1583

Министерство высшего образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники»

Кафедра экономической математики, информатики и статистики

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ по дисциплине «Вычислительная математика» и руководство

по выполнению

Зав.кафедрой ЭМИС,

д.ф.-м.н., профессор

И.Г.Боровской

Составил: проф каф. ЭМИС

В.И. Смагин

Томск -2012

Аннотация

Методические рекомендации по выполнению самостоятельной работы студентов по дисциплине «Вычислительная математика» для студентов направления

230100, 230200. .

2

Оглавление
1. Тема самостоятельной работы: «Численное
дифференцирование»......................................................................	4

2.Тема самостоятельной работы: «Численное интегрирование» 5

3.Тема самостоятельной работы: «Метод Гаусса для решения

систем линейных уравнений»......................................................

13

3

1. ТЕМА САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ: «ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ»

Задание:

Для функции заданной в виде таблицы на равномерной сетке xi x0 ih, i 0,10, x0 1, h 0,1, оценить значение первой производной в точке 1,5. Определить по-

грешности считая, что табличные значения заданы с верными знаками , ,

и hопт . Варианты исходных данных приведены в приложении.

Рекомендуемый план выполнения работы:

1. Изучить методы численного дифференцирования для равномерной сетки узлов.

Форма отчета:

Опрос, проверка расчетов.

Цель работы:

Дать студентам практические навыки численного дифференцирования функций, заданных в виде таблицы по равномерной сетке. Самостоятельное изучение методов численного дифференцирования.

Указания к выполнению. Рекомендуется изучить основные определения и методы численного дифференцирования»

\Указания к выполнению. Так как точка x, в которой необходимо выполнить операцию численного дифференцирования находится в средине таблицы и для

t

x xk

справедливо

t

0,25. Тогда выберем формулу Стирлинга:

h

t

( yk yk 1)

f (x th) S(x th) y

t2 2 y

2

k

k

k

1!

k 1

	t(t2	1) ( 3 y			k 1	3y	k 2	)		(1)
						2
3!

Дифференцируя по t левую и правую части равенства (1), учитывая связь между t и x, получим:

4

fx(xk th) yk yk 1 t 2yk 1

2h h

	(3t2	1) ( 3y			k 2	3 y	k 1	)	.	(2)
					2h
3!

Рассмотрим задачу вычисления первой производной по формуле (2), в которой будут учитываться только первых два слагаемых. Тогда для частного случая диффе-

ренцирования в точке xk (в нашем случае t 0) получим:

fx(xk ) yk yk 1 R3 (xk ),

2h

где

R (x		)	f (3) ( )h2	.	(3)
	k
3		3!

Формула (3) получена в результате дифференцирования остаточного члена формулы Стирлинга и вычисления его в точке t 0. В силу (3) погрешность метода численного дифференцирования имеет вид:

M

3

h2

,

3!

где M3

max

f (3)(x)

. Погрешность метода с уменьшением шага уменьшается.

x [a,b]

Расчетная формула вычисления первой производной в точке xk

будет следующей:

fx (xk )

yk yk 1

yk 1 yk yk yk 1

2h

2h

yk 1 yk 1

.

(4)

2h

2. ТЕМА САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ: «ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ»

Задание:

Вычислить I b f (x)dx с точностью 0,5 10 5 методами:

a

1)левых прямоугольников;

2)средних прямоугольников;

3)правых прямоугольников;

5

4)трапеций;

5)Симпсона.

Процесс вычисления интеграла организовать без пересчета значений подынтегральной функции в узлах и при использовании метода Рунге. Вывести значение интеграла и количество узлов, которое потребовалось для вычисления значения интеграла с заданной точностью. Варианты исходных данных приведены в приложении.

Рекомендуемый план выполнения работы:

1. Изучить методы численного интегрирования.

Форма отчета:

Опрос, проверка расчетов.

Цель работы:

Дать студентам практические навыки численного интегрирования. Самостоятельное изучение методов численного интегрирования.

Указания к выполнению. Рекомендуется изучить основные определения и методы численного интегрирования»

\Указания к выполнению.

Рассмотрим основные формулы, позволяющие реализовать численное интегрирование с помощью простейших формул Ньютона-Котеса.

1. Формула левых прямоугольников

В качестве узла квадратурного правила выбирается левый конец интервала [a,b], т.е. точка a. Тогда квадратурная формула называется формулой левых пря-

моугольников и записывается в виде

b

f (x)dx (b a) f (a) R0,лев.( f ),		(5)
a
где
b
R0,лев.( f ) (x a) f
	( )dx

a

и − некоторая точка интервала [a,b].

Формула (5) означает, что площадь под кривой y f (x) на [a,b] заменяет-

ся площадью прямоугольника с основанием b a и высотой f (a).

