Прикладные математические методы в радиотехнике. Часть 1. Аналоговые системы

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Радиотехнический факультет (РТФ)

Кафедра средств радиосвязи (СРС)

Кологривов В.А.

ПРИКЛАДНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В РАДИОТЕХНИКЕ

Часть 1. Аналоговые системы

Учебное пособие для студентов радиотехнических специальностей

2012

2

Рецензент: кандидат физико–математических наук, профессор кафедры радиотехнических систем, Томского университета систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР) Чумаков А.С.

Кологривов В.А.

Прикладные математические методы в радиотехнике. В 2-х частях. Часть 1 – Аналоговые системы: Учебное пособие для студентов направлений радиотехника и телекоммуникации. – Томск: ТУСУР. Образовательный портал, 2012. - 159 с.

Вучебном пособии излагается методика определения основных характеристик аналоговых, дискретных и цифровых устройств и систем с привлечением матричного аппарата, операционного исчисления (Лапласа и Z- преобразований), обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений. Изложение материала сопровождается большим числом примеров определения передаточных (системных), переходных и импульсных характеристик аналоговых и дискретных цепей, как моделей реальных устройств.

Используемая методика позволяет определять реакцию аналоговых, дискретных и цифровых устройств на произвольное воздействие и актуальна при моделировании реальных устройств с использованием современных компьютерных систем для инженерных и научных исследований.

Пособие предназначено для студентов младших курсов радиотехнических и связных специальностей и призвано привить навыки математической формулировки и решения прикладных задач радиотехники, радиоэлектроники и связи. Может использоваться студентами других специальностей по направлениям связь, телекоммуникации, промышленная электроника.

По техническим причинам учебное пособие разбито на 2 части: часть

1– Аналоговые системы; часть 2 – Дискретные и цифровые системы

Вконце второй части пособия приведены учебно-методические материалы контроля знаний по дисциплине «Прикладные математические методы в радиотехнике»: тематика и содержание компьютерных контрольных работ, экзаменационные вопросы компьютерной системы тестирования; вопросы для подготовки к экзамену и/или зачету.

Кологривов В А , 2012 ТУСУР, РТФ, каф. СРС, 2012 г.

3

АННОТАЦИЯ

Предлагаемое учебное пособие по дисциплине «Прикладные математические методы в радиотехнике» (ПММР) предназначено для студентов младших курсов направлений радиотехника и телекоммуникации.

Содержит изложение базовых понятий и задач радиотехники, электроники и связи и их математическую интерпретацию. В частности подробно рассмотрены передаточные, частотные, переходные и импульсные характеристики непрерывных и дискретных систем, методы их математического анализа и расчета с привлечением матричного аппарата, операционного исчисления, дифференциальных и разностных уравнений.

Данная дисциплина призвана развить опыт математической постановки и решения задач радиотехники, электроники и связи и способствовать более глубокому усвоению специальных предметов.

Учебное пособие может быть рекомендовано для постановки аналогичных дисциплин для студентов специальностей по связи, телекоммуникациям, промышленной электронике и других направлений.

4

ПРЕДИСЛОВИЕ

Дисциплина «Прикладные математические методы в радиотехнике» (ПММР) включена в учебный план специальности «Радиотехника» (200700) с 1999 года решением совета университета.

Основным мотивом включения данной дисциплины в учебный план явилась идея обеспечения фундаментальности образования по специальности «Радиотехника». Дело в том, что, несмотря на изучение традиционного курса высшей математики, наблюдается отрыв теоретических знаний по математике от прикладных вопросов радиотехники, электроники и связи.

Согласно учебному плану, основные разделы математики изучаются в течение трех первых семестров. В это время студенты еще не владеют даже основными понятиями по радиотехнике и электронике и естественно, что какой либо взаимной связи радиоэлектроники и математики не осознают.

С третьего семестра начинается изучение общетехнических дисциплин: основ теории цепей, радиотехнических сигналов, микроэлектроники, аналоговых электронных устройств и так далее. К этому времени формальные математические знания, не закрепленные решением конкретных прикладных задач, частично забываются. Хотя изложение общетехнических и специальных дисциплин ведется с широким использованием математического аппарата, но студентами это воспринимается в отрыве от ранее полученных знаний, что существенно затрудняет усвоение материала.

Основная трудность заключается в отсутствии навыка математической формулировки прикладных задач. Математическая интерпретация основных понятий и задач радиотехники и электроники предполагает свободное владение, как математическим аппаратом, так и основными понятиями радиоэлектроники. Математическая формулировка традиционных разделов радиоэлектроники позволяет существенно сократить время на изложение материала и сформировать общий взгляд на прикладные вопросы радиотехники. В тоже время количество отведенных на предмет часов, как всегда, ограничено, что требует оптимизации учебного плана и поиска новых концепций подготовки будущих специалистов.

