Дополнительные главы математики.-2
.pdfТомский государственный университет систем управления и радиоэлектроники
Приходовский М.А.
Дополнительные главы математики Курс лекций
(Семестр 4)
Учебное пособие
для специальности 09.03.01
Томск
ТУСУР
2019
Электронное учебное пособие составлено по материалам лекций, проведённых на ФСУ в группах 437-1,2,3 весной 2019 года.
Охвачены следующие темы. Интегралы, зависящие от параметра. Интеграл и преобразование Фурье. Преобразование Лапласа. Кроме того, в ознакомительном порядке даны уравнения математической физики и некоторые численные методы.
2
Оглавление по темам
ГЛАВА 1. Интегралы, зависящие от параметра. |
|
||
Специальные функции. |
5 |
||
§ 1. Интегралы, зависящие от параметра. |
5 |
||
§ 2. Специальные функции. |
14 |
||
ГЛАВА 2. |
Интеграл Фурье и преобразование Фурье. |
19 |
|
ГЛАВА 3. |
Преобразование Лапласа (операционное |
30 |
|
исчисление). |
|
||
§ 1. |
Определения и примеры. |
30 |
|
§ 2. |
Обратное преобразование Лапласа. |
35 |
|
§ 3. |
Свойства преобразования Лапласа. |
43 |
|
§ 4. |
Свёртка оригиналов, интегральные уравнения. |
51 |
|
ГЛАВА 4. |
Дифференциальные уравнения в частных |
58 |
|
производных (уравнения математической физики). |
|
||
ГЛАВА 5. |
О некоторых численных методах. |
73 |
|
Литература . |
85 |
||
|
|
|
|
3
Лекция № |
Дата |
Страница |
|
|
|
1 |
12.02.2019 |
5 |
|
|
|
2 |
26.02.2019 |
19 |
|
|
|
3 |
12.03.2019 |
30 |
|
|
|
4 |
26.03.2019 |
43 |
|
|
|
5 |
09.04.2019 |
51 |
|
|
|
6 |
23.04.2019 |
58 |
|
|
|
7 |
07.05.2019 |
67 |
|
|
|
8 |
21.05.2019 |
73 |
|
|
|
4
ЛЕКЦИЯ 1. 12.02.2019
ГЛАВА 1. Интегралы, зависящие от параметра.
Специальные функции.
§ 1. Интегралы, зависящие от параметра.
Рекомендуется повторить тему «двойной интеграл» из 2 семестра.
Вспомним двойной интеграл:
d b c a
f
(x,
y)dx dy
.
Если вычислить
только внутреннюю его часть, то есть двух, то формула Ньютона-Лейбница
сделать только одно действие из будет применена к x , и остаётся
функция, зависящая от
y
. Обозначим:
b I ( y) f (x, y)dx
и назовём
|
a |
эту функцию I ( y) |
интегралом, зависящим от параметра. При этом x |
называется переменной интегрирования, а y - параметром. |
|
Вспомним, |
что в двойном интеграле границы внутреннего |
интеграла могут зависеть от внешней переменной:
d b( y) |
||
|
|
f |
|
||
c a( y) |
||
(x,
|
|
|
|
y)dx |
|
dy |
|
|
|||
|
|
||
|
|
|
.
То есть, возможна более общая ситуация, с границами, зависящими от
|
|
b( y) |
|
параметра |
y : . I ( y) |
f (x, y)dx . При этом |
формула Ньютона- |
|
|
a( y) |
|
Лейбница |
применяется |
к x , то есть, вместо |
x подставляются |
5
выражения, зависящие от
некоторая функция от |
y . |
y
, а значит, на выходе всё равно получается
Пример 1.
Пример 2.
1 I ( y) xydx
0
y I ( y) xydx
0
=
=
x |
2 |
y |
|
1 |
|
||||
|
|
|||
|
|
= |
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
y |
|
y |
|
|
|||
|
= |
|||
|
2 |
|
||
|
|
0 |
||
|
|
|
||
y |
|
0 |
|
2 |
2 |
||
|
|||
y |
3 |
|
|
|
|
||
2 |
|||
|
|||
=
0 2
y 2
=
.
y |
3 |
|
|
2 |
|
.
Задачи на вычисление интеграла от параметра даже легче и короче, чем задачи на двойной интеграл, потому что это внутренняя часть двойного интеграла.
Свойства интегралов, зависящих от параметра.
1. Непрерывность. Если функция |
f (x, y) |
непрерывна в |
||
прямоугольнике D x [a,b], y [c, d] , то |
|
b |
|
|
I ( y) |
|
f (x, y)dx |
||
|
||||
|
|
|
a |
|
непрерывная функция на [c, d ] .
2. Предел. Если функция
f (x, y)
непрерывна в прямоугольнике
D x [a,b], y [c, d] , то
|
b |
b |
|
lim |
f (x, y)dx |
lim f (x, y)dx . |
|
y y0 |
a |
y y0 |
|
|
a |
|
|
6
3. Интегрирование по y . Если функция прямоугольнике D x [a,b], y [c, d] , то
f (x, y) непрерывна в |
|
I ( y) |
интегрируема на |
отрезке |
[c, d ] , причём: |
|
|
|
|
|
d |
|
d b |
|
|
b d |
|
I ( y)dy |
= |
|
|
= |
|
|
f (x, y)dx dy |
f (x, y)dy dx |
|||||
c |
|
c a |
|
|
a c |
|
Это следует из свойств двойного интеграла.
