Спектры и анализ

Режим однополосной модуляции может быть реализован несколькими путями: фильтровым, фазовым и комбинированным (фазово – фильтровым) способами. Поскольку подробный анализ технических способов модуляции не входит в задачи настоящей книги, рассмотрим простейший из упомянутых способов – фильтровый. На рис. 6.8 изображена блок – схема однополосного модулятора, реализующего фильтровой метод формирования сигнала.

Здесь сигнал, создаваемый датчиком информации (микрофон) и обладающий полосой частот ∆ω , после усиления поступает на балансный модулятор БМ одновременно с сигналом несущей частоты ω0 от задающего генератора ЗГ. Эпюры спектров сигналов с выхода усилителя низкой частоты и задающего генератора показаны на рис. 6.9а. На выходе балансного модулятора имеет место двухполосный сигнал с подавленной несущей (рис.6.9б). Обычно несущее колебание не может быть подавлено идеально, и на выходе БМ имеет место неподавленный остаток этого колебания.

S (ω) SНЧ (ω)
						ω		ω
	∆ω		SНЧ (ω) a)
				SНБП (ω)0			SВБП (ω)
						ω0		ω
			б)
					2∆ω

SВБП (ω)

в) ω

Рис. 6.9. Эпюры спектра сигнала в процессе формирования однополосного сигнала

Полосовой фильтр ПФ с хорошим коэффициентом прямоугольности частотной характеристики (кварцевый, электромеханический, пьезокристаллический) выделяет необходимую полосу частот (верхнюю или ниж-

252

нюю) и обеспечивает подавление остатка несущего колебания. При этом ширина полосы частот сигнала на выходе ПФ (точка 3, рис 6.9в) идентична ширине полосы частот на выходе датчика информации. В случае, изображенном на рис 6.9в, выделяется верхняя боковая полоса.

Поскольку фильтры с хорошим коэффициентом прямоугольности зачастую не могут быть технически реализованы на частотах выше чем 10÷20 МГц, то перенос спектра однополосного колебания на рабочую частоту должен быть произведен с использованием дополнительной операции балансной модуляции и фильтрации. При этом на вход дополнитель-

ного балансного модулятора БМ2 подаются колебания UОБП (t) , сформиро-

ванные на частоте ω0 и колебания дополнительного гетеродина, частота которого определяется какωГ =ωР −ω0 , где ωР - рабочая частота. На выхо-

де БМ2 формируются две боковые полосы, верхняя из которых, соответствующая рабочей частоте, выделяется обычным полосовым фильтром. Сигнал после выделения подлежит усилению.

В заключение подраздела отметим, что однополосная модуляция, так же как и балансная, представляет собой смешанную амплитудно-фазовую модуляцию.

6.3. Угловая модуляция радиосигналов и её виды

6.3.1. Виды угловой модуляции

Рассмотрим модулированные радиосигналы, в которых передаваемое сообщение S(t) изменяет либо частотуω0 , либо начальную фазу ϕ несуще-

го колебания x(t) = A0 cos(ω0t +ϕ) . Поскольку аргумент гармонического колебания, называемый полной (обобщенной) фазой, определяет текущее значение фазового угла, такие радиосигналы называются сигналами с уг-

253

ловой модуляцией. [1, 2, 7, 30] Предположим, что полная фаза ψ(t) связана с передаваемым сообщением S(t) зависимостью

ψ(t) =ω0t + kS(t) ,

(6.22)

где ω0 – значение частоты в отсутствие передаваемого сообщения (несу-

щая частота), k – коэффициент пропорциональности, имеющий размерность Rad/вольт. Тогда сигнал, несущий информацию, может быть записан в виде

U	ФМ	= A cos ω t +kS(t)			(6.23)
		0	0
и называется фазово-модулированным (ФМ).

