Решённый тест

№

Вопрос

Варианты ответов

Научное объяснение ответа

1

Сколько характеристических уравнений имеет динамическая система с определенными постоянными параметрами?

1. Столько, сколько у нее особых точек

? Поскольку вдали от особых точек все динамические системы локально эквивалентны простейшему дифференциальному уравнению x’ = с, y’ = 0.

2

Может ли дифференциальное уравнение с постоянными параметрами иметь хаотическое поведение?

1. Да, если положение равновесия системы неустойчиво и порядок уравнения n>2

Дифференциальное уравнение с постоянными параметрами может иметь хаотическое поведение при условии неустойчивости равновесия система и наличия порядка не менее 3.

3

Что следует считать эмпирическим основанием системы?

1. Явление реального мира.

Эмпирическое – основанное на опыте. Опыт – в реальном мире.

4

Что наиболее полно и правильно определяет сложность системы?

1. Многокачественность сущности системы, разнообразие механизмов самоорганизации, детерминирующих возникновение феномена системы.

Сложность – внутреннее свойство системы.

5

Определите место системы в познавательном процессе.

1. Объект (явление) реального мира – Система – Модель

Объект (явление) – эмпирическое основание системы, а модель – образ этой системы.

6

Истинность модели с позиции физика.

1. Адекватность моделируемой системе.

Для физика важно, чтобы математическая модель описывала определенное явление/объект.

7

Истинность модели с позиции инженера.

2. Содержательная истинность

Для инженера важна содержательная интерпретация его задач.

8

Истинность модели с позиции математика.

3. Формальная правильность (доказуемость)

Математиков интересует математический смысл и логика разрабатываемых моделей.

9

Могут ли существовать странные

аттракторы в динамических системах третьего порядка, в правые части которых входят только линейные и квадратичные члены?

1. Да.

Странные аттракторы существуют только в диссипативных системах с n≥3.

10

Что характеризует системы с хаотическим поведением?

1. Временной горизонт предсказуемости.

Несоизмеримость причин и следствий. Необходимость формулирования законов природы в терминах эволюции распределений вероятности, а не в терминах индивидуальных траекторий.

Динамический хаос возникает в диссипативных системах, моделируемых обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). При порядке уравнения не менее 3 в системах ОДУ возможны сложные непериодические детерминированные движения со странными аттракторами, имеющими конечные горизонты прогноза. Также в такой модели наблюдается разбегание любых двух, как угодно, близких траекторий.

11

Какие положения, определяющие

консервативные системы, не характерны для диссипативных систем?

1. Условие Лиувилля (сохранение объема) и обратимость времени

Несохранение объема в фазовом пространстве – отличительная особенность диссипативных систем.

12

Как изменяется концентрация вещества во времени при росте управляющего параметра в уравнении брюсселятора?

1. Нелинейная реакция системы во времени при изменении значения параметра (в направлении роста до критической величины) изменяет структуру фазового пространства, вследствие чего рождается цикл.

При изменении параметра B в направлении роста меняется структура фазового пространства:

устойчивый фокус + неустойчивый фокус = рождение цикла

13

Какие функции реализуют аналитические (внутренние, аксиоматические) модели?

1. Научного понимания, рационального объяснения.

Интерпретационные функции – эмпирико-статистические (внешние) модели

Прогностические функции – имитационные модели

14

Какие функции реализуют имитационные модели?

3. Прогностические.

Нормативные функции – целевые (оптимизационные) модели

Функции научного понимания, рационального объяснения – аналитические модели

15

При разработке какой модели не

составляют вербальное описание

объекта?

2. Эмпирико-статистическая модель.

При разработке аксиоматических (внутренних) моделей необходимо описание систем. Имитационные модели могут в качестве элементов структуры использовать в том числе аксиоматические модели, т.е. также включать описание систем.

16

Задание обобщенных координат системы в классической механике полностью определяет ее механическое состояние?

3. Нет, требуется дополнительно задать скорости

изменения каждой координаты.

Для того, чтобы иметь возможность определять координаты системы в любой момент времени необходимо знать, изменяются ли они и если изменяются, то с какой скоростью.

17

Приведенный перечень видов особых точек полный?

- узел (устойчивый, неустойчивый),

- фокус (устойчивый, неустойчивый),

- седло.

2. Перечень особых точек неполный.

Перечень видов особых точек также включает центр. При этом данный вид особой точки для нелинейных систем называют медленным фокусом

18

Нелинейные системы имеют особые точки, отличающиеся от особых точек линейных систем?

2. Нет.

Нелинейные системы не имеют особых точек, отличающихся от особых точек линейных систем

19

Какие особые точки являются точечными аттракторами динамических систем?

2. Устойчивые узлы и устойчивые фокусы

Устойчивый узел -- стационарное состояние в случае, если траектории упираются в точку.

Устойчивый фокус – траектории имеют вид свертывающихся спиралей. Изображающая точка приближается к стационару, совершая затухающие колебания.

20

Аэроупругое галопирование плохо

обтекаемых конструкций: каковы условия возникновения катастрофы при росте ветровой нагрузки?

