Решение. Система неустойчива, так как коэффициент a1 0.
Пример 7.2. Характеристическое уравнение системы
3p5 10p4 5p3 7p2 p 100 0.
Необходимо исследовать систему на устойчивость. Решение. Система неустойчива, так как a3 7 0.
Пример 7.3. Характеристическое уравнение системы
2p3 6p2 10p 15 0.
Необходимо исследовать систему на устойчивость.
Решение. Все коэффициенты этого характеристического уравнения положительны, и определитель Гурвица ∆2 с четным индексом равен
|
|
|
a1 |
a3 |
a a |
|
a |
a 6 10 2 15 30 0. |
|
2 |
|
a0 |
a2 |
1 |
2 |
|
0 3 |
Следовательно, система устойчива.
Пример 7.4. Характеристическое уравнение системы
D(p) (1 T1p)(1 T2 p)(1 T3p) K 0,
где K – коэффициент усиления разомкнутой системы; Т1, Т2, Т3 – постоянные времени отдельных динамических звеньев системы.
Определить условия устойчивости системы.
Решение. Найдем, пользуясь критерием Гурвица, предельное значение коэффициента усиления разомкнутой системы Kкр как
функцию постоянных времени Т1, Т2, Т3. Перепишем характеристическое уравнение в виде
D(p) T1T2T3p3 (T1T2 T1T3 T2T3)p2 (T1 T2 T3)p 1 Ka0 p3 a1p2 a2 p a3 0,
где a0 T1T2T3; a1 T1T2 T1T3 T2T3; a2 T1 T2 T3; a3 1 K .
Согласно критерию устойчивости Гурвица система третьего порядка будет устойчива, если выполняются следующие неравенства
a0 0, a1 0, a2 0, a3 0, a1a2 a0a3 0.
В нашем случае все коэффициенты характеристического уравнения положительны, поэтому система будет устойчива, если
161
(T1T2 T1T3 T2T3)(T1 T2 T3) T1T2T3(1 K).
Последнее неравенство можно переписать в виде
K Kкр (1/T1 1/T2 1/T3)(T1 T2 T3) 1.
Предельное (критическое) значение коэффициента усиления, при котором система будет находиться на границе устойчивости, равно
Kкр (1/T1 1/T2 1/T3)(T1 T2 T3) 1.
В частном случае, когда T1 T2 T3, значение Kкр минимально и равно Kкр 8.
Контрольные вопросы
1.Что означает устойчивость САУ?
2.В чем отличие возмущенного и невозмущенного движений системы?
3.При каком условии невозмущенное движение будет устойчивым?
4.Дайте определение асимптотической устойчивости невозмущенного движения.
5.Сформулируйте необходимое и достаточное условие устойчивости САУ.
6.Что может возникнуть в САУ, если объект управления охватить положительной обратной связью?
7.При каких условиях в САУ может возникнуть колебательный расходящийся процесс?
8.Дайте определение устойчивости системы по Гурвицу.
9.При каких условиях система находится на границе апериодической и на границе колебательной устойчивости?
10.Дайте формулировку критерия устойчивости Льенара – Шипара.
162