Математика

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Приходовский М.А.

Математика Курс лекций Семестр 3 Учебное пособие

для специальности 09.03.01 « информатика и вычислительная техника»

Томск

ТУСУР

2019

Электронное учебное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения лекций на ФСУ в группах 437-1,2,3 осенью 2018 года.

(ДОК №) - доказательства формул или теорем, которые попадают в теооретические билеты.

2

Оглавление

Глава 1. Криволинейные и поверхностные интегралы,
теория поля......................................................................................		5
§ 1. Криволинейные и поверхностные интегралы 1 рода............		5
§ 2. Криволинейные и поверхностные интегралы 2 рода............		10
§ 3. Элементы теории поля..............................................................		17
Глава 2. Теория функций комплексного переменного ...........		33
§ 1. Действия с комплексными числами.........................................		33
§ 2. Функции комплексного переменного......................................		35
§ 3. Дифференцирование комплексных функций.........................		41
§ 4. Интегрирование комплексных функций.................................		50
§ 5. Интегральная формула Коши ..................................................		58
§ 6. Комплексные числа и дифференциальные уравнения..........		70
§ 7.	Гиперкомплексные числовые системы. Кватернионы.........	71
Глава 3. Особые точки и вычеты .............................................		76
§ 1.	Нули аналитической функции...............................................	76
§ 2.	Особые точки ..........................................................................	77
§ 3.	Вычеты.....................................................................................	84
§ 4.	Приложения вычетов..............................................................	96
Глава 4. Ряды Фурье ....................................................................		107
§ 1.	Скалярное произведение, ортогональные системы..............	107
§ 2.	Тригонометрический ряд Фурье.............................................	115
§ 3.	Комплексный ряд Фурье.........................................................	123
§ 4.	Ряд Фурье по ортогональным системам многочленов..........	126
Приложение. Разбор тестов к аттестации .....................................		131
Список вопросов по доказательствам в билеты ...........................		139
Литература .......................................................................................		144

3

Оглавление по номерам лекций
Лекция 1..........................................................................................	5
Лекция 2..........................................................................................	13
Лекция 3..........................................................................................	21
Лекция 4..........................................................................................	32
Лекция 5..........................................................................................	41
Лекция 6..........................................................................................	50
Лекция 7..........................................................................................	58
Лекция 8..........................................................................................	69
Лекция 9..........................................................................................	77
Лекция 10.........................................................................................	86
Лекция 11.........................................................................................	96
Лекция 12.........................................................................................	104
Лекция 13.........................................................................................	112
Лекция 14.........................................................................................	120
Лекция 15.........................................................................................	126
Лекция 16.........................................................................................	136

4

ЛЕКЦИЯ 1. 05.09.2018

Глава 1.

Криволинейные и поверхностные интегралы, теория поля

§ 1. Криволинейные и поверхностные интегралы 1 рода (от скалярных функций).

В прошлом учебном году мы изучали формулы длины кривой и площади поверхности. Напомним их, чтобы ввести понятия криволинейных и поверхностных интегралов.

b

Формула длины явно заданной кривой:

L

1 ( f

2

dx .

(x))

a

b

Для параметрически заданной кривой:

L

2

2

dt

(x (t))

( y (t))

a

b

В трёхмерном пространстве: L

2

2

2

dt .

(x (t))

( y (t))

(z (t))

a

.

Площадь поверхности.

Для явно заданной поверхности:

S

		x
		1 f
		2
	D

f y 2

dxdy

.

Коротко напомним идею вывода этой формулы.

Вектор

r1

направлен по касательной в сечении, параллельном оси Ox ,

то есть тангенс угла наклона для него это		f x (x, y) .	Его координаты:
( x,0, x f x ) =	x(1,0, f x ) . Аналогично	вектор r2	расположен в

5

сечении вдоль оси Oy дельта, то это y(0,1,

помощью векторного произведения.

