Математика (семестр 2, часть 1)

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Приходовский М.А.

Математика

Учебное пособие (курс лекций)

2-й семестр Часть 1

для специальности:

09.03.03 «прикладная информатика в экономике» (группа 445)

Томск

ТУСУР

2016

1

Электронное пособие составлено и скорректировано с учѐтом реального проведения лекций на ФСУ в группе 445 весной 2016 года.

В первой половине 2 семестра, согласно рабочей программе, на специальности 09.03.03 изучаются следующие темы:

1.Интегральное исчисление.

2.Дифференциальные уравнения.

2

Оглавление

ГЛАВА 1. ИНТЕГРАЛЫ.

§1. Определения и основные методы.

§2. Интегрирование рациональных дробей.

§3. Интегрирование иррациональностей и тригонометрических выражений.

§4. Определѐнный интеграл и его приложения. §5. Несобственный интеграл.

§6. Кратные интегралы.

ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

§1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.

§2. Дифференциальные уравнения n-го порядка.

§3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка.

§4. Системы дифференциальных уравнений.

3

ЛЕКЦИЯ № 1.

19. 02. 2016

ГЛАВА 1. ИНТЕГРАЛЫ.

§1. Определения и основные методы. Определение. Если F (x) f (x) , то F(x) называется

первообразной от функции f (x) .

Свойство. Если F(x) первообразная, то F(x) C (для любого

C R ) тоже является первообразной для той же самой функции	f (x) .
Это легко доказать, действительно, (F(x) C) = f (x) 0 =	f (x) .

Таким образом, первообразных бесконечно много, то есть, если поднять или опустить на любую высоту график F(x) , снова будет

первообразная.

Определение. Множество всех первообразных от одной и той же функции f (x) называется неопределѐнным интегралом этой функции.

Обозначение: f (x)dx F(x) C .

Свойство. Если F1 (x) и F2 (x) две различные первообразные

функции f (x) , то F1 (x) F2 (x) С .

Доказывается так: (F1 (x) F2 (x)) С , то есть f (x) f (x) 0 .

Свойства линейности.

1.af (x)dx a f (x)dx

2.f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx

Таблица основных интегралов.

0dx C

x a dx

x a 1

C ( a 1 )

a 1

1

dx ln | x | C

x

1

dx arctgx C

1

dx

1

arctg

x

C

x

2

1

x

2

a

2

a

a

4

1

dx arcsin x C

1

dx arcsin

x

C

1

x 2

a 2 x 2

a

a x dx

a x

C

e x dx e x C

ln a

cosxdx sin x C ;

sin xdx cosx C

1

dx tgx C

1

dx ctgx C

2

sin

2

cos

x

x

Объяснение причины возникновения модуля в

1

dx ln

x

C .

x

1

Функция

ln x существует только на правой полуоси, тогда как

x

имеет две ветви, на правой и левой полуоси. Получалось бы противоречие, что производная от несуществующей функции есть на

левой полуоси. Функция ln x является чѐтным продолжением ln x на

левую полуось, и именно она там является первообразной для 1 при x

x 0.

Методы интегрирования.

1. Преобразования подынтегральных выражений.

Различные преобразования, например, арифметические (домножить и поделить, прибавить и отнять), выделение полного квадрата, разбиение многочлена на множители, преобразования по тригонометрическим формулам, и т.д. нередко помогают упростить исходное выражение, разбить его на несколько более простых слагаемых, которые уже сводятся к интегралам табличного типа. На практике рассмотрены разнообразные примеры на виды этих преобразований. Рассмотрим один пример.

Пример. Вычислить cos2 xdx .

Решение. Применим формулу понижения степени.

5

	cos2	xdx =				1 cos2x				dx		=		1		1dx		cos2xdx =
							2							2
1		1							x			1
	x			sin 2x			C	=					sin 2x C .
2		2							2			4

2. Замена переменной.

Бывают такие случаи, когда функция имеет вид f (g(x)) , то есть явно видно, что всѐ выражение зависит от какого-то однотипного блока, например всѐ выражается через sin x или x . Делается замена на t , только нужно не забыть пересчитать dx , потому что dx dt , если только замена не является простым линейным сдвигом t x a .

Пример.

Вычислить

x

1

dx .

x

Решение. Сделаем замену t

x , тогда x t 2 , dx (t 2 ) dt ,

dx 2tdt .

1

t 1

x

dx =

2tdt

= (2t 2)dt = t 2 2t C .

x

t

Обратная замена: t 2 2t C =

2 2

x

x

C =

x

2

x C .

Более того, область определения исходной функции (0, ) из-за

наличия в ней квадратного корня, точка 0 не входит в область определения, так как корень там и в знаменателе, так что знак модуля

в ответе является излишним, ответ можно записать так: x 2 x C .

Если в функции присутствуют корни разного порядка, например x и 3x , то замена должна происходить через корень порядка НОК

(наименьшее общее кратное). Причина в том, что именно при этом все корни переводятся в целые степени от t .

Если t 6 x , тогда: x t 6 , dx 6t 5 dt .

Почему все корни выразятся через целые степени от t , видно здесь:

6

1

2

= 6

2 t 2 ,

3 x x 3

x 6

x

1

3

= 6

3 t 3 .

x x 2

x 6

x

3. Подведение под знак дифференциала.