При S (t )= 0 колебание (6.23) представляет собой простой гармониче-

ский сигнал. При увеличении значения S(t) полная фаза ψ(t) нарастает

во времени быстрее, чем по линейному закону, имеющему место при отсутствии модуляции. При уменьшении S(t) значений скорость нарастания полной фазы ψ(t) во времени спадает. Предельные значения фазового сдвига ФМ – сигнала относительно немодулированного гармонического сигнала называются девиацией. Различают девиацию фазы “вверх” ∆ψB = kSMAX и девиацию фазы “вниз” ∆ψH = kSMIN , когда функция S(t) меняет знак. Мгновенная угловая частота ω(t) сигнала (6.23) определяется производной полной фазы по времени

	ω(t) =	dψ(t)	,	(6.24 а)
		dt

а полная фаза, соответственно, определяется интегралом от закона изменения частоты по времени

ψ (t) = ∫t	ω(τ )dτ .	(6.24 б)
0

В случае частотной модуляции (ЧМ) сигнала x(t) =cos ψ(t) зависи-

мость частоты модулированного сигнала от времени имеет вид

254

ω(t) = 2π f0	+k1S(t) , ,	(6.25)
где k1 – коэффициент пропорциональности, имеющий		размерность

Герц/вольт. Тогда полная фаза ЧМ колебания может быть найдена с использованием выражения (6.24 б) и частотно-модулированный сигнал за-

писывается как
		t
UЧМ	(t) = A0 cos2π f0t + k ∫S (τ )dτ .			(6.26)
		0

В соответствии с выражением (6.25) ЧМ сигнал может быть характеризован девиацией угловой частоты “вверх” ∆ωB = 2πk1SMAX и девиацией угловой частоты “вниз” ∆ωH = 2πk1SMIN .

Исходя из изложенного, можно указать на принципиальное различие между ФМ и ЧМ сигналами: если фазовый сдвиг между ФМ и немодулированным колебанием пропорционален передаваемому сообщению S(t) ,

то для ЧМ сигнала этот фазовый сдвиг пропорционален интегралу от передаваемого сообщения.

6.3.2. Однотональная угловая модуляция

Рассмотрим прежде всего простейший случай так называемой однотональной частотной модуляции (ЧМ), когда модулирующим сигналом является гармоническое колебание (чистый тон) S(t) = S0 cosΩt.. Для упроще-

ния анализа предположим, что начальные фазы несущего и модулирующего сигналов равны нулю.

При однотональном модулирующем сигнале закон изменения частоты ЧМ сигнала определяется как

ω(t) = 2π [ f0 + ∆f cosΩt],

255

где ∆f = k1S0 – девиация частоты, т.е максимальное отклонение частоты от значения f0 . Используя соотношение (6.24б), найдем полную фазу ЧМ сигнала в виде

t				∆ω
ψ (t )= 2π∫[f0 + ∆f cos ∆τ]dτ =ω0t +
				Ω sin Ωt	(6.28)
0
и введем обозначение
m	=	∆ω	.		(6.29)
ЧМ		Ω

Величина mЧМ называется индексом частотной модуляции. С учетом вы-

ражений (6.28) и (6.29) ЧМ сигнал при модуляции чистым тоном можно записать как

UЧМ (t) = A0 cos[ω0t + mЧМ sin Ωt].

(6.30)

Рассмотрим теперь фазомодулированный (ФМ) сигнал для случая модуляции чистым тоном. Полная фаза ФМ сигнала изменяется по закону

ψ(t) =ω0t + kS0 cosΩt,

(6.31)

т.е. пропорционально амплитуде модулирующего сигнала. Тогда ФМ – сигнал имеет вид

UФМ (t) = A0 cos[ω0t + mФМ cosΩt] .	(6.32)
В выражении (6.32) величина
mФМ = kS0	(6.33)

характеризует максимальное отклонение фазы несущего колебания и называется индексом фазовой модуляции.

6.3.3. Некоторые особенности спектрального анализа колебаний с угловой модуляцией

Из выражений (6.30) и (6.32) следует, что общая форма колебания с угловой модуляцией имеет вид

UУМ (t) = A0 cos[ω0t +ϕ(t)].

(6.34)

256

В этом колебании передаваемое сообщение S(t) заключено в функцию фа-

зового угла ϕ(t) . Для случая фазовой модуляции функции ϕ(t) и S(t) сов-

падают по форме, отличаясь лишь постоянным коэффициентом k . Поэтому спектр передаваемого сообщения S(t) с точностью до коэффициента k совпадает со спектром функции ϕ(t) .