1. Ровный ветер, сечение балки - квадратное.

Турбулентный поток – устойчивый предельный цикл.

Прямоугольное сечение балки – неустойчивая бифуркация, скачок, стабилизация предельного цикла.

21

Возникают ли предельные циклы в линейных динамических системах?

3. Нет.

Предельные циклы невозможны в линейных системах или в одномерных ОДУ.

22

Может ли обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными параметрами иметь хаотическое поведение?

3. Нет, поведение системы всегда детерминировано,

проявляется через траектории движения.

Обыкновенное дифференциальное уравнение (уравнение с одной переменной) описывается через траектории движения, его поведение всегда детерминировано.

23

Математические образы установившихся режимов в динамических системах.

1. Точечные аттракторы и предельные циклы.

Аттракторы вида узел, фокус и предельный цикл являются математическими образами установившихся режимов в динамических системах. Узел, фокус – точечные аттракторы.

24

Математические образы

установившегося хаотического

поведения в динамических системах.

3. Странные аттракторы.

Для странного аттрактора отсутствует условие устойчивости решений, что является физическое явление динамического хаоса. Странные аттракторы являются математическим образом установившегося хаотического поведения в динамических системах.

25

Что определяет устойчивость

динамических систем?

1. Знак действительной части чисел Ляпунова при малых внешних возмущениях.

Если хотя бы одно из чисел Ляпунова положительно, состояние будет неустойчивым.

26

В чем проявляется «странность»

странных аттракторов?

1. Чувствительность к начальным данным, геометрические свойства, фрактальность.

Чувствительность к начальным данным--У странного аттрактора через время, обратно пропорциональное показателю Ляпунова, две близкие вначале траектории с течением времени перестанут быть близкими. Выбирая различные точки, можно получать разные значения показателей. Размерность странного аттрактора – дробная, его геометрическая структура не может быть представлена в виде геометрических элементов целой размерности

27

Поведение во времени объектов с

аттракторами фрактальной размерности.

1. Непредсказуемое невоспроизводимое очень сложное поведение. Траектории со сколь угодно близкими начальными условиями расходятся во времени (имеют различные эволюции). Аттрактор усиливает малейшие возмущения.

Фрактальный аттрактор обладает необычайно тонкой структурой, которая выражает очень сложное поведение во времени. Аттракторы с фрактальными размерностями порождают типы поведения, которые невозможно ни предсказать, ни воспроизвести.

28

Что характеризует хаотические системы?

1. Временной горизонт предсказуемости.

Несоизмеримость причин и следствий. Необходимость формулирования законов природы в терминах эволюции распределений вероятности, а не в терминах индивидуальных траекторий.

Динамический хаос возникает в диссипативных системах, моделируемых обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). При порядке уравнения не менее 3 в системах ОДУ возможны сложные непериодические детерминированные движения со странными аттракторами, имеющими конечные горизонты прогноза.

29

Чем определяется неустойчивость

системы?

1. Явление, возникающее в рамках динамических

уравнений, следствием которого является неполнота

уравнений. Неустойчивость можно установить (найти

числа Ляпунова), но предсказать результат процесса при этом невозможно.

Неустойчивость – внутреннее свойство системы, а не результат внешнего воздействия. Числа Ляпунова являются характеристическими числами системы.

30

Что характерно для интегрируемых

систем?

2. Возможность исключить взаимодействия

(потенциальную энергию) и свести задачу к задаче

свободного (невозмущенного) движения. Поведение

системы предсказуемое, воспроизводимое, описывается траекториями.

Для интегрируемых систем можно исключить взаимодействия и свести задачу к задаче о свободном движении. Для свободного движения не составляет труда найти выражения для координат и скоростей в виде явных функций времени.

31

Что характерно для неинтегрируемых

(несводимых) систем?

1. Резонансы между степенями свободы, стохастическое поведение.

А. Пуаре доказал не интегрируемость и объяснил её причину – существование резонансов между степенями свободы. Стохастические траектории являются результатом теории Колмогорова-Арнольда-Мозера.

32

Какую катастрофу можно наблюдать в системе в случае общего положения при изменении одного параметра?

2. Катастрофу складки.

Если имеется только один параметр (а), то в случае общего положения можно наблюдать катастрофу складки. Для ее определения используют локальную потенциальную функцию с единственной активной координатой (x).

33

Какие состояния системы являются

критическими при независимом

изменении параметров?

1. Равенство нулю первой и второй частной производной потенциальной функции.

Если имеется независимое управления двумя параметрами (a, b), то помимо катастрофы складки можно наблюдать еще катастрофу сборки. При этом критическими являются состояния, в которых одновременно первая и вторая

производные обращаются в ноль.

34

Аэроупругое галопирование плохо

обтекаемых конструкций: условия

возникновения катастрофы при росте ветровой нагрузки?

2. Ровный ветер, сечение балки - квадратное

Турбулентный поток – устойчивый предельный цикл.

Прямоугольное сечение балки – неустойчивая бифуркация, скачок, стабилизация предельного цикла.