, его координаты (0, y, y f x ) , если вынести f x ) . Площадь параллелограмма вычисляется с произведения, она равна модулю векторного

e	e	2	e	3
1
1	0		f
				x
0	1		f
				y

=

f x ,

f

y

,1

, модуль этого вектора:

1 f	f
2	2
x	y

.

А в случае параметрического задания поверхности с помощью

векторной функции

e	e	2	e	3
1
					. Этот
xu	yu		zu
x	y		z
v		v		v

x(u, v)
y(u, v)
z(u, v)

способ

этот определитель приобрёл бы вид

тоже употребляется на практике. Так,

например, задать сферу можно с помощью двух параметров, аналогичных широте и долготе на земном шаре. Тогда в формуле площади поверхности под корнем - сумма квадратов трёх миноров, состоящих из частных производных, расположенных в двух нижних строках определителя.

S

y

z

2

x

z

2

x

u

u

u

u

u

y

z

x

z

x

D

v

v

v

v

v

y u

y v

2 dudv .

Теперь представим следующую ситуацию: проволока или поверхность имеют переменную плотность, и требуется найти массу. Если плотность единичная, то фактически найти длину кривой (или площадь поверхности) это и означает найти данную массу. Но если плотность переменная, то при мелком разбиении нужно на каждом участке надо умножать длину (площадь) соответствующего участка на плотность. Именно такая задача привела к появлению понятий криволинейного и поверхностного интегралов 1-го рода (от скалярных функций).

6

Определение. Пусть дана некоторая кривая в пространстве всех точках пространства (и в частности, на кривой) ограниченная и непрерывная скалярная функция F (x, y, z) .

R	3	. Во
задана

Введём

разбиение кривой на n частей, длину каждой из них обозначим

Li

.

Возьмём на каждой из этих частей по одной точке

M i

. Рассмотрим

	n
такую сумму:	F (M i ) Li	(она называется интегральной
	i 1

суммой). Предел таких сумм при n называется криволинейным интегралом 1-го рода (от скалярной функции).

Примечание. n следует рассматривать при условии, что разбиение измельчается по всей кривой, т.е. max Li 0 .

Формулы вычисления криволинейного интеграла 1-го рода. Обозначение: F dl .

L

1) Для параметрически заданной кривой в трёхмерном пространстве:

	b
F dl F (x(t), y(t), z(t))		(x (t))	2
L	a

( y (t))	2

(z (t))	2	dt

.

2) Для параметрически заданной кривой в плоскости:

	b
F dl F (x(t), y(t))		(x (t))	2
L	a

( y (t))	2	dt

.

На практике это значит, что необходимо все переменные x, y, z в

составе функции	F	выразить через параметр t , таким образом,
функция станет зависеть только одной переменной, получим			F (t)
далее сводится к обычному определённому интегралу от t .
3) Для явно заданной кривой в плоскости:

, и

b

F dl F (x, f (x)) 1 ( f (x)) 2 dx .

L

a

Примечание. Если F 1, то из этих получаются прежние формулы длины кривой, указанные в начале лекции.

7

Пример. Найти массу проволоки, расположенной в виде полуокружности в верхней полуплоскости, если плотность равна y . Решение. Так как все точки расположены на окружности, то лучше задать параметрически: x cos t , y sin t , причём t [0, ].

Далее,	x sin t ,			y		cos t .
sin t	sin	2	t cos	2	tdt		=	sin tdt
0								0

=

	cos t
		0

=

(cos cos 0)

= 2.

Определение. Пусть дана некоторая поверхность в пространстве R3 . Во всех точках пространства (и в частности, на поверхности) задана

ограниченная и непрерывная скалярная функция F (x, y, z) .		Введём
разбиение поверхности на n частей	двумя семействами	линий,
площадь каждой части обозначим Si .	Возьмём на каждой из этих

частей

n

i 1

по

F (M

одной

i ) Si .

точке	M i . Рассмотрим интегральную сумму:
Предел таких сумм при		n	называется

поверхностным интегралом 1-го рода (от скалярной функции).

