Введение в оптическую физику

		31
	¶H ,	(3.16)
rot E = -m
	¶t
div D = 0 ,		(3.17)
div B = 0 .		(3.18)

Первые два уравнения в данном случае образует замкнутую систему, причем

одну из величин, характеризующих поле, можно отсюда исключить. Как это сделать?

Применим к уравнению (3.16) операцию rot, и используем уравнение (3.15):

			∂
rotrot E = -m					rot H ,
			¶t
	+ me	¶	2	E = 0 .		(3.19)
rotrot E
		¶t 2

Используя далее соотношение rot rot = grad div- Ñ2 , и уравнение (3.17), получаем

2		¶2 E	= 0 .	(3.20)
Ñ	E - me	¶t 2

Аналогично можно найти уравнение и для H :

2		¶2 H	= 0 .	(3.21)
Ñ	H - me	¶t2

Данные уравнения называются волновыми, как и уравнение (3.19), которое является более общим, чем уравнения (3.20) и (3.21), и справедливым также для анизотропной среды, где условие div E = 0 выполняется не всегда.

3.5. Одномерное волновое уравнение

Рассмотрим среду, в которой поле зависит только от координаты z. Из (3.20)

получаем одномерное волновое уравнение:

¶2 E - em	¶2 E = 0 .	(3.22)
¶z2	¶t 2
Отметим, что в данном случае из (3.17) получается уравнение,
∂Ez = 0 ,
¶z
откуда следует	Ez = const .	Такие решения нас не интересуют, и можно положить
Ez = 0 . То есть вектор E		колеблется в плоскости, перпендикулярной направлению

распространения, и может быть представлен в виде:

32
E = e × Et ,		(3.23)
где e - единичный вектор в плоскости xy,	Et =		. Перепишем уравнение (3.22) с
		E

учетом (3.23)

¶2 Et ¶z2

в виде скалярного одномерного волнового уравнения:

- em ¶2 Et = 0 . (3.24)

¶t2

3.6. Плоские скалярные волны

Общее решение уравнения (3.24) представляет плоскую скалярную волну вида

	(z, t ) = Et1		z				z
Et		t -			+ Et 2	t +		,	(3.25)
			v				v

где v = 1 me - скорость распространения волны вдоль оси z. Как представить себе такую волну? Предположим, что при z = 0 мы имеем источник поля, напряженность которого изменяется по закону E1 (t ), в общем случае произвольному. Тогда в области z

> 0 имеем

		z
Et	(r, t ) = Et t -		,	(3.26)
		v

поскольку граничное условие (3.15) требует непрерывности тангенциальных компонент

вектора E .

Это

формальная

сторона.

А физическая? Мы имеем при z > 0

распространение

сигнала вдоль

оси z.

Скорость распространения определяется

соотношением

v =

1

1

=

c

.

(3.27)

μ0ε0

μr εr

n

Здесь c = 1

− скорость света в вакууме, n − показатель преломления среды.

μ0ε0

3.7. Гармонические волны

Рассмотрим сигнал, заданный при z = 0 в виде:

E (t ) = Em cos (wt + y) =	Em	{exp i (wt + y)		+ exp -i (wt + y) } .		(3.28)
2

33

Ему будут соответствовать гармонические плоские волны

	w		при z ³ 0,
E(z, t) = Em cos wt -	v	z + y ,
E(z, t) = Em cos wt + w z + y , при z ≤ 0,				(3.29)
	v

распространяющиеся вдоль направлений + z и −z .

Мгновенное значение E(z,t ) электрического поля в каждый момент времени и в

каждой точке пространства определяется амплитудой Em плоской волны и фазой

	j( z, t ) = wt kz + y .			(3.30)
Если	Em не зависит от координат x, y, то волна будет однородной. Здесь через k = ω
				v
мы обозначаем волновое число,
	k = ω = w me .			(3.31)
	v
Геометрическое место точек, в которых фаза волны остается постоянной
E		ϕ = ωt kz + ψ = const ,		(3.32)
		называют фазовым	или	волновым
		фронтом. Для некоторого момента времени t'
		фазовый фронт рассматриваемой нами волны
	z	является плоскостью, перпендикулярной оси
		z. При изменении времени	на	Dt фазовый

λфронт волны сдвигается в пространстве на

		расстояние Dz. Отношение	z = ω = v
Рис. 3.1. Поле гармонической волны			Dt k

определяет фазовую скорость волны -

скорость движения фазового фронта в пространстве, в данном случае вдоль оси z. Как изменяется поле плоской гармонической волны в фиксированный момент времени в пространстве? Очевидно, по косинусоидальному закону (рис. 3.1). Периодичность изменения поля в пространстве задается волновым числом k. Изменение фазы волны в пространстве на 2p соответствует прохождению волной расстояния l: Δϕ = 2π = kλ .