Способность обобщенного формализованного восприятия технических вопросов как раз и отличает фундаментальное инженерное образование от технического образования. В связи с этим и появилась идея непрерывного математического образования в процессе обучения. Для того чтобы облегчить переход от чисто математических задач к радиотехническим задачам, а также способствовать лучшему усвоению общетехнических и специальных курсов в учебный план была введена дисциплина «Прикладные математические методы в радиотехнике» (ПММР). Дисциплина ПММР читается в четвертом семестре, сразу после завершения курса математики и параллельно с такими дисциплинами, как: основы теории цепей, радиотехнические сигналы и микроэлектроника.

Местоположение предмета в учебном плане и определило основное содержание дисциплины ПММР. Основной упор, в плане специальности,

5

сделан на основные характеристики непрерывных и дискретных цепей и систем, методы их математического описания и анализа. Широко использованы такие разделы математики, как: линейная алгебра, теория матриц, операционное исчисление, обыкновенные дифференциальные уравнения, разностные уравнения. При этом затронуты такие важные вопросы как: проблема собственных векторов и значений, аналитические функции от матриц, функции комплексного переменного, обобщенные и решетчатые функции. Основное внимание уделено аналитическим методам решения алгебраических, дифференциальных и разностных уравнений и методам их рационального вычисления с использованием современных систем для инженерных и научных расчетов типа MatLab, SciLab, Maple-V, MathCad.

Из всех известных систем инженерных для научных расчетов предпочтение отдано системам MatLab и SciLab, отличающимся богатыми функциональными средами для программирования, большим числом пакетов расширений для решения прикладных технических, физических и математических задач и получившие широкое распространение в известных университетских центрах.

Предметом аналитических исследований являются частотные и временные характеристики аналоговых и дискретных цепей и систем, как реакций на специфические входные воздействия, типа: гармонический сигнал, единичный скачок, дельта импульс, гармоническая последовательность дельта импульсов, периодическая последовательность

единичных	- импульсов и одиночный единичный - импульс.
Для	получения	передаточных	характеристик	аналоговых

(непрерывных) устройств заданных принципиальной схемой используется метод узловых потенциалов. Должное внимание уделено исследованию функциональных модулей на основе идеальных операционных усилителей (ОУ). Системные функции дискретных (цифровых) систем записываются непосредственно по функциональной схеме устройства. В качестве наиболее известных приложений дискретных и цифровых устройств рассмотрены цифровые фильтры.

Переходные и импульсные характеристики аналоговых (непрерывных) устройств исследуются операторным методом по передаточной характеристике и посредством интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Формирование ОДУ линейных систем и цепей реализуется преобразованием передаточной характеристики путем замены оператора Лапласа p оператором дифференцирования d / dt . Для

интегрирования ОДУ использованы универсальные методы (Лагранжа и Коши), пригодные для уравнений с постоянными и переменными коэффициентами.

Подробно рассмотрены вопросы определения начальных условий дифференциальных уравнений на основе обобщенной теоремы операционного исчисления о начальном значении функции и переход от

6

ОДУ n - го порядка к системе n дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрен матричный вариант метода Коши интегрирования систем ОДУ с использованием аналитической функции от матрицы коэффициентов. Введение понятия функции от матричного аргумента привело к необходимости рассмотрения полной проблемы собственных векторов и значений, а также жордановой формы канонического представления матриц коэффициентов систем при кратных собственных значениях.

Переходные и импульсные характеристики дискретных (цифровых) устройств исследуются операторным методом ( Z - преобразования) по системной (передаточной) характеристике и посредством решения разностных уравнений (РУ). Формирование РУ линейных цифровых систем и цепей реализуется преобразованием системной характеристики путем замены оператора z оператором сдвига E . Для решения РУ использованы аналоги универсальных методов интегрирования ОДУ (Лагранжа и Коши), пригодные для решения разностных уравнений с постоянными и переменными коэффициентами.

Рассмотрены вопросы определения начальных условий разностных уравнений на основе дискретного аналога теоремы операционного исчисления о начальном значении решетчатой функции и переход от РУ n - го порядка к системе n разностных уравнений первого порядка. Рассмотрен матричный вариант метода Коши решения систем РУ с использованием степенной функции от матрицы коэффициентов.

