Спектры и анализ

7.3. Дискретное преобразование Фурье и его свойства

Выражение (7.10), представляющее собой математическую модель дискретного сигнала x∆ (t) , предполагает, что отсчетные значения некоторого непрерывного сигнала x(t) должны быть заданы на неограниченном ин-

тервале времени. Однако на практике обработка сигнала производится на

конечном интервале времени и задать сигнал на неограниченном интерва-

ле невозможно. Таким образом, для обработки и анализа доступен дис-

кретный сигнал, который задан на отрезке времени [0, t] своими отсчета-

ми x0 , x1, x2 , ....., xn−1 , взятыми в моменты времени 0, ∆, 2∆, ....., (n −1)∆. Полное число отчетов N = t / ∆, а интервал ∆ =1/ 2 fВ , как и ранее, опреде-

ляются в соответствии с теоремой отсчетов.

Набор этих отсчетов (вещественных или комплексных), является един-

ственным источникам информации о спектральных свойствах сигнала x(t) . Проделаем, как и в гл. 5 , мысленную операцию периодического про-

должения имеющейся выборки отсчетных значений. В результате сигнал

становится периодическим с периодом T = N∆ (см. рис . 7.3).

X (k∆)

0 1 2 3	k∆
	N −1

Рис. 7.3. Периодическое продолжение выборки отсчетных значений.

Сопоставляя данному сигналу подходящую математическую модель, можно разложить его в комплексный ряд Фурье и найти соответствующие

коэффициенты разложения, совокупность которых и представляет собой

спектр дискретного периодического сигнала [1, 36].

302

Воспользуемся моделью (7.10), изменив соответствующие пределы суммирования для сопоставления исходному сигналу x(t) его дискретного представления

N −1
x∆ (t) = ∑xkδ(t −k∆).	(7.11)

k=0

Представим периодический дискретный сигнал (7.11) комплексным рядом

Фурье

				∞
	x∆ (t) = ∑C&n exp( j2πnt /T ),				(7.12)
			n=−∞
	где величины
		1	T	x∆(t)exp(− j2πnt /T )dt
	C&n =		∫0		(7.13)
		N∆

являются коэффициентами ряда Фурье (7.12).

Подставим выражение (7.11) в (7.13) и поменяем местами операции ин-

тегрирования и суммирования

					1			N∆ n−1
C&n	=								∑xkδ(t −k∆)exp(− j2πnt /T )dt =
				N∆ ∫0 k =0
			1				N −1		N∆
=							∑xk ∫δ(t −k∆)exp(− j2πnt /T )dt.
		N∆ k =0							0

Введем в последнем выражении замену переменных вида ξ = t / ∆.Тогда

	t = ∆ξ , dt = ∆dξ ,	а верхний предел интеграла, равный T = N∆,				примет
	вид ξ =T / ∆ = N∆/ ∆ = N . Таким образом, получим
			1	N −1	N
	C&n	=		∑xk ∫δ(ξ −k)exp(− j2πnξ / N )dξ.		(7.14)
			N k=0		0

Используя фильтрующее свойство δ – функции, преобразуем выражение

(7.14) к виду

		1	N −1
	C&n =		∑xk exp(− j2πnk / N ).	(7.15)
		N k=0

303

Выражение (7.15), определяющее последовательность коэффициентов, образующих спектр периодического дискретного сигнала, называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ).

Рассмотрим некоторые свойства ДПФ.

1.Дискретное преобразование Фурье представляет собой линейное преобразование, т.е. сумме сигналов отвечает сумма их ДПФ.

2.Число коэффициентов c0 , c1, c2 ,....., cN −1 , определяемых по формуле

(7.14) равно числу отсчетов N за период T; при n = N коэффициент C&N

определяется выражением CN =C0 .

3. Коэффициент C0 , отвечающий постоянной составляющей, представляет

N −1

собой среднее значение всех отчетов C0 =(1/ N )∑xk .

k =0

4. Если N – четное число, то

N −1

C&N / 2 =(1/ N )∑xk (−1)k ,

k =0

поскольку для n = N / 2 имеет место равенство

exp(− j2πnk / N )= exp(− j2πNk / 2N )= exp(− jπk )= cosπk = (−1)k .