Отсюда получаем соотношения:

	k =	2π	,	(3.33)
		l

¶2 Et ¶t 2

34

l =

2π

=

2πv

=

v

=

1

=

c

,

(3.34)

w

k

f

f me

fn

где f – частота волны (в Гц).

3.8. Плоская волна, распространяющаяся в произвольном

направлении

Мы рассматривали выше волну, распространяющуюся вдоль оси z. Для волны в произвольном направлении необходимо использование более общего волнового уравнения

Ñ2 E - me					¶2 E				= 0,
								t
		t				¶t2
		2	2					¶	2
		¶	+	¶			+			Et	- me
		2		¶y	2				2
¶x								¶z
Запишем		сразу					гармоническую
уравнению

(3.35)

= 0.

плоскую волну, которая удовлетворяет данному

	× r ) .
Et (r , t ) = Em cos (wt - k		(3.36)

Здесь мы для простоты считаем начальную фазу колебаний равной нулю (y0 = 0) и

вводим волновой вектор

k = n ω = nw me = ω (inx

+ jny

+ k 0 nz ) ,

(3.37)

v

v

где n – единичный вектор волновой нормали.

Подставим выражение для E

(r , t ) в

t

(3.35):

w2

(n2

+ n2

+ n2 ) E - mew2 E = 0,

v2

x

y

z t

t

w2

- mew2

E = 0; (k 2 - mew2 ) E = 0;

(3.38)

2

t

t

v

1

- me Et

= 0.

2

v

Из (3.38) следует, что для Et ¹ 0 должно быть:

k 2

= mew2 .

(3.39)

Зависимость k(ω ) называется дисперсионной зависимостью, а уравнение

k (w) = 0 ,

(3.40)

дисперсионным уравнением. В данном случае монохроматических волн имеем:

35

	2	2		2	w2
k		- mew	= 0; k		- mr er c2 = 0,
k = n w.					(3.41)

c

В общем случае показатель преломления зависит от частоты (явление

дисперсии), что необходимо учесть в соотношении для волнового числа:
k (w) = n (w) ω .	(3.42)
c

3.9. Электромагнитные плоские волны

В общем случае решение для плоской монохроматической однородной волны имеет вид

Em

E (r , t ) = Em cos

(wt - k × r + y0 ) =

{exp i (wt - k

× r + y0 )

+

2

× r + y0 ) } =

(3.43)

+ exp -i (wt - k

1

Eɺm exp i (wt - k

× r )

+ c.c.,

2

exp (iy

) ,

а c.c. означает комплексно-сопряженную функцию к первому

где Eɺ

= E

0

m

m

слагаемому. Нетрудно заметить, что функции

+ y0 )

exp ±i (wt - k ×r

также являются

решениями волнового уравнения. Величина

ɺ

Em –

комплексная векторная амплитуда

волны. Поскольку работать с экспонентами очень удобно, то принято пользоваться

понятием комплексной формы записи для гармонических плоских волн
			×r )
Eɺ	(r , t ) = Eɺm exp i (wt - k			,	(3.44)

опуская множитель 1/2 и комплексно-сопряженное слагаемое. Нужно понимать, что

это выражение справедливо только формально. Истинное значение электрического поля будет определяться выражением

			× r ) } .
E (r , t ) = Re{Eɺm exp i (wt - k				(3.45)

Во многих случаях, когда мы имеем дело с линейными функциями от E , этот подход дает одинаковые результаты с подходом, при котором используются тригонометрические функции. Исключение составляют случаи, когда необходимо вычислить произведения или степени – например, при расчетах интенсивности или вектора Пойнтинга.

« iw.

36

В чем же достоинство комплексного метода? Найдем производную по времени от напряженности поля плоской гармонической волны:

¶∂t {Eɺm exp i (wt - k × r ) } = iwEɺm exp i (wt - k × r ) .