Разностные уравнения являются дискретным (конечно-разностным) аналогом обыкновенных дифференциальных уравнений. При записи РУ вместо оператора дифференцирования используется оператор сдвига (упреждения или задержки на период дискретной последовательности) либо разностный оператор. Соответственно, вместо оператора интегрирования в данном случае используется обратный разностный оператор. Обратный разностный оператор раскрывается суммой функциональной последовательности, которая представляется суммой геометрической либо арифметической прогрессий, либо суммой факториального многочлена.

Рабочая программа дисциплины ПММР для студентов очной формы обучения наряду с лекциями предполагает практические занятия, цикл лабораторных работ. В первые годы введения дисциплины рабочие программы содержали и курсовую работу по исследованию передаточных и переходных характеристик функциональных звеньев на основе идеальных ОУ.

Изложение теоретического материала сопровождается большим числом подробно разобранных примеров, призванных иллюстрировать наиболее важные ситуации анализа.

Практические занятия кроме лекционного материала затрагивают дополнительный круг вопросов, связанный с построением типовых схем на основе ОУ, моделями идеальных ОУ, особенностями анализа функциональных звеньев на основе идеальных ОУ.

7

Лабораторные работы выполняются в функциональной среде системы для инженерных и научных расчетов MatLab либо SciLab и предполагают знакомство: с элементами программирования; многополюсным представлением электронных схем; преобразованием систем параметров; переходом от многополюсника к четырехполюснику общего вида; методами исследования передаточных и переходных характеристик простых аналоговых и дискретных цепей и их графическим представлением; исследованием связи частотных характеристик и переходного процесса при гармоническом воздействии на основе анализа реакций цепей на гармонический и амплитудно-модулированный сигналы.

Курсовая работа проводилась в счет часов самостоятельной работы студентов и включала в себя аналитическое исследование характеристик предложенной схемы функционального модуля на основе идеального ОУ: передаточной – на основе метода узловых потенциалов; переходной – тремя методами – операторным, Лагранжа и Коши. Результаты аналитического исследования иллюстрировались с использованием функциональной среды системы для инженерных и научных расчетов MatLab. С целью дополнительной проверки результатов исследований производился расчет частотной и переходной характеристик на основе принципиальной схемы функционального звена в среде пакета схемотехнического моделирования

Electronics Work Bench (EWB).

Полный набор учебно-методического обеспечения по дисциплине ПММР включает: учебное пособие по теоретической части; методическое пособие для практических занятий; методическое пособие по лабораторным работам; методическое руководство по лабораторным работам; методические указания по курсовой работе; справочное пособие по функциональной среде системы MatLab (приложение к лабораторному циклу и курсовой работе); дополнительное пособие по схемным решениям на основе идеальных ОУ (приложение для практических занятий).

Предлагаемое учебное пособие, предназначенное для студентов очной и дистанционной формы обучения, является составной частью учебнометодического обеспечения дисциплины ПММР.

Таким образом, рассматриваемый круг приложений математического аппарата к задачам радиотехники, электроники и связи должен адаптировать студентов к восприятию материала специальных дисциплин и привить навыки математической интерпретации радиотехнических задач.

Излагаемый материал, по нашему мнению, может быть полезен студентам других специальностей радиотехнического и связного профиля, включая такие направления как связь, телекоммуникации, промышленная электроника и другие.

			8
		СОДЕРЖАНИЕ
Введение					9
1 Описание сигналов и цепей в радиотехнике					25
1.1	Общие сведения о радиотехнических сигналах				25
1.2	Радиотехнические цепи, устройства и системы				26
1.3	Элементы теории графов				28
1.4	Топологическое обоснование метода узловых потенциалов				33
1.5	Многополюсный подход к узловому методу				36
1.6	Расчет передаточных характеристик узловым методом				40
2 Аналитическое		определение	временных характеристик
аналоговых устройств и систем					47
2.1	Основные понятия и определения				47
2.2	Элементы методики исследования временных характеристик				53
2.3	Иллюстрация	методики	исследования	временных
	характеристик				55
2.4	Функциональные модели аналоговых систем				72
3 Обыкновенные		дифференциальные уравнения. Методы
интегрирования					77
3.1	Основные понятия и определения				77
3.2	Методы интегрирования дифференциальных уравнений				78
3.3	Элементы общей теории обыкновенных линейных
	дифференциальных уравнений				89
3.4	Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
	Методы интегрирования				99
3.5	Переход от дифференциального уравнения n-го порядка к
	системе n дифференциальных уравнений первого порядка				112
3.6	Собственные вектора и собственные значения матриц.
	Понятие аналитической функции от матричного аргумента				115
3.7	Нормальная система дифференциальных уравнений с
	постоянными коэффициентами				120
3.8	Иллюстрация	методики	исследования	временных

	характеристик цепей второго порядка	127
4 Определение начальных условий дифференциальных
уравнений исследуемых цепей		146
4.1	Постановка задачи	146
4.2	Методы определения начальных условий	148
4.3	Примеры определения начальных значений	152

9

ВВЕДЕНИЕ

Дисциплина «Прикладные математические методы в радиотехнике» (ПММР) предназначена для студентов младших курсов специальностей: 210402 (201200) «Средства связи с подвижными объектами», 210302 (200700) «Радиотехника», 090104 (0754 ) «Комплексная защита объектов информатизации» и других родственных специальностей радиотехнического профиля.

