
Таким образом, необходимым и достаточным условием устойчивости для систем первого и второго порядков является положительность коэффициентов характеристического уравнения. Для уравнений третьего и четвертого порядков, кроме положительности коэффициентов, необходимо соблюдение дополнительных неравенств.
При n 5 число подобных дополнительных неравенств возрастает, процесс раскрытия определителей становится довольно трудоемким и громоздким. Поэтому в этом случае целесообразно применять критерий устойчивости Льенара – Шипара либо при использовании критерия устойчивости Гурвица переходить
кчисленным методам с использованием ЭВМ.
Впоследнем столбце главного определителя Гурвица (7.34) отличен от нуля только один коэффициент an, поэтому
n an n 1. |
(7.36) |
Из (7.36) видно, что при an 0 для проверки устойчивости системы достаточно найти только определители Гурвица от 1 доn 1. Если все определители Гурвица низшего порядка положительны, то система находится на границе устойчивости, когда главный определитель равен нулю
n an n 1 0. |
(7.37) |
Последнее равенство возможно в двух случаях: an 0 илиn 1 0. В первом случае система находится на границе апериодической устойчивости (один из корней характеристического уравнения равен нулю); во втором случае – на границе колебательной устойчивости (два комплексно-сопряженных корня характеристического уравнения находятся на мнимой оси).
Следует заметить, что критерий Гурвица можно получить из критерия Рауса, поэтому иногда критерий Гурвица называют критерием Paуca – Гурвица.
159
7.4.4. Критерий устойчивости Льенара – Шипара. Для исследования устойчивости систем автоматического управления, имеющих порядок характеристического уравнения n 5, удобно применять одну из модификаций алгебраического критерия устойчивости Гурвица, предложенную в 1914 г. П. Льенаром и Р. Шипаром.
Доказано, что в том случае, когда все коэффициенты
характеристического |
уравнения |
(7.30) |
положительны |
(a0 0, a1 0, , an 0), |
из того факта, |
что |
положительны все |
определители 1, 3, 5, с нечетными индексами, следует и положительность определителей Гурвица 2, 4, 6, с четными индексами, и наоборот.
Поэтому в тех случаях, когда выполнены необходимые условия устойчивости, т. е. a0 0, a1 0, , an 0, необходимые и достаточные условия устойчивости сводятся к тому, чтобы среди определителей Гурвица 1, 2, , n были положительны все определители с четными (или же все определители с нечетными) индексами.
Таким образом, для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие неравенства:
a0 0, a1 0, , an 0,
1 0, 3 0, 5 0,
или
a0 0, a1 0, , an 0, .
2 0, 4 0, 6 0, .
(7.38)
(7.39)
Последняя формулировка критерия устойчивости, называемая критерием устойчивости Льенара – Шипара, требует раскрытие меньшего числа определителей, чем обычный критерий Гурвица, а поэтому особенно удобна при исследовании устойчивости систем автоматического управления высокого порядка.
Пример 7.1. Пусть характеристическое уравнение системы
12p4 2p2 4p 50 0.
Необходимо исследовать систему на устойчивость.
160