Начальные сведения о MathCAD
..pdfМинистерство образования РФ
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники
Кафедра радиотехнических систем (РТС)
Учебное пособие «Начальные сведения о MathCAD»
для студентов технических вузов
2016
1
Министерство образования РФ
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники
Кафедра радиотехнических систем (РТС)
Утверждаю: Зав. кафедрой РТС, проф., д.т.н.
_______________ С.В. Мелихов
_____________________ 2016 г.
Учебное пособие «Начальные сведения о MathCAD» для студентов технических вузов
Разработчик: Ст. преподаватель каф. РТС
______________ Ноздреватых Д.О.
______________________2016 г.
2016
2
Аннотация
Учебное пособие «Начальные сведения о MathCAD» для студентов технических вузов представляет собой теоретический материал для работы в математическом пакете
MathCAD.
Каждый раздел заканчивает заданиями для самостоятельной работы и закрепления пройденного материала (для преподавателей вузов могут быть заданиями для лабораторных работ).
3
Содержание |
|
Введение................................................................................................................... |
8 |
1 Интегрированная Среда СКМ Mathcad ........................................................ |
14 |
2 Интерфейс Mathcad ............................................................................................ |
21 |
2.1 Меню ............................................................................................................. |
23 |
2.2 Справка по Mathcad ..................................................................................... |
23 |
2.3 Панели инструментов .................................................................................. |
23 |
3 Основы работы с Mathcad ................................................................................. |
26 |
3.1 Создания формул и редактирование документа ....................................... |
27 |
3.1.1 Создание формул ................................................................................... |
28 |
3.1.2 Ввод и редактирование текста.............................................................. |
33 |
3.1.3 Правка документа .................................................................................. |
34 |
3.1.4 Печать и посылка документа по электронной почте ......................... |
35 |
3.2 Вычисления................................................................................................... |
35 |
3.2.1 Числа ....................................................................................................... |
35 |
3.2.2 Переменные ............................................................................................ |
36 |
3.2.3 Операции................................................................................................. |
37 |
3.2.3 Операторы присваивания...................................................................... |
39 |
3.2.4 Функции .................................................................................................. |
40 |
3.2.5 Функции пользователя .......................................................................... |
42 |
3.2.6 Простейшие вычисления....................................................................... |
42 |
3.2.7 Задание 1 для самостоятельной проработки материала .................... |
43 |
3.3 Векторы и матрицы...................................................................................... |
43 |
3.3.1 Векторные и матричные операции....................................................... |
47 |
3.3.2 Добавление и удаление столбцов и строк ........................................... |
50 |
3.3.3 Операции над матрицами в аналитической (символьной) форме .... |
51 |
3.3.4 Основные аксиомы и теоремы теории матриц ................................... |
53 |
3.3.5 Применение матриц и векторов для решения систем линейных |
|
уравнений......................................................................................................... |
54 |
|
4 |
3.3.6 Задание 2 для самостоятельной проработки материала .................... |
56 |
3.4 Построение графиков .................................................................................. |
58 |
3.4.1 Прямоугольная система координат на плоскости .............................. |
59 |
3.4.2 Поверхности ........................................................................................... |
65 |
3.4.3 Полярная система координат на плоскости ........................................ |
71 |
3.4.4 Задание 3 для самостоятельной проработки материала .................... |
74 |
3.5 Решение уравнений...................................................................................... |
75 |
3.5.1 Численное решение нелинейных алгебраических уравнений .......... |
75 |
3.5.2Численное решение системы линейных алгебраических уравнений79
3.5.3Решение алгебраических уравнений в аналитической (символьной)
форме................................................................................................................ |
82 |
3.5.4 Решение систем линейных уравнений................................................. |
82 |
3.5.5 Символьное решение нелинейных алгебраических уравнений........ |
84 |
3.5.6 Задание 4 для самостоятельной проработки материала .................... |
85 |
3.5.7 Дифференциальные уравнения ............................................................ |
86 |
3.5.8 Дифференциальные уравнения первого порядка ............................... |
87 |
3.5.9 Дифференциальные уравнения второго порядка ............................... |
88 |
3.5.10 Задание 5 для самостоятельной проработки материала .................. |
