2 курс ОАУ(ТАУ) [препод. Петунин В.И.] / Лекции / 8 (1)

интегралу (8.13), т. е.

Q

=

T 1dt

0

, при

условии, что на управление

наложено ограничение (8.4), т. е.

u

1

,

начальные условия на

координату x заданы равенствами координату x – нулевые, т. е. x(T ) =

(8.24),

x(T ) = 0

а конечные условия, на

.

8.3. Синтез простейшей оптимальной по быстродействию системы второго порядка

Рассмотрим решение задачи отыскания оптимальных процессов и синтеза управляющего устройства на примере задачи 8.1, где для

объекта с уравнением (8.12) d 2 y		dt 2 = u , ограничением u 1 и
граничными условиями
y(0) = −α0	;	y(T ) = 0	;
y(0) = 0 ;	y(T ) = 0

требуется обеспечить оптимальность по быстродействию.

8.3.1. Оптимальные процессы управления.

предположить, что для наибыстрейшей отработки

Естественно,

величины

α0

следует вначале разгонять систему с предельно допустимым ускорением, а затем в определенный момент времени управление следует переключить с разгона на торможение также с предельно допустимым, но уже отрицательным ускорением. При точно выбранном моменте переключения с разгона на торможение скорость изменения координаты y станет равной нулю как раз тогда, когда y

переместится на величину

α0

.

Поскольку максимальное и

минимальное значения управления равны по модулю, то отрезки времени, затраченного на разгон и торможение, равны между собой и

будут	T	2	, где Т – время переходного процесса. График такого

процесса управления u(t) показан на рис. 8.5, а.

При движении системы с положительным ускорением ( u = +1; 0 t T 2 ) скорость нарастает по закону (рис. 8.5, б)

dy dt = t .

Координата y (рис. 8.5, в) к моменту t = T 2 достигнет половины отрабатываемой величины, т.е.

203

T			T 2		t	2	T 2		T	2
		=		y(t)dt − α0 =			− α0	=
y					2				8
2			0				0

а

б

в

Рис. 8.5

− α0

		α
	= −	0
		2

.

(8.25)

Отсюда найдем общее время оптимального переходного

процесса
T = 2 α0 .	(8.26)

Для реализации оптимального процесса в разомкнутой системе необходимо вычислительное устройство, которое по заданной величине α0 определит T из (8.26) и осуществит по программе

управление	u = +1 на интервале 0 t T 2 и u = −1 на интервале
T 2 t T	и далее u = 0 при t T . Оптимальность рассмотренного

управления можно доказать путем простых рассуждений.

204

Заметим, что площадь под линией

y(t)

при любом управлении

должна быть одной и той же и равняться заданной величине

α0

.

Пусть, например, на отрезке времени [0, T/2] в течение интервала τ не выполнялось равенство u = +1. Такое неоптимальное управление показано на рис. 8.5, а пунктиром и обозначено через uн (t) . Соответствующая управлению uн (t) линия изменения скорости

yн (t) при t [0, T 2] будет проходить ниже прямой 0а оптимального процесса скорости, поэтому площадь под линией yн (t) на отрезке [0, T/2] окажется меньше величины α0 / 2 . Чтобы покрыть требуемую

площадь

α0

при дальнейшем движении системы линия

y	н	(t)

должна

на каком-то участке проходить выше линии

ab . Это значит, что для

t T 2	линии	y(t)	и	yн (t)	должны	пересечься.	Второй	раз
пересечься внутри отрезка [T/2, T] или хотя бы встретиться при								t = T
линии	yн (t) и	y(t)	не	смогут,	так как	для этого	yн (t) должна

снижаться круче, чем

y(t)

,

что недопустимо из-за ограничения

величины и. Отсюда следует, что время для отработки величины							0
при управлении	u	н	(t)	будет больше, чем Т.
Таким образом, любое отклонение от управления
				+1 при 0	t T 2,	(8.27)
				u(t) =
				−1 при T	2 t T

приводит к увеличению времени переходного процесса, следовательно, управление (8.27) является оптимальным. Напомним, что функцию u(t) определяемую в виде (8.27), называют кусочно-

постоянной.

8.3.2. Синтез оптимального управляющего устройства.

Введем в рассмотрение фазовую плоскость с координатами

	y = y1;
	dy		dy1			(8.28)
		=		= y2
					.
	dt		dt
Тогда рассматриваемая задача может быть сформулирована как

задача наибыстрейшего перевода	точки на фазовой плоскости ( y1, y2 )
из положения (−α0 ,0) в начало	координат. С учетом обозначений

(8.28) можно записать

205

d

2

y

dy

dy

dy

dy

2

2

2

=

=

1

=

y2 .

dt

2

dt

dy

dt

dy

1

1

Подставляя это равенство в уравнение (8.12) объекта, получим

(dy

2

dy

1

) y

2

= u

.

