31

6. Модель производственной программы фирмы методом теории игр

Теория игр — математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует не-

которую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимо-

сти от поведения других игроков.

Игра образуется игроками, набором стратегий для каждого игрока и указания выиг-

рышей, или платежей, игроков для каждой комбинации стратегий.

Чистая стратегия даёт полную определённость каким образом игрок продолжит игру. В частности, она определяет результат для каждого возможного выбора, кото-

рый игроку может придётся сделать.

Смешанная стратегия — является указанием вероятности каждой чистой стратегии.

Это означает, что игрок выбирает каждую из чистых стратегий, в соответствии с ве-

роятностями заданными смешанной стратегией. Выбор осуществляется перед нача-

лом каждой игры и не меняется до её конца. Каждая чистая стратегия является част-

ным случаем смешанной.

Задача.

Предприятие выпускает обогреватели и кондиционеры, сбыт которых зависит от погоды. В теплую погоду предприятие реализует 1000 обогревателей и 6 000 кон-

диционеров; в холодную погоду – 4 000 обогревателей и 1 200 кондиционеров. Себе-

стоимость обогревателя – 8 уде/шт; кондиционера – 5 уде/шт. Цена обогревателя 12

уде/шт. Цена кондиционера – 8 уде/шт. Излишки продукции продаются по себестои-

мости. На реализацию всей продукции расходуется 0,5 уде/шт.

Определить оптимальную стратегию предприятия по выпуску продукции, обес-

печивающую при любой погоде наибольшую прибыль.

Себест.

Цена

Хол. погода

Тепл. погода

			32
Обогр.	8	12		4000	1000
Конд.	5	8		1200	6000

Решение:

Предприятие в этих условиях обладает двумя чистыми стратегиями: стратегия А с расчетом на теплую погоду и стратегию Б с расчетом на холодную погоду. При-

рода – второй игрок – обладает также двумя стратегиями: стратегия В – теплая погода,

стратегия Г – холодная погода.

Если предприятие выберет стратегию А, то в случает теплой погоды (стратегия природы В) прибыль составит:

1 000 (12-8)+6 000 (8-5)- 3 500 = 18 500 уде.

А в случае холодной погоды (стратеги природы Г):

1 000 (12-8)+1 200 (8-5)+(6 000-1 200) (5-5)-3 500=4 100 уде.

Если предприятие выберет стратегию Б, то в случае теплой погоды (стратегия при-

роды В) прибыль составит:

1 000 (12-8)+1 200 (8-5)+(4 000 – 1 000) (8-8)- 2 600 = 5 000 уде.

А в случае холодной погоды (стратегия природы Г):

4 000 (12-8)+1 200 (8-5)- 2 600 = 17 000 уде.

Следовательно, платежная матрица данной игры:

	В	Г
А	18 500	4 100
Б	5 000	17 000

В условиях неопределенности природы наибольший доход предприятие обеспе-

чит, если будет применять смешанную стратегию.

Оптимизация смешанной стратегии позволит предприятию всегда получать

среднее значение выигрыша независимо от стратегии природы.

Пусть х – частота применения первым игроком стратегии А, (1-х) – частота при-

менения стратегии Б. В случае оптимальной смешанной стратегии предприятие по-

лучит и при стратегии В (теплая погода), и при стратегии Г (холодная погода) второго игрока одинаковый средний доход:

18 500x + 5 000 (1-x)= 4 100x+17 000 (1-x)

Отсюда x=0,45; (1-x) = 0,55.

33

Следовательно, предприятие, применяя чистые стратегии в соотношении 45:55,

будет иметь оптимальную смешанную стратегию, обеспечивающую ему в любом слу-

чае среднюю прибыль в сумме:

18 500 0,45 + 5 000 0,55 = 11 075 уде.

Эта величина и будет ценой игры.

При оптимальной стратегии выпуск продукции составит:

(1 000 обогревателей + 6 000 кондиционеров) 0,45 + (4 000 обогревателей +

1 200 кондиционеров) 0,55 = 2 650 обогревателей + 3 360 кондиционеров.

Следовательно, оптимальная стратегия предприятия заключается в выпуске

2 650 обогревателей и 3 360 кондиционеров, что обеспечит ему при любой погоде прибыль в сумме 11 075 уде.

Задачи для решения.

Задача 1.

Продукт	Цена	Себест.	Неконд.	Сбыт А	Сбыт Б	Доставка
1	70	30	50	2500	1900	1
2	90	50	40	1800	2700	2
3	105	70	95	1600	1300	1

Излишки продаем как некондицию Найти смешанную стратегию и платежную матрицу игры

Ответ.

АБ

А	220300	205300	x	0,75
Б	175900	220900	1-x	0,25

Задача 2.

	Продукт	Цена	Себест.		Неконд.	Сбыт А	Сбыт Б	Доставка
	1	50	25		40	220	190	3
	2	100	60		25	180	260	2
	3	125	70		95	160	120	5
	Излишки продаем как некондицию
	Найти смешанную стратегию и платежную матрицу
	игры
Ответ.
		А	Б
	А	19680	18180		x	0,8
	Б	14060	20060		1-x	0,2
Задача 3.
	Продукт	Цена	Себест.		Неконд.	Сбыт А	Сбыт Б	Доставка
	1	80	15		35	245	149	0,5

									34
	2		151		80		27			239		0,9
								105
	3		155		50		110	185		123		0,9

Излишки продаем как некондицию Найти смешанную стратегию и платежную матрицу игры

Ответ.

АБ

А	42421,5	35311,5	x	0,700329
Б	22552,7	39168,7	1-x	0,299671