Дисциплина введена в учебные планы этих специальностей, как региональный компонент, решением совета университета и призвана обеспечить непрерывность математического образования, развить опыт математической формулировки и решения задач радиотехники и электроники, способствовать усвоению материала специальных дисциплин и в конечном итоге качественной подготовке инженеров в области радиотехники, связи и защиты информации.

Основная концепция дисциплины ПММР включает изложение

основных понятий и характеристик непрерывных и дискретных цепей, устройств и систем с использованием математического аппарата – векторно-матричного представления и решения систем алгебраических, дифференциальных и разностных уравнений.

Учебное пособие содержит, в частности, определения частотных и временных характеристик непрерывных (аналоговых) и дискретных (цифровых) систем, как реакций на специфические входные воздействия.

Аналоговые системы. В качестве основного метода получения передаточных (частотных) характеристик непрерывных (аналоговых) электронных схем изложен метод узловых потенциалов с позиций многополюсного подхода и векторно-матричного представления.

Связующим звеном частотного и временного представлений является

операционное исчисление, базирующееся на интегральном преобразовании Лапласа. Как известно, переходные процессы в цепях и системах при подаче на вход произвольного воздействия могут быть описаны

дифференциальными уравнениями. В учебной литературе при этом используется в основном операторный метод. Суть метода, используя прямое преобразование Лапласа, для перехода от оригиналов во времени к изображениям в частотной области, перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим уравнениям и, получив решение в области изображений, вернуться к оригиналу, используя обратное преобразование Лапласа.

В нашем подходе исходным является передаточная характеристика (функция) цепи, заданная в алгебраической дробно-рациональной форме. Для получения реакции цепи во временной области достаточно перемножить изображение входного воздействия на передаточную функцию и, получив изображение выходной реакции, с помощью обратного преобразования Лапласа, найти оригинал реакции цепи.

10

Известно, что классическое преобразование Лапласа применимо лишь в случае правильных дробно-рациональных выражений (функций), когда степень числителя ниже степени знаменателя, что соответствует физически реализуемым системам. В общем случае, когда степень числителя дробно-рациональной функции равна или превышает степень знаменателя, приходится выделять целую и дробную части. При этом оригинал целой части содержит - функцию и ее производные, которые относятся к классу обобщенных функций или распределений. Формально распространяя преобразование Лапласа на обобщенные функции, мы переходим к операторной алгебре, предложенной в свое время Я. Микусинским и Л. Шварцом.

Как альтернатива операторного метода, в нашем пособии рассмотрены также аналитические методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, без перехода в область изображений. При этом привлекается и иллюстрируется не менее плодотворный математический аппарат теории обыкновенных дифференциальных уравнений, недостаточно освещенный в современных учебниках по радиотехнике и электронике.

Для перехода от передаточных функций к дифференциальным уравнениям, с целью исследования реакции цепей во временной области, можно воспользоваться заменой оператора Лапласа p , оператором

дифференцирования d / dt , в предположении нулевых начальных условий. Истинные начальные условия в этом случае учитываются при интегрировании дифференциальных уравнений и определении частных решений. В качестве независимых условий, при определении частных решений дифференциальных уравнений, в нашем случае используются

начальные условия.

Определение начальных условий для цепей общего вида является отдельной, не совсем тривиальной задачей. В нашем пособии предлагается воспользоваться дробно-рациональным выражением передаточной функции и предельной теоремой операционного исчисления о начальном значении функции оригинала. В том случае, когда дробно-рациональное выражение передаточной функции соответствует неправильной дроби приходится прибегать к операторной алгебре и начальные условия будут содержать - функцию и ее производные. Необходимое число начальных условий совпадает с порядком дифференциального уравнения либо порядком системы дифференциальных уравнений первого порядка.

Сложные цепи описываются дифференциальными уравнениями высоких порядков и часто целесообразно, используя замену переменных,

перейти от дифференциального уравнения n - го порядка к n дифференциальным уравнениям первого порядка. При этом удается воспользоваться векторно-матричной символикой и представить решение в компактном виде.