(8.29)

Оптимальное управляющее воздействие, как видно из (8.27),

может принимать только два значения u = −1

или

u = +1. Подставляя

эти значения в (8.29), можно найти уравнение для фазовых траекторий системы. При u = +1

y 2 2

2 =

y1

+

c

.

(8.30)

Здесь c – постоянная интегрирования, величину которой можно найти, задав координату точки, находящейся на требуемой траектории. Например, для траектории семейства (8.30), проходящей через начало координат, c = 0, и уравнение этой траектории имеет вид

2	2 = y1.
y2

Семейство фазовых траекторий (8.30) для различных на рис. 8.6, а.

Траектория с уравнением (8.31) выделена. При u = −1

2	2 = − y1 + c .
y2

(8.31)

с показано

(8.32)

Траектория, проходящая через начало координат, определяется уравнением

y 2 2

2 =

−

y1

.

(8.33)

Семейство траекторий (8.32) показано на рис. 8.6, б, а траектория (8.33) выделена.

Поскольку целью управления является перевод точки на фазовой плоскости в начало координат, то заключительный этап движения может проходить только по траектории (8.31), если u = +1, или по траектории (8.33), если u = −1.

206

а

б

в

Рис. 8.6

Следует уточнить, что не вся траектория (8.31) приводит

систему в

начало

координат,

а

лишь

часть ее, расположенная в

четвертом

квадранте,

для

которой

y

2

0

. Эта

часть

траектории

может быть описана уравнением, эквивалентным (8.31) при

y

2

0

:

y

2

y1

=

2

(−sign y2 ) .

2

Аналогично

для

u = −1

к

началу

координат

ведет

часть

траектории

(8.33)

при

y

2

0

.

Этот

участок

можно

описать

уравнением, эквивалентным (8.33) при

y

2

0

:

y

= −

y22

sign y

2

.

1

2

207

Сравнивая два последние уравнения, заметим, что эти уравнения совпадают. Таким образом, движение системы на последнем отрезке времени описывается уравнением

y	+
1

2
y
2	sign y
2	2

=

0

.

(8.34)

Для попадания на завершающий участок движение должно проходить по траекториям (8.30), когда начальные координаты точки лежат под линией, соответствующей уравнению (8.34), и по траекториям (8.32), когда начальные координаты изображающей точки лежат над линией, соответствующей уравнению (8.34) (рис. 8.8, в). Например, в рассматриваемой задаче перевод изображающей

точки из положения	[−α0 , 0]		начинается при u = +1 (участок AB на
рис. 8.6, в). В точке	B	управление должно сменить знак, т.е. для

дальнейшего движения u = −1 (участок В0).

Поскольку при попадании изображающей точки на линию (8.34) в управляющем воздействии происходит переключение с одного предельного значения на другое, кривую (8.34) можно назвать линией переключения.

Введем в рассмотрение функцию

v = − y		+
	1

	2
	y
	2	sign
	2

y2

  

.

(8.35)

На линии переключения, как это следует из (8.34), она

обращается в	нуль. Для точек фазовой плоскости, расположенных
правее линии	переключения, т.е. там, где u = −1, функция v 0. В

этом просто убедиться, переместившись с любой точки линии переключения вправо без изменения y2 . Слагаемое y1 при этом

получит положительное приращение, а

	( y	2	2) sign y
		2		2

останется

неизменным. Следовательно, с учетом знака минус перед скобкой в (8.35) правая часть этого выражения получит отрицательное приращение. А так как на линии переключения v = 0, наше утверждение доказано. Аналогично можно убедиться, что для точек,

расположенных левее линии переключения, где	u = +1, функция
v 0.
Если с учетом поведения функции принять закон управления в
виде
u = sign v ,	(8.36)

208

то полученное управление будет совпадать с оптимальным. Рассмотрим техническую реализацию формулы (8.36).

Управление

u

должно формироваться с помощью идеального

двухпозиционного реле, переключения которого происходят при

смене знака функции v. Так как функция

v

управляет

переключениями реле, то ее можно назвать переключающей функцией. Заметим, кстати, что выражение для переключающей функции (8.35) отличается от левой части уравнения линии переключения (8.34) только знаком.

Зная уравнения (8.35) и (8.36), можно построить управляющее устройство для реализации оптимальной системы.

В целом структурная схема синтезированной оптимальной системы показана на рис. 8.7, где управляющее устройство УУ обведено штриховым контуром. Знак минус, стоящий перед скобкой в (8.35), учитывается знаком органа сравнения. Рассогласование (в

нашем случае	x = − y
	1 ) проходит на суммирующий узел, на второй

вход которого подается величина

сигнала производной	y	2	с

преобразователей. Производную

	− ( y	2	2) sign
		2

помощью

определяет

y2	, формируемая из

трех нелинейных дифференциатор p .

Выходной сигнал суммирующего узла управляет положением реле, воздействующего на объект.