В случае частотной модуляции функция ϕ(t) является интегралом от передаваемого сообщения. Напомним, что преобразование Фурье интеграла

f (t) = ∫S(t)dt

является первообразной по отношению к функции S(t) . Поэтому из выра-

жения для преобразования Фурье производной

F1 S(t) = dfdt(t) = S(ω) = jωF(ω)

следует, что F(ω) = S(ω) / jω . Таким образом операция интегрирования эк-

вивалентна действию фильтра нижних частот, изменяющего амплитуды и фазы спектральных составляющих передаваемого сообщения S(t) . При этом коэффициент передачи по амплитуде уменьшается с ростом частоты.

Рассмотрим теперь некоторые общие соображения по определению спектра колебаний с угловой модуляцией, считая заданным спектр функ-

ции ϕ(t) . Преобразуем прежде всего выражение (6.34) к виду
UУМ (t) = A0 cosϕ(t)cosω0t − A0 sinϕ(t)sinω0t .	(6.35)

Выражение (6.35) представляет собой сумму двух квадратурных составляющих, модулированных по амплитуде

UC (t) = A0 cosϕ(t)cosω0t и US (t) = A0 sinϕ(t)sinω0t .

Закон амплитудной модуляции квадратурных составляющих определяется функциями cosϕ(t) и sinϕ(t) . Выше было показано, что боковые полосы,

определяющие спектр АМ сигнала, представляют собой копии спектра мо-

257

дулирующего сигнала, сдвинутые по частоте. Таким образом, для определения спектра колебания с угловой модуляцией необходимо найти спектры функций cosϕ(t) и sinϕ(t) , а затем перенести их по частоте как для случая амплитудной модуляции.

Однако спектры функций cosϕ(t) и sinϕ(t) могут существенно отли-

чаться от спектра функции ϕ(t) в силу нелинейности преобразований cos ϕ(t) и sin ϕ(t) . Таким образом, при угловой модуляции связь между спектром передаваемого сообщения и спектром модулированного колебания будет значительно сложнее, чем при амплитудной модуляции.

6.3.4. Спектральное разложение ЧМ сигнала для малых значений индекса модуляции

Рассмотрим спектральный состав ЧМ сигнала (6.30) для некоторых простейших случаев, когда значение индекса частотной модуляции невелико. Прежде всего, рассмотрим спектр ЧМ сигнала при однотональной модуляции для случая mЧМ <<1. Для этого преобразуем выражение (6.30) к виду

UЧМ (t) = A0 [cos(mЧМ sin Ωt)cosω0t −sin(mчмsin λt)sinω0t]. (6.36)

Представим функции cos(mчмsin λt) и sin(mчмsin λt) степенными рядами

	cos x =1−	x2	+	x4	−...... , sin x = x −	x3	+	x5	−......	(6.37)
		2!		4!		3!		5!

и, учитывая условие mЧМ <<1, ограничимся первыми членами разложений

(6.37): cos(mЧМ sin Ωt) ≈1; sin(mЧМ sin Ωt) ≈ mЧМ sin Ωt. Тогда
UЧМ (t) = A0 [cosω0t − mЧМ sinω0t sin Ωt].	(6.38а)
Поскольку sinαsin β = 0,5[cos(α − β) −cos(α + β)], то
UЧМ (t) = A0 cosω0t −0,5A0mчмcos(ω0 −Ω)t +0,5A0mЧМ cos(ω0 +Ω)t .	(6.38б)

258

Таким образом, при значениях индекса модуляции m <<1 спектр ЧМ сигнала содержит несущее колебание с частотой ω0 и две боковые частоты

(ω0 −Ω) и (ω0 +Ω) . Однако нижняя боковая частота имеет знак минус, что означает наличие фазового сдвига величиной 1800 . Сравнивая спектр АМ колебания при модуляции чистым тоном со спектром однотонального ЧМ колебания для случая mЧМ <<1, нетрудно видеть (см. рис. 6.10), что шири-

на спектров АМ – и ЧМ – модулированных колебаний совпадает и составляет величину 2Ω, однако имеется характерное различие, касающееся сдвига фазы нижней боковой частоты на π .

S (ω)				A0				АМ колебание
			A0m		A0m
	2				2
	ω0 −Ω			ω0	ω0 +Ω				ω
S (ω)				A0				ЧМ колебание
							A0mЧМ
	ω0 −Ω			ω0	ω0 +Ω			2	ω
	A0mЧМ
−
	2

Рис. 6.10. Спектр ЧМ колебания для случая однотональной модуляции при условии mЧМ <<1

Данный случай называется узкополосной частотной модуляцией или

NBFM (Narrow Band Frequency Modulation).