Обозначение

F dS S

Формулы вычисления поверхностного интеграла 1-го рода. Для явно заданной поверхности:

F dS F (x, y, f (x, y))1 f x 2 f y 2 dxdy .

S D

Для параметрически заданной поверхности правая часть формулы была бы такого вида:

F (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

y

z

2

x

z

2

x

y

2

dudv

u

u

u

u

u

u

y

z

x

z

x

y

D

v

v

v

v

v

v

Мы на практике будем, как правило, стараться сводить к явному виду. Ещё один физический смысл. F (x, y, z) этот вовсе не обязательно плотность какой-то тонкой пластины. Допустим, что F (x, y, z) -

8

уровень радиации, заданный во всех точках пространства. То есть, эта функция может быть задана во всем пространстве, независимо от наличия или отсутствия какой-либо поверхности. Если затем расположить там поверхность, то поверхностный интеграл 1 рода будет показывать, какую суммарную дозу радиоактивности получит эта поверхность.

Пример. Дана функция

F (x, y, z) y . Пусть поверхность - верхняя

полусфера радиуса 1. Найти поверхностный интеграл 1 рода. Решение. Верхняя полусфера задаётся в явной форме так:

z	f (x, y)	1 x	2	y	2	. Частные производные:

				2x								,					2 y						.
f x							2				2		f y						2
		2	1 x					y							2		1 x			y			2
													x		2					y		2
	F dS					y			1							2								2	dxdy =
												x		2	y			x			2	y
S				D							1						1
		y		1					2	dxdy					,	где			D				- проекция полусферы на
			x	2	y
D		1

горизонтальную плоскость, то есть круг радиуса 1, а поскольку круг, то выгодно будет перейти к полярным координатам.

		y
		1 x	2	y	2
	D

dxdy

=

	2	1	cos
	d				d
			1	2
	0	0

=

2	1		2
cos	d			d
0	0	1		2

=

	1		2
0				d 0	. К счастью, интеграл
	0	1		2
пришлось считать, т.к. интеграл по
множителем и он равен 0.

по здесь даже не

выделяется отдельным

9

§ 2. Криволинейные и поверхностные интегралы 2 рода (от векторных функций).

Теперь мы рассмотрим другую ситуацию. В каждой точке пространства, и в частности, на кривой (или на поверхности), задана

не скалярная, а векторная функция

F (x,

y,

z)

. Векторная функция

состоит из 3 координатных скалярных функций и имеет вид:

F (x, y, z)

=

(P(x, y, z), Q(x,

y, z), R(x,

y,

z))

.

Чтобы получить в результате интегрирования некую скалярную величину, необходимо также при разбиении кривой (поверхности) на части, в каждой из частей заранее также каким-либо образом получить скалярную величину. Для кривой наиболее логично в каждой точке

M i

скалярно умножить

F (x, y, z)

на вектор, расположенный на

касательной, а обозначаемый

dl

и равный

(x (t),

y (t), z (t))

. Другими

словами, это хорошо известный из физики вектор скорости. Если для криволинейного интеграла 1 рода мы фактически использовали в

интеграле его модуль		2		2		2	, то теперь не будет
	(x (t))		( y (t))		(z (t))

вычисляться модуль, а будет производиться скалярное домножение

на	F (x, y, z) .

Определение. Пусть дана некоторая кривая в пространстве	R	3	. Во
всех точках пространства (и в частности, на кривой)	задана

ограниченная и непрерывная векторная функция

F (x,

y,

z)

. Введём

разбиение кривой на n частей, возьмём на каждой из этих частей по

одной точке

n F (M i ) dli .

i 1

M i .	Рассмотрим	интегральную		сумму:
Предел таких сумм		при	n	называется

криволинейным интегралом 2-го рода (от векторной функции).

Обозначается		F , dl
	L

Физический смысл: работа силы по перемещению точки по кривой. Формулы вычисления:

10