Таким образом, операции дифференцирования по t соответствует умножение на iw:

∂

¶t

(3.46)

Нетрудно показать, что действие оператором Ñ на Eɺ(r ,t ) аналогично действию на нее

оператором - ik :

				(3.47)
Ñ × Eɺ = -ik × Eɺ = div Eɺ ,
				(3.48)
Ñ´ Eɺ	= -ik	´ Eɺ	= rot Eɺ .

С учетом записанных соотношений представим уравнения Максвелла, которые мы применяли при описании волновых процессов в изотропной непроводящей среде в отсутствие сторонних токов и зарядов, в новой форме

rot H = dcompl ,				¶D		- k ´ H = wD,
		Ñ´ H =		¶t	,
	¶B ,					+ k ´ E		= +wB,
rot E = -
	∂ t	® Ñ´ E	= - ¶B ,			® - ik × D		= 0,
div D = r,				¶t
						- ik × B = 0.
		Ñ × D = 0,
div B = 0.
		Ñ × B = 0.
Общий вариант		Уравнения Максвелла				Уравнения Максвелла
уравнений Максвелла		в операторной				для плоских гармонических
		форме для σ = 0 ,				волн ( σ = 0 , ρ = 0 ,
		ρ = 0 , dextr			= 0		dextr = 0 )
C учетом материальных уравнений (3.5) и (3.6)
D = eE , B = mH ,
из последней системы получаем:
k ´ H = -weE ,								(3.49)
k ´ E = wmH ,								(3.50)
k × E = 0 ,								(3.51)
k × H = 0.								(3.52)

37

Отсюда следуют важные выводы о структуре полей в плоской электромагнитной волне:

1. Из первого уравнения – E ^ k и E ^ H .

2.Из второго – H ^ k , H ^ E , векторы E , H и k образуют правую систему координат.

3.Третье и четвертое уравнения также свидетельствуют о поперечности полей

E и H .

4.

k ´ H

= w meHm = weEm (

k

´ H

=

k

×

H

sin (k ^ H )),

Hm =

Em

=

Em

.

(3.53)

m e

W

W =

имеет

Величина

m e

размерность [Ом] и называется волновым

сопротивлением среды. Напомним, что размерность H –

А/м; E – В/м.

Для вакуума

получаем:

= 120p Ом.

W =

m0

(3.54)

0

e0

Итак, векторы E , H и k

в плоской

E

волне можно изобразить так для

фиксированного момента времени t (рис.

k

3.2). В общем случае в зависимости от

H

вида поляризации (линейная, круговая,

Рис. 3.2. Ориентация векторов в

эллиптическая) векторы E

и H могут

плоской электромагнитной волне	синхронно изменять свое положение.

3.10. Поляризация плоских электромагнитных волн

Поле с векторами E и H , направление которых может быть определено в любой момент времени, называют поляризованным. При случайных направлениях E и H в пространстве поле является неполяризованным (солнечный свет и т.д.).

Плоскость поляризации проходит через вектор E и направление распространения волны. Различают линейную, эллиптическую и круговую (правую и левую) поляризации - в зависимости от фигуры, которую описывает конец вектора E

38

при распространении волны. Математически волну с произвольным видом

поляризации представляют в виде двух составляющих
Ex	= iE1m cos (ωt − kz ) ,	(3.55)
Ey	= jE2m cos (ωt − kz − ϕ),

сдвинутых по фазе и имеющих различные амплитуды в общем случае. Для плоскости z=0 имеем

E

x

= cos

ωt,

Ey

= cos ωt cos ϕ + sin ωt sin ϕ ,

(3.56)

E1m

E2m

откуда получаем

E

2

+

Ey2

− 2

Ex Ey

cos ϕ = sin2 ϕ .

(3.57)

x

E 2

E 2

E

E

2m

1m

2m

1m

Если учесть, что Ex ~ x ,

E y ~ y , то (3.57) представляет уравнение эллипса. То

~ cos ωt ,

E = iE

+ jE

есть, поскольку E

x

конец вектора

x

y

,

E

=

E 2

+ E 2

будет

x

y

описывать эллиптическую траекторию за время

T = 2π ω .

Рассмотрим характерные

виды поляризации.

y

1.

ϕ = 0 ,

E

x

−

Ey

= 0 ,

E

E1m

E2 m

E y

Ey =

E2m

Ex .

E1m

x

Это

уравнение

прямой,

E x

наклон которой к оси OX

определяется

отношением

Рис. 3.3. Ориентация вектора поляризации в

E2m

E1m .