В случае если mЧМ ≈1, необходимо использовать по два члена разложе-

ния в ряд (6.37) как для функции cos(mЧМ sin Ωt) , так и для функции sin(mЧМ sin Ωt) :

cos(m	sin Ωt) ≈1−0,5m2	sin2 λt ,	(6.39а)
ЧМ	ЧМ

259

sin(mЧМ sin Ωt) ≈ mЧМ sin λt − mЧМ3

sin3 Ωt.

(6.39)

3!

Подставляя разложения (6.39) в соотношение (6.36) и учитывая, что

sin2 ωt = 0,5(1−cos 2Ωt) , sin3 Ωt =0,25(3sin Ωt −sin3Ωt) ,

после простейших тригонометрических преобразований получим

U

(t) = A

m2

t − A m

m2

t sin Ωt +

ЧМ

0

(1−

ЧМ )cosω

(1−

ЧМ

)sinω

4

0

0

чм

8

0

m2

m3

+A

ЧМ cosω t cos 2Ωt − A

ЧМ

sinω t sin3Ωt =

24

0

4

0

0

0

2

mЧМ2

= A0 (1−

mчм

)cosω0t − A0 mЧМ (1−

)cos(ω0 −Ω)t +

4

8

+A0mЧМ (1−

mЧМ2

)cos(ω0 +Ω)t + A0

m2 cos(ω0 −2Ω)t + A0

mЧМ2

cos(ω0 +2Ω)t −

8

8

8

−A

m2

−3Ω)t + A

m3

+3Ω)t.

(6.40)

ЧМ cos(ω

ЧМ

cos(ω

48

0

48

0

0

0

Из выражения (6.40) следует, что с ростом величины индекса частотной модуляции в спектре ЧМ сигнала появляются новые верхние и нижние боковые колебания, соответствующие гармоникам частоты модуляции. Таким образом, при увеличении индекса модуляции спектр ЧМ сигнала с ростом значительно усложняется и расширяется (см. рис 6.11).

	S (ω)	A0 (1−m2 / 4)
		ω0 + 2Ω
	ω0 −3Ω ω0	−Ω	ω
	ω −2Ω	ω0 ω0 +Ω ω0 +3Ω
	0

Рис. 6.11. Изменение спектра ЧМ сигнала с ростом индекса модуляции

Поскольку возникают новые составляющие спектра, то происходит перераспределение энергии между спектральными составляющими. Так, из

260

выражения (6.40) следует, что амплитуда несущего колебания уменьшается с ростом индекса модуляции на величину (1−mЧМ2 / 4) . Уменьшение энер-

гии несущего колебания соответствует энергии, отвечающей появившимся новым боковым частотам. Из (6.40) следует также, что нечетные нижние боковые частоты ЧМ колебания имеют фазовый сдвиг 1800 , что также отображено на рис. 6.11

6.3.5 Спектральное разложение ЧМ сигнала при произвольном значении индекса модуляции

Для случая однотональной частотной модуляции можно найти общее выражение для спектра ЧМ сигнала, справедливое при произвольном значении индекса модуляции mЧМ .

Нетрудно видеть, что ЧМ сигнал (6.30) и его запись (6.36), использующая квадратурные составляющие, представляет собой действительную часть комплексного аналитического сигнала A0 exp[ j(ω0t + mЧМ sin t)]Ω:

UЧМ (t) = A0 Re{exp[ jω0t + mЧМ sin Ωt]}.

(6.41)

Из теории функций Бесселя известно [31], что экспоненциальная функция exp[jmsin x], периодическая на отрезке −π ≤ x ≤π , может быть представ-

лена комплексным рядом Фурье
exp(	jmsin x)=	∞	J		(m)exp( jkx).	(6.42)
		∑		k
		k=−∞
Здесь m – произвольное вещественное число, Jk (m)						– функция Бесселя
индекса k от аргумента	m [31].

Принимая x = Ωt и используя разложение (6.42), запишем спектральное представление ЧМ сигнала (6.41) для случая произвольного значения индекса модуляции mЧМ

261