Рис. 8.7

209

На основе рассмотренной задачи можно сделать следующие выводы:

1. оптимальное управляющее воздействие представляет собой кусочно-постоянную функцию, принимающую предельные значения

(

1

);

2.для реализации оптимального управления может быть использовано двухпозиционное реле, положение которого определяется знаком переключающей функции;

3.техническая реализация оптимальной переключающей

функции v даже для простейшей системы довольно сложна, поэтому при решении практических задач оптимального управления целесообразно найти эквивалентную переключающую функцию vэ ,

совпадающую с реализации.

v

по знаку, но более простую для технической

8.4. Краткая характеристика методов оптимального управления

Задача оптимального управления была сформулирована как

задача достижения экстремума функционала

Q[y(t), u(t)]

путем

выбора управления

u(t)

при соблюдении необходимых ограничений

на управления и фазовые координаты. Математическим аппаратом для нахождения экстремалей является вариационное исчисление.

Можно выделить четыре основных метода в вариационном исчислении, используемых для решения задач оптимального управления: применение уравнения Эйлера, принцип максимума, динамическое программирование и прямой вариационный метод.

Исторически первым появился метод, использующий уравнение Эйлера. Основные задачи, для которых была развита Эйлером теория, имели экстремалями гладкие функции, а экстремизируемый функционал и дополнительные условия задавались нелинейными функциями координат. Поэтому уравнение Эйлера целесообразно применять для решения оптимальных задач управления, где по физическому смыслу трудно ожидать решения в виде разрывных функций и где функционал и уравнения связи существенно нелинейны.

К середине 50 годов XX в. практикой автоматического управления была доказана целесообразность применения во многих линейных задачах кусочно-непрерывных управляющих воздействий.

210

Новые задачи обусловили появление нового метода – принципа максимума, который наиболее эффективно дает решение для линейных оптимальных задач при ограничениях на управление в виде неравенств.

Метод динамического программирования, в основу которого положен принцип оптимальности, развился как аппарат исследования многошаговых оптимальных решений в различных отраслях науки и техники, в том числе в автоматическом управлении, также в 50-е годы. Этот метод наиболее удачно применяется в задачах с дискретным временем и уравнениями в конечных разностях благодаря удачному сочетанию принципа оптимальности и возможностям современной вычислительной техники.

Прямой вариационный метод давно применяется для отыскания экстремалей. Этот метод использует приемы вычислительной математики, и естественно, что с широким внедрением вычислительной техники прямые вариационные методы пережили второе рождение и вышли на передовые позиции среди методов решения задач оптимального управления.

8.5. Принцип максимума и его применение для решения задач оптимального управления

Рассматриваемый метод решения вариационных задач был разработан коллективом советских ученых под руководством академика Л. С. Понтрягина в период 1956-1960 гг. Центральным стержнем метода является принцип максимума, высказанный впервые Л. С. Понтрягиным в виде гипотезы, поэтому указанный метод решения вариационных задач широко известен как принцип максимума Понтрягина. Нужно отметить, что принцип максимума разрабатывался специально для решения задач оптимального управления, поэтому и постановка задачи, и терминология в принципе максимума гораздо ближе специалистам по управлению, чем в методах, основанных на уравнении Эйлера. Но главным достоинством этого метода является то, что класс искомых управлений включает в себя кусочно-непрерывные функции.

Теоремы принципа максимума справедливы для систем управления, поведение которых можно описать системой дифференциальных уравнений первого порядка:

211

где

yi

yi = fi ( y1, ..., yn , u1, ..., ur )

(i =1, , n) ,

– фазовые координаты объекта; ui

– управления.

(8.37)

Ставится задача систему за время Т

–	отыскать управления			u(t) , переводящие
из	положения	y(t0 )	в	положение	y(T )	и

доставляющие экстремальное значение функционалу

T

Q = G(y, u, t)dt .

t0

Переход к описанию объекта управления в виде системы уравнений вида (8.37) от линейного уравнения n -го порядка,

например,	осуществляется	путем	замены	переменных
yk = d k −1 y	dt k −1 и подстановки	их в	исходное уравнение. Пусть

уравнение объекта с одним, управляющим воздействием

u

d

n

y

d

n −1

y

a

+ a

+ ...

0

n

n −1

dt

1

dt

Тогда, обозначая

y

= y

,

y

2

= y

,

1

систему n уравнений первого порядка

y

= y

2

;

1

y

2

= y

3

;

. . . .

y

n

−1

= y

n

;

y

= −

1

a y

+ a

y

+

n

n

2

n −1

a

1

0

+ an y = u .

y3 = y , …, можем записать

... + a	n	y	− u .
		1

В число фазовых координат объекта включают еще величину характеризующую текущее значение функционала, т.е.

y0

t

y0 (t) = G u, y, t dt ; y0 (T )= Q .

t0

Дифференциальное уравнение для координаты	y0
так:
y0 = G[u, y, t] = f0 (u, y, t) .

Добавляя уравнение (8.38) в (8.37), запишем систему уравнений задачи оптимального управления

записывается

(8.38)

окончательно

212