Если интеграл имеет вид f (g(x))g (x)dx , то есть в функции

присутствует какой-то множитель, который достаточно легко подлежит интегрированию, а в остальном множителе есть явная зависимость от его первообразной, то это значит, что подынтегральная функция есть производная от композиции f (g(x)) .

Тогда можно g (x)dx объединить и назвать d (g(x)) , и далее g(x)

можно будет повсеместно заменить на t . Рассмотрим, как это действует, на примерах.

Пример. Вычислить sin 2 x cosxdx .

Решение. sin 2 x cosxdx = sin 2 xd(sin x) , фактически здесь уже

подготовлена замена t sin x , более того, дифференциал пересчитывать не нужно, потому что под дифференциалом и так сформировано то же самое, что будет называться t . То есть, это частный случай замены переменных, только более простой.

Итак, вид интеграла получается t 2 dt =	1	t 3	C .
	3

Сделаем обратную замену, и вот ответ: 13 sin 3 x C .

1							1
			3						2		2
Проверка:		sin		x		=		3sin		x sin x = sin		x cos x , то есть
	3						3

именно исходную подынтегральную функцию мы и получили.

Пример. Вычислить x 2 dx . x6 1

7

Решение.			x 2 dx				=		1		3x		2 dx	=	1			d (x3 )						=	1			dt			=
				6								6																2
			x						3		x		1		3			(x	3	)	2	1			3		t		1
					1
	1	arctg(t) C =				1		arctg(x3 ) C .
3						3

4. Интегрирование по частям.

Существует более общий метод, чем подведение под знак дифференциала. Иногда вовсе не требуется, чтобы первообразная от того множителя, который подводится под dx, была как-то связана с остальной частью функции. Запишите формулу:

udv uv vdu

Такой короткий вид легче выучить наизусть, а теперь запишем более подробно, чтобы понять смысл.

u(x)v (x)dx u(x)v(x) v(x)u (x)dx .

Если есть два множителя, и один из них интегрируется довольно легко (он обозначен v ) то можно перейти к интегралу, в котором наоборот, u понижено до производной, а v повышено до первообразной. Иногда именно это помогает упростить дальнейшие вычисления.

Доказательство формулы.

Вспомним, что по правилу дифференцирования произведения,

которое мы доказывали в прошлом семестре: u(x)v(x) = u (x)v(x) u(x)v (x) .

Тогда u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) .

Тогда и неопределѐнные интегралы от этих двух функций совпадают:

u(x)v (x)dx = u(x)v(x) dx u (x)v(x)dx .

Но первообразная от производной, это сама функция и есть, т.е.

u(x)v(x) dx u(x)v(x) C .

Поэтому

8

u(x)v (x)dx = u(x)v(x) u (x)v(x)dx .

Пример. xex dx

Решение. Если обозначить u x , v e x , то при переходе к u степенной понизится степень, в данном случае она вообще перейдѐт в 1. А вот для второго множителя переходим к первообразной, но там

не усложняется, остаѐтся точно так же как и было, e x . Поэтому на следующем шаге интеграл содержит вообще не два множителя, а один!

Составим таблицу:

u x	v e x
u 1	v e x
xex dx =		xe x 1e x dx , тогда получаем ответ:			xex e x C .
Пример.		Вычислить интеграл: x cosxdx Составим таблицу:
u x	v sin x
u 1	v cosx

После применения формулы, останется интеграл, в котором всего лишь один множитель, а не два, потому что x переходит в 1, и один из множителей исчезает.

x cosxdx = x sin x sin xdx = xsin x cosx C .

А есть такие случаи, когда функция состоит не из 2 множителей, а всего из одного, но мы ведь всѐ равно можем считать, что второй множитель есть, только он равен 1.

Пример. ln xdx .

u ln x			v x
u	1		v		1
	x

9

Здесь производная от подынтегральной функции устроена лучше и проще, чем сама функция, но правда, пришлось допустить некоторое незначительное усложнение типа функции при переходе от v к v .

ln xdx = x ln x x 1x dx = x ln x dx = x ln x x C .

Пример. arctgxdx

Производная арктангенса устроена проще, это уже рациональная дробь. И это используем, обозначая еѐ u при интегрировании по частям:

u arctgx				v x
u	1			v 1
	x2 1
Тогда:			arctgxdx =			xarctgx		x		dx .
								2
							x	1

Второе слагаемое далее уже решается подведением под знак dx.

xarctgx								x		dx =		xarctgx	1					2xdx					=
						2													2
					x			1					2				x			1
xarctgx		1					d (x 2 1)					= xarctgx				1				dt		=
		2						x 2 1							2					t
xarctgx		1		ln( x2						1) C . Знак модуля даже не нужен, т.к.
		2

x2 1 0 .

Интегралы вида e x cos xdx или ex sin xdx .

Они называются «циклические интегралы», потому что они решаются таким способом: через 2 цикла вычисления получается сведение к исходному интегралу.

Пусть I ex cosxdx .
. На первом шаге, обозначаем u			e x , v cosx .
	1		1
u e x	v1 sin x
1

10