89 |
3.5.11 Системы дифференциальных уравнений .......................................... |
89 |
3.5.12 Задание 6 для самостоятельной проработки материала .................. |
90 |
4 Программирование в Mathcad........................................................................... |
91 |
4.1 Введение. О программировании в среде Mathcad .................................... |
91 |
4.2 Техника программирования в Mathcad .................................................. |
95 |
4.2.1 Этап 1. «Выработка требований к исходным данным и к форме |
|
выдачи результата»......................................................................................... |
96 |
4.2.2Этап 2. «Разбор способа получения результата. Расчет примеров». 97
4.2.3Этап 3. «Составление алгоритма и представление его в схематичной
форме».............................................................................................................. |
98 |
4.2.4 Этап 4. «Расчет контрольных примеров применительно к |
|
алгоритму»....................................................................................................... |
99 |
|
5 |
4.2.5 Этап 5. «Составление программы, отладка на контрольных |
|
примерах» ...................................................................................................... |
100 |
4.2.6 «Тестирование программы на контрольных примерах».................. |
109 |
4.2.7 Эксперименты с программой.............................................................. |
111 |
4.2.8 Задание 7 для самостоятельной проработки материала .................. |
111 |
5 Символьные преобразования в Mathcad ........................................................ |
115 |
5.1 Введение. Сведения о символьных преобразованиях в Mathcad.......... |
115 |
5.1.1 Операции с выделенными выражениями .......................................... |
117 |
5.1.2 Операции с выделенными переменными .......................................... |
117 |
5.1.3 Операции с выделенными матрицами ............................................... |
118 |
5.1.4 Операции преобразования .................................................................. |
118 |
5.1.5 Стиль эволюции ................................................................................... |
119 |
5.2 Осваиваем операции символьной математики ....................................... |
119 |
5.2.1 Опция Evaluate-Symbolically............................................................... |
120 |
5.2.2 Опция Symbolics-Simplify ................................................................... |
121 |
5.2.3 Опция Symbolics-Expand ..................................................................... |
123 |
5.2.4 Опция Symbolics-Factor....................................................................... |
123 |
5.2.5 Опция Symbolics-Collect...................................................................... |
124 |
5.2.6 Опция Symbolics-Polynomial Coefficients .......................................... |
125 |
5.2.7 Опция Symbolics-Variable ................................................................... |
125 |
5.2.8 Опция Transform-Fourier ..................................................................... |
129 |
5.2.9 Опция Transform-Laplace Transform .................................................. |
129 |
5.2.10 Опция Transform-Z............................................................................. |
129 |
5.2.11 Задание 8 для самостоятельной проработки материала ................ |
130 |
5.3 Создание анимационных клипов.............................................................. |
131 |
6 Интерполяция и регрессия, функции сглаживания данных и предсказания |
|
............................................................................................................................... |
136 |
6.1 Функции линейной и сплайновой аппроксимации ................................ |
136 |
6.1.1 Одномерная линейная аппроксимация .............................................. |
136 |
6.1.2 Одномерная сплайн-интерполяция и сплайн-аппроксимация ........ |
137 |
|
6 |
6.1.3 Двумерная линейная сплайн-интерполяция и сплайн-аппроксимация |
||
......................................................................................................................... |
|
139 |
6.2 |
Функции для проведения регрессии ........................................................ |
141 |
6.2.1 Функции для линейной регрессии ..................................................... |
141 |
|
6.2.2 Функция для линейной регрессии общего вида ............................... |
142 |
|
6.2.3 Функции для одномерной и многомерной полиномиальной |
|
|
регрессии........................................................................................................ |
143 |
|
6.2.4 Функция для нелинейной регрессии общего вида ........................... |
146 |
|
6.3 |
Функция сглаживания данных.................................................................. |
148 |
6.4 |
Функция предсказания .............................................................................. |
149 |
Приложение 1 ...................................................................................................... |
180 |
7
Введение
Одной из основных областей применения ПК являются математические и научно-технические расчеты. Сложные вычислительные задачи, возникающие при моделировании технических устройств и процессов, можно разбить на ряд элементарных: вычисление интегралов, решение уравнений, решение дифференциальных уравнений и т. д. Для таких задач уже разработаны методы решения, созданы математические системы, доступные для изучения студентам младших курсов втузов.