5. Если отчетные значения xk есть вещественные числа, то коэффициенты ДПФ, номера которых располагаются симметрично относительно N / 2 ( N – четное), образуют сопряженные пары. Докажем это, определив номера коэффициентов ДПФ, расположенных симметрично относительно N / 2 , как (N / 2) − m и (N / 2) + m . Тогда

N −1

C&( N / 2)−m =(1/ N )∑xk exp[− j2π(N / 2 −m)k / N ].

k =0

После простейших преобразований показателя экспоненты получим

N −1

C&( N / 2)−m =(1/ N )∑xk exp(− jπk )exp( j2πmk / N )=

k=0

304

C&( N / 2)−1

(7.16б)

	(−1)	k N −1
=		∑xk exp( j2πmk / N ).	(7.16а)
	N	k=0

Выполняя аналогичное преобразование для коэффициента ДПФ с номером (N / 2) + m , получим

N −1

C&( N / 2)+m =(1/ N )∑xk exp[− j2π(N / 2 + m)k / N ] =

k=0

= (−1)k ∑N −1 xk exp(− j2πmk / N ).

N k=0

Сравнивая выражения (7.16а) и (7.17б), видим что C&( N / 2)−m =C&( N / 2)+m . Та-

ким образом, коэффициенты ДПФ, номера которых расположены симметрично относительно N / 2 , образуют сопряженные пары.

Здесь необходимо напомнить (см. гл.1), что при разложении действительной периодической функции в комплексный ряд Фурье, коэффициенты для спектральных составляющих, имеющих отрицательные номера (т.е. при отрицательных частотах), были комплексно сопряжены коэффициентами Фурье, отвечающим положительным номерам (т.е. положительным частотам). Таким образом, можно считать, что коэффициенты ДПФ

, ....., C&(N / 2)−m отвечают отрицательным частотам.

Отметим теперь, что задача дискретного спектрального анализа может быть поставлена и в обратном порядке. Предположим, что заданы коэффициенты CN , составляющие ДПФ некоторого дискретного сигнала. Пола-

гая, что в выражении (7.12) время задано дискретными моментами t = k∆ и учитывая, что суммируется лишь конечное число членов ряда, отвечающее числу заданных коэффициентов ДПФ, получим выражение для вычисления отсчетных значений функции времени

N −1
xk = ∑C&n exp( j2πnk / N ).	(7.17)

k =0

305

Выражение (7.17) представляет собой алгоритм обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ). Пара выражений (7.15) и (7.17) является дискретным аналогом преобразований Фурье для непрерывных сигналов. Пример. Пусть дискретный сигнал задан на интервале периодичности шестью равностоящими отсчетами {xk } = (1, 1, 1, 0, 0, 0) . Здесь предполага-

ется, что исходный непрерывный сигнал удовлетворяет условиям теоремы отчетов. Необходимо найти коэффициенты ДПФ данного сигнала.

Используя выражение (7.15), вычислим

5

C0 =(1/ 6)∑xk =3/ 6 = 0,5;

k =0

C&

=(1/ 6) 1 +exp(− jπ / 3)+exp(

− j2π / 3) =(1/ 6)(1 − j 3);

1

C&

= 1/ 6

1 +exp

(

− j2π / 3

)

+exp

(

− j4π / 3

)

= 0;

2

(

)

C&

=(1/ 6)

1 +exp(− jπ )+exp(− j2π ) =1/ 6,

(n = N / 2).

3

Последующие коэффициенты определяются с использованием свойства 5:

C&	=C& = 0, C&		=C& =(1/ 6)(1 + j 3).
4	2	5	1

Итак, дискретный сигнал, обладающий количеством отчетов N = 6 , позволяет определить постоянную составляющую C0 , а также комплексные амплитуды первой, второй и третьей гармоник исходного непрерывного сигнала. Отсюда следует, что при любом четном числе отчетов N число определяемых гармоник равно половине числа отчетов. Действительно, верхняя частота сигнала с ограниченным спектром может быть найдена следующим образом: Поскольку интервал квантования ∆ =1/ 2 fВ , то fВ =1/(2∆) . Тогда, учитывая, что T = N∆, а ∆ =T / N , получим

fВ =1/(2∆) = N /(2T ) = (N / 2) f1 ,

где f1 =1/ T есть частота первой гармоники.