Действительно,

плоской электромагнитной волне

при

синфазном

изменении

Ex

и Ey ~ cos ωt синхронно

изменяется и результирующий вектор E . Легко видеть,

что такая же по типу линейная

поляризация имеет место и при ϕ = nπ (n= 0, ±1, ±2,…).

2. ϕ = ±

π

,

E2

+

Ey2

= 1 .

x

2

E

2

E2

1m

2m

Это каноническое уравнение эллипса с большой и малой полуосями,

ориентированными точно по осям x и y. Направление вращения вектора E

39

определяется знаком j. Для j = - p2 какое будет вращение, левое или правое? –

Правое.

3. В каком случае мы будем иметь круговую поляризацию? j = ± p2 , E1m = E2m .

3.11. Закон сохранения энергии для электромагнитного поля.

Вектор Пойнтинга

Как известно, в объеме V сосредоточен запас энергии электромагнитного поля

		E × D		H × B
	W = ∫		+		dV
		2		2
	V

	eE	2	+ mH	2
= ∫					dV .	(3.58)
V	2		2

Рассмотрим изменение энергии W во времени. Для этого перепишем уравнения

Максвелла в виде

		∂ E ,
rot H = dcond + e
		¶t
	¶H ,
rot E = -m
	¶t

считая токи переноса и сторонние токи отсутствующими. Домножим первое уравнение

на E , а второе –		на H скалярно и вычтем полученные результаты:
				¶E		¶H			(3.59)
E × rot H - H × rot E = eE ×				¶t	+ mH ×	¶t	+ dcond	× E .

Учитывая соотношения

1 ¶

1

¶

E

×

¶E =

(E 2 ) =

(E 2 ),

2 ¶t

¶t

2 ¶t

1

¶

1

¶

H ×

¶H =

(H 2 ) =

(H 2 ),

¶t

2 ¶t

2 ¶t

E

× rot H

- H

× rot E = - div E

´ H

,

и интегрируя (3.59) по объему, получаем

d eE2

mH 2

= -

∫

+

dV - ∫ (dcond × E)dV .

(3.60)

∫(div E ´ H

)dV

dt

2

2

V

V

V

Используя теорему Остроградского-Гаусса

∫ div AdV

= ∫ A × dS ,

V

S

и вводя вектор

P = [E ´ H ],

(3.61)

40

получаем

d

eE

2

+ mH

2

-

∫

dV = ∫

P × dS

+ ∫ (dcond

× E)dV .

(3.62)

dt

2

V

2

S

V

Уравнение (3.62) выражает закон сохранения энергии в электромагнитном поле.

Левая часть – полное изменение электромагнитной энергии в объеме V во времени.

Первый член в правой части – поток вектора Пойнтинга через поверхность,

ограничивающую объем V ( P – плотность потока энергии через поверхность S в

единицу времени). Второй член в правой части (3.62) – количество тепла,

выделяющегося в проводящих частях объема V в единицу времени.

3.12. Усреднение по времени энергетических характеристик поля

Измерительные приборы, так же как и человеческий глаз, не могут воспринимать происходящие с большой частотой колебания электрического и магнитного поля световых волн. Все средства измерений производят операции усреднения по конечному интервалу времени Δτ и по конечному объему пространства

V . Будем полагать, что в пределах данного объема V измеряемая величина A(r , t)

изменяется незначительно, и достаточно проводить усреднение только по времени,

равному периоду колебаний T . В этом случае среднее за период колебания значение

физической величины в точке с координатами r = r				определяется, как
			0
	1	T
< A(r , t) >=	T	∫	A(r , t)dt .	(3.63)
0			0
		0

Легко показать, что для периодических (в том числе гармонических) колебаний напряженности электрического поля, определяемых, например, соотношением (5.43),

среднее значение равно нулю, < E(r , t) >= 0 . Однако измерительные приборы реагируют не на само поле, а на его энергетические характеристики – при каждом акте измерения должно поглощаться дискретное количество фотонов, каждый из которых имеет

энергию ω , где =1.05×10-34 Дж×с – постоянная Планка. Найдем среднее значение

плотности электрической энергии в электромагнитном поле, в случае его изменения во

времени по гармоническому закону ( E(r , t) = E

m

(r ) cos(wt + y) ):

E × E

e

T

2p

2

WE

= e

=

∫(Em

× Em )cos2 (

t + y)dt = eEm ,

(3.64)

2T

2

0

T

4