Первый этап – компьютер, оправдывая свое название (в переводе с англ. «вычислитель»), работал как мощный программируемый калькулятор, способный быстро и автоматически (по веденной программе) выполнять сложные и громоздкие арифметические и логические операции над числами.
Успехи вычислительной математики и постоянно совершенствующиеся численные методы позволяют решить таким способом любую математическую задачу применительно к любой отрасли знаний. Важно отметить, что результат вычислений при этом представляется одним конечным числом в арифметическом виде, то есть при помощи десятичных цифр. Иногда результат представляется множеством (массивом, матрицей) таких чисел, но существо представления от этого не меняется – результат в виде конечного десятичного арифметического числа.
Однако такой результат часто не удовлетворял профессиональных математиков, и вот почему. Подавляющее большинство результатов нетривиальных математических вычислений в классической математике традиционно записывается в символьной форме: с использованием специальных общеизвестных чисел: , , , а иррациональные значения – с помощью радикала. Считается, что в противном случае имеет место принципиальная потеря точности.
Другой классический пример, вызывающий замечание математика – выражение, знакомое любому школьнику:
всегда равное единице; а в компьютере либо будет предпринята попытка вычислить это выражение (с неизбежными ошибками округления), либо будет выдано сообщение о неопределенности аргумента Х и всякие дальнейшие действия будут прекращены.
На этом первый этап завершился.
Естественно, вслед за стремительным совершенствованием компьютерных систем человеку в компьютерных расчетах захотелось большего: почему бы не заставить компьютер выполнять преобразования традиционными для математики способами (дробно-рациональные преобразования, подстановки, упрощения, решение уравнений, дифференцирование и т.п.).
8
Их принято называть преобразованиями в символьном виде или аналитическими преобразованиями, а результат получать не как раньше – в виде одного числа, а в виде формулы.
К этому моменту практически все области человеческой деятельности оказались охваченными каждая своим собственным математическим аппаратом и обзавелись собственными пакетами прикладного программного обеспечения (ППО). При этом всем понадобился универсальный математический инструмент, ориентированный на широкий круг пользователей, которые не являются ни профессионалами в математике, ни программистами, воспитанными на узкоспециальных, малопонятных большинству конечных пользователей компьютерных языках.
Это привело к созданию компьютерных систем символьной математики, рассчитанных на широкие круги пользователей – непрофессионалов в математике. Так началась с середины 60-х годов ХХ века эра систем компьютерной математики (СКМ), по-английски CAS –
Сomputer algebra system.
В конце 60-х годов в России на отечественных ЭВМ серии "Мир", разработанных под руководством академика В. Глушкова, была реализована СКМ на языке программирования "Аналитик", обладающая всеми возможностями символьных вычислений, впрочем, с весьма скромными, по нынешним понятиям, характеристиками.
Конечно, даже самые простые неинтеллектуальные компьютерные математические справочники представляют большой практический интерес – ведь ни один самый способный человек не в состоянии вместить в своей голове все математические законы и правила, созданные за многовековую историю человечества.
Данные об особенностях существующих СКМ приведены в табл. В1.