306

7.4. Дискретная свертка

Запишем известное выражение

y(t )= ∞∫ x(τ )h(t −τ )dτ

−∞

для свертки двух непрерывных функций времени, где x(τ) – сигнал на

входе линейной цепи (фильтр), h(t −τ) – импульсная реакция цепи, y(t) –

сигнал на выходе цепи. По аналогии с этим выражением можно ввести понятие дискретной свертки, т.е. операции, при которой отсчеты некоторого дискретного сигнала y∆(t) связаны с отсчетами дискретных сигна-

лов x∆ (t) и h∆(t) соотношением [1, 2, 16, 36]

		1	N −1
	ym =		∑xk hm−k , m = 0, 1, 2, .., N −1.	(7.18)
		N k =0

Дискретный характер свертки (7.18) не должен изменять ее свойств и, в частности, дискретное преобразование Фурье свертки должно быть равно произведению ДПФ свертываемых функций. Для доказательства данного утверждения представим значения отсчетов xk и hm−k обратными дис-

кретными преобразованиями Фурье от соответствующих наборов спектральных коэффициентов:

N −1

xk = ∑C&xn exp( j2πnk / N ),

n=0

N −1

hm−k = ∑C&hl exp j2πl (m −k )/ N

l=0

иподставим эти выражения в соотношение (7.18):

y	m	=	N −1 N −1C&	exp( j2πnk / N )N −1C&	exp j2πl (m −k )/ N . (7.19)
			∑∑ xn	∑ hl
			k =0 n=0	l=0

Изменим порядок суммирования по индексам l и k в выражении (7.19):

307

y	m	=	N −1 N −1C&	C&	exp( j2πlm / N )N −1 exp j2πl (n −l )k / N . (7.20)
			∑∑ xn	hl	∑
			n=0 l=0		k =0

Перед тем, как продолжить анализ выражения (7.20), сделаем некоторое отступление и рассмотрим дискретное преобразование Фурье как разложение некоторого вектора x в N – мерном ортогональном функциональном пространстве, ортами которого являются векторы

er0 ={1, 1, 1, ..., 1};

er&1 ={1,	exp[ j2π / N],	exp[ j4π / N], ...,	exp[ j2(N −1)π / N]};
er&2 ={1,	exp[ j4π / N],	exp[ j8π / N], ...,	exp[ j4(N −1)π / N]};
...............................................................................................
er&N −1 ={1, exp[ j2(N −1)π / N],		exp[ j4(N −1)π / N], ..., exp[ j2(N −1)2π / N]}.

В силу ортогональности ортов функционального пространства их ска-

лярные произведения равны нулю
r r				N −1		(		)		N, n =l,
n	l			∑
&	&		=		exp j2π		n −l		k / N =		(7.21)
e	e									0, n ≠ l.
				k =0

Напомним, что аналогичная трактовка рассматривалась и при спектральном анализе периодических функций. Используя результат (7.21), нетрудно видеть, что при n =l внутренняя сумма в выражении (7.20) дает величину N , а двойное суммирование по n и l переходит в однократное по n:

N −1
ym = ∑CxnChn exp( j2πmn / N ).	(7.22)

n=0

Соотношение (7.22) есть не что иное, как обратное дискретное преобразование Фурье над произведением коэффициентов ДПФ свертываемых сигналов. Номера коэффициентов ДПФ в их произведениях совпадают. Данное обстоятельство приводит к выводу, что коэффициенты преобразования Фурье дискретной свертки есть произведения коэффициентов ДПФ свертываемых сигналов совпадающих номеров:

308

Cyk =CxkChk , k =0, 1, 2, ..., N −1.