4. Дифференцирование по
y
. Если функции
f (x, y)
и
f y (x, y)
непрерывны в прямоугольнике
дифференцируема на отрезке [c, d ]
D x [a,b], y [c, d] , то |
I ( y) |
, причём верна формула Лейбница:
b
I ( y) f y (x, y)dx .
a
Доказательство.
lim |
I ( y y) I ( |
|
y |
||
y 0 |
I y)
(
.
y) |
по определению производной равна |
Подробнее запишем выражения в числителе.
lim |
I ( y y) I ( y) |
|
y |
||
y 0 |
|
b |
b |
|
|
f (x, y y)dx f (x, y)dx |
|
|
= lim |
a |
a |
= |
|
y |
||
y 0 |
|
||
7
|
b |
|
|
f (x, y y) |
|
lim |
a |
|
y |
||
y 0 |
f (x, y) dx
, а так как
y
- величина, не зависящая
от |
x , то можно и деление на неё внести внутрь интеграла, и записать |
|||||||||
|
|
|
b |
f (x, y y) f (x, y) |
|
b |
|
|
f (x, y y) f (x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
так: |
lim |
|
dx = |
|
|
|
|
|||
|
y |
|
lim |
y |
dx |
|||||
|
|
y 0 |
a |
|
a |
|
y 0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Но выражение внутри интеграла это как раз и есть частная
производная по |
y , т.е. получили |
||||
|
|
b |
|
|
|
Итак, |
|
|
|
|
(x, y)dx . |
I ( y) |
|
f y |
|||
|
|
a |
|
|
|
b
a
f y (x,
y)dx
.
В случае переменных границ, формула Лейбница сильно меняется, приобретая два дополнительных слагаемых. Это связано с тем, что расширение или сужение интервала может оказать даже большее влияние на интеграл, чем рост самой подынтегральной функции. Рассмотрим этот случай отдельно.
Увеличение интервала может происходить из-за того, что правая граница b( y) возрастает, а также в том случае, когда левая граница a( y) убывает.
|
b( y) |
Свойство 4-А. Пусть I ( y) |
f (x, y)dx , функции |
|
a( y) |
f (x, y)
и
f y (x, y) непрерывны в области D y [c, d], x [a( y),b( y)] , а также
8
непрерывны и дифференцируемы дифференцируема на отрезке [c, d ]
функции a( y)
, причём верна
, b( y) . Тогда I ( y)
формула Лейбница:
I ( y)
b( y) |
y |
|
|
|
|
|
f (x, y)dx b ( y) f (b( y), y) a ( y) f |
|
a( y) |
|
|
(a( y),
y)
.
Доказательство. Вспомним, что если верхний параметр - переменная,
то производная по нему равна подынтегральной функции. Мы сталкивались с этим в начале темы «определённый интеграл», когда
рассматривали функцию
x Ф(x)
a
f
(t)dt
. Тогда же мы доказывали,
что
Ф (x)
f
(x)
.
Производная по нижнему параметру от
b Ф(x)
x
f
(t)dt
, наоборот, была бы равна
f
(x)
, так как при его
возрастании площадь криволинейной трапеции уменьшается, а при убывании - наоборот, увеличивается.
Запишем I ( y) как функцию от трёх величин: y, a( y), b( y) .
9
I ( y)
Ф( y, a( y), b( y))
. По формуле полной производной,
dФ |
|
Ф dy |
|
Ф db |
|
Ф da |
|
dy |
y dy |
b dy |
a dy |
||||
|
|
|
|||||
|
|
b( y) |
|
|
|
|
= |
Ф |
1 |
Ф |
|
Ф |
|
|
|
|
||||
y |
b |
b ( y) |
a |
a ( y) |
||
|
|
|
|
=
I ( y) |
|
y |
|
f (x, y)dx b ( y) f (b( y), y) a ( y) f (a( y), y) . |
a( y)
Геометрический смысл:
трапеции зависит как от движения правой границы
скорость |
роста площади |
криволинейной |
|
высоты |
функции |
f , так |
и от скорости |
вправо, либо левой границы влево.
Пример 3. Вспомним пример 2.
y I ( y) xydx
0
=
y |
3 |
|
|
2 |
|
. Вычислим
|
двумя способами: |
I ( y) |
сравним результаты.
без формулы Лейбница и с помощью неё, и
|
|
|
|
|
y |
3 |
|
|
3y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
А). |
|
= |
|
|
|
= |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
I |
( y) |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
Б). |
I ( y) (xy) y dx 1 y y 0 |
= |
xdx y |
2 |
= |
|||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
3y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Результаты совпали. |
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
y |
|
|
|
||
|
y |
2 |
|
|
|
||
2 |
|
||
0 |
|
||
|
|
|
|
=
y |
2 |
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
||
2 |
|
||
|
|
||
=
Как видим, скорость движения правой границы здесь оказывает даже более весомое влияние,чем рост самой функции: без учёта правой
10