Таблица В1. Современные СКМ и их возможности
Система |
Назначение и возможности |
|
Недостатки |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
MathCAD |
Система |
|
универсального |
Достаточно |
примитивные |
||||||
13, |
назначения в |
основном |
для |
средства |
|
программирования. |
|||||
MathCAD |
непрофессиональных |
|
|
Дороговизна электронных книг |
|||||||
14 |
математиков |
и |
целей |
и |
библиотек, |
отсутствие |
|||||
|
образования |
всех |
ступеней. |
русифицированных |
|
версий |
|||||
|
Продуманный |
|
интерфейс |
самого |
|
пакета |
и |
||||
|
представления |
данных |
в |
дополнительных |
библиотек |
||||||
|
традиционной |
математической |
(книг). Затруднена символьная |
||||||||
|
форме и изумительная графика |
обработка |
дифференциальных |
||||||||
|
на всех этапах работы, включая |
уравнений. |
Не |
создается |
|||||||
|
ввод. Ввод с помощью выбора |
итоговый |
исполняемый |
*.exe- |
|||||||
|
из панелей инструментов или из |
файл; для |
|
запуска |
документа |
||||||
|
меню |
практически |
без |
необходимо |
наличие |
пакета |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
Maple V
R4/R5/R6
использования |
клавиатуры. |
СКМ MathCAD. Затруднения |
||||
Мощный |
и |
исчерпывающий |
при |
выполнении |
||
набор операторов и функций. |
тригонометрических |
|
||||
Множество |
примеров, |
преобразований |
|
|
||
электронных книг и библиотек, |
|
|
|
|||
готовых решений практических |
|
|
|
|||
задач. |
Ядро |
символьных |
|
|
|
|
вычислений импортировано из |
|
|
|
|||
СКМ Maple. |
Предоставление |
|
|
|
||
серверных |
|
услуг |
|
|
|
|
профессионального |
пакета. |
|
|
|
||
Легкость переноса документа в |
|
|
|
|||
другие приложения |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
||||
Университетское |
высшее |
Повышенные |
требования к |
|||
образование |
и |
научные |
аппаратным |
|
ресурсам. |
|
расчеты. |
Мощное |
ядро |
Отсутствие синтеза |
звуков. |
||
символьных |
вычислений – |
Ориентация |
на |
опытных |
||
возможности аналогичны СКМ |
пользователей и специалистов |
|||||
MathCAD, содержащее до 3000 |
по математике. Все недостатки |
|||||
функций. Мощнейшая графика. |
аналитических |
|
действий |
|||
Удобная |
справочная |
система. |
аналогичны СКМ MathCAD |
|||
Средства |
|
форматирования |
|
|
|
|
документов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mathematica |
Высшее образование и научные |
Высокие |
требования |
к |
|||||
5/7 |
расчеты. |
Наиболее |
развитая |
аппаратным |
|
|
ресурсам. |
||
|
система |
|
символьной |
Чрезмерная |
|
защита |
от |
||
|
математики. |
Единственная |
копирования. Слабая защита от |
||||||
|
СКМ, |
обеспечивающая |
некорректных |
|
|
задач. |
|||
|
символьное |
|
решение |
Ориентация |
|
на |
опытных |
||
|
дифференциальных уравнений. |
пользователей. Ввод задач на |
|||||||
|
Совместимость |
с |
разными |
уникальном |
|
|
|
языке |
|
|
компьютерными |
платформами. |
функционального |
|
|
||||
|
Уникальная |
трехмерная |
программирования. |
|
|
||||
|
графика. |
Поддержка |
синтеза |
Непривычная |
|
|
индикация |
||
|
звука. |
Развитые |
средства |
функций запуска вычислений. |
|||||
|
форматирования |
документов. |
|
|
|
|
|
||
|
Программный синтез звуков. |
|
|
|
|
|
MATLAB 7.*
Образование (в том числе техническое), научные расчеты, численное моделирование, и расчеты, ориентированные на применение матричных
Очень высокие требования к аппаратным ресурсам. Практически отсутствует возможность символьных вычислений. Относительно
10