(7.23)

Выражение (7.18) для дискретной свертки описывает процесс преобразования дискретного сигнала цифровым фильтром, функционирование которого будет описано ниже. При этом фильтрация сигнала реализуется во временной области. Однако если дискретный сигнал представляет собой достаточно длинную выборку (несколько тысяч отсчетов), то вместо вычислений дискретной свертки целесообразно произвести ДПФ входного сигнала, умножить его на ДПФ импульсной реакции (т.е. на частотную характеристику в дискретном виде) и найти ОДПФ от полученного результата. Эта операция может быть более экономична, чем прямое вычисление дискретной свертки.

7.5. Дискретное преобразование Лапласа и z – преобразование

При анализе и синтезе дискретных цифровых устройств широко используется так называемое z - преобразование []1, 15, 36]. Это преобразование имеет такое же значение по отношению к дискретным сигналам, как интегральные преобразования Фурье и Лапласа по отношению к непрерывным функциям. Наиболее ясным представляется пусть изложения теории z –

преобразования, использующий переход от преобразования Лапласа через дискретное преобразование Лапласа к z – преобразованию.

7.5.1.Дискретное преобразование Лапласа

Вгл. 3 преобразование Лапласа было использовано для анализа непрерывных функций. Однако, как это было изложено в гл. 5 и в настоящей главе, в реальной действительности зачастую вместо непрерывной функ-

309

ции времени x(t ) задается дискретная последовательность значений xn

n =(0, 1, 2, ...)определенных в момент времени t = 0, 1, 2, ...

Если эту дискретную последовательность xn заменить некоторой сту-

пенчатой функцией x0 (t ), которая задана условиями

x0 (t )= xn

при n ≤t < n +1 (n = 0, 1, 2, ...)

(см. рис. 7.4), то к данной ступенчатой функции может быть применено преобразование Лапласа [15].

x		x				xn+1
n
	1					xn+2
x0				x2	xn
0	1		2		n	n +1 n +2	n

Рис. 7.4. Представление дискретной последовательности ступенчатой функцией

Поскольку функция x0 (t) кусочно-постоянна, то ее преобразование Ла-

пласа можно найти следующим образом:

L{x0		∞	n+1			∞		1	n+1
		(t)}=∑	∫ xn exp (−st )dt =			∑xn −		s	exp (−st )	=
		n=0	n			n=0			n
∞									∞
= ∑xn	exp(−ns)−exp[−(n +1)s]				=1−exp[−s]				∑xn exp(−ns). (7.24)
n=0			s				s		n=0

Каждый раз при составлении некоторой ступенчатой функции и выполнении над ней преобразований Лапласа появляется множитель

1 −exp(−s) / s и запись типа (7.24) можно упростить, опуская этот мно-

житель. Тогда в правой части выражения (7.24) останется только сумма

310

[1, 15].

D{...}

∞

∑xn exp(−ns),

n=0

представляющая собой результат преобразования конкретной последовательности xn . Обозначим это преобразование символом и назовем его дискретным преобразованием Лапласа. Итак

∞
∑xn exp[−ns] ≡ D{xn}.	(7.25)
n=0
Как указывалось выше, последовательность	xn , выделенная из непре-

рывной функции x(t) может рассматриваться как результат действия на-

бора δ – функций δ(t −n∆) , извлекающих (в силу фильтрующего свойства

δ – функции) из функции x(t)	ее значения xn	в моменты времени t =n∆.
	∞
Можно сказать, что решетчатая функция ∑δ(t −n∆) модулируется по ам-
	n=0
плитуде функцией x(t) , в результате чего получается соотношение
∞	∞
x(t)∑δ(t	−n∆) = ∑xnδ(t	−n∆) .
n=0	n=0

Таким образом, задачи, возникающие в связи с анализом дискретных последовательностей, могут быть рассмотрены либо с использованием преобразования Лапласа применительно к соответствующим ступенчатым функциям, либо более коротким путем и использованием дискретного преобразования Лапласа самих последовательностей.

7.5.2. Z – преобразование и его основные свойства

Сделать анализ дискретных последовательностей еще более простым можно, если заменить переменную s новой переменной z с использованием подстановки exp(s) = z Тогда ряд (7.25) переходит в степенной ряд вида

311