6

В силу теоремы о среднем, так как множитель				x a не меняет знак на
[a,b] и f (x) предполагается непрерывной на [a,b],				существует точка [a,b],
такая, что
	b		(b a)2
						f
R0,лев.( f ) f ( ) (x a)dx							( ).
	a	2
Разделим отрезок [a,b] на m отрезков длиной h					b a			и к каждому отрезку
применим формулу левых прямоугольников. Тогда					m
f (x)dx hf (a kh), R0(k,лев)	.( f ) h2	f ( k ), k [a kh,a (k 1)h],
a (k 1)h

2

a kh

k 0,m 1.

Просуммировав результаты по всем отрезкам, получим обобщенную формулу левых прямоугольников

b

b a

f (x)dx m f0 f1 ... fm 1 , (6)

a

где fk f (a kh), k 0,m 1. При этом погрешности также суммируются, то есть

	m 1			(b a)	2 m 1
R0,(облев.)	.( f ) R0,(kлев)	.(f )				f ( k ).
				2m2
	k 0					k 0
В силу предположения о непрерывности			f (x) на [a,b] и согласно теореме о

среднем, существует точка [a,b] такая, что

1 m 1f ( k ) f ( ). m k 0

Тогда погрешность обобщенной формулы левых прямоугольников примет вид

R0(об,лев.).(f ) (b a)2 f ( ).

2m

2. Формула правых прямоугольников

7

В качестве узла квадратурного правила выбирается правый конец интервала [a,b], т.е. точка b . Тогда квадратурная формула называется формулой правых пря-

моугольников и записывается в виде

b

f (x)dx (b a) f (b) R0,пр.( f ),					(7)
a
где
b		(b a)2
R0,пр.( f ) (x b) f			f
	( )dx	2		( ).
a
Формула (7) означает, что площадь под кривой y f (x)				на [a,b] заменяется
площадью прямоугольника с основанием b a и высотой			f (b).

Разделив отрезок [a,b] на m отрезков длиной h b a , применив к каждо- m

му отрезку формулу правых прямоугольников и просуммировав результаты, получим обобщенную формулу правых прямоугольников

	b		b a		f1 f		... fm .
	f (x)dx					2		(8)
	a		m
	Погрешность формулы (8) запишется в виде
	R0(об,лев.).	( f )		(b a)2			f ( ).
					2m

3. Формула средних прямоугольников

В качестве узла квадратурного правила выбирается средняя точка интервала

[a,b], то есть точка	a b
			. Тогда квадратурная формула называется формулой
2
средних прямоугольников и имеет вид
	b		a b
	f	(x)dx (b a) f				R0,ср.( f ) .	(9)
				2
	a

Формула (9) означает, что площадь под кривой y f (x)		на [a,b] заменяется
площадью прямоугольника с основанием b a и высотой	a b
	f		.
		2

8

f (x)

Так как середина интервала [a,b] является узлом квадратурной формулы, то эта формула будет точной для всех многочленов первой степени. Тогда функцию

можно представить в виде

f (x) P1(x) r(x),

где P1(x) − многочлен Тейлора первой степени, удовлетворяющий условиям

a b P1 2

a b				a b
f		,
			P
	2		1		2

a b f .2

Остаточный член при кратном интерполировании в предположении, что f (x)

имеет непрерывные производные второго порядка, имеет вид

1

a b

2

r(x)

x

f

2

( ),

2

где − некоторая точка интервала [a,b]. Тогда

1 b

a b

2

R0,cp.( f )

x

f

2

2

( )dx.

a

a b

2

0 и f (x)

непрерывна на [a,b], то, согласно

Так как множитель x

2

теореме о среднем, существует такая точка [a,b],

что

1

b

a b

2

b a 3

R0,cp.( f )

f

x

dx

2

( )

2

f ( ).

a

24

Разделим отрезок [a,b]

на

m частей длиной h

b a

и к каждому отрезку

m

применим формулу средних прямоугольников (7). Тогда

a (k 1)h

f (x)dx hf a

2k 1

h

2

a kh

R0(k,cp) .( f )

h3

f ( k ), k [a kh,a (k 1)h],

24

k 0,m 1.

9

Просуммировав результаты по всем отрезкам, получим обобщенную формулу средних прямоугольников

b

f (x)dx

a

b a

h

3h

(2m 1)h

f

a

f

a

... f a

. (10)

m

2

2

2

Погрешность формулы (10) можно записать, просуммировав R0(k,cp) .( f )

по всем

отрезкам, то есть

3 m 1

m 1

(b a)

R0,(обcp.). (f )

R0,(kcp) .(f )

f ( k ).

24m3

k 0

k 0

f (x) на [a,b],

Согласно теореме о среднем и в предположении о непрерывности

погрешность обобщенной формулы средних прямоугольников запишется в виде

(об.)

(b a)3

R0,cp.

(f )

f

( ).

(11)

24m2

4. Квадратурная формула трапеций

Для формулы трапеций B1 B1 1 . Два равноотстоящих узла на [a,b] обра-

0

1

2

зуют точки a и b . Формула трапеций и выражение для погрешности имеют вид

b

b a

f (x)dx

[ f (a) f (b)],

(12)

a

2

b

f

(b a)

3

( )

R1( f )

(x

a)(x b)dx

f

2

12

( ).

a

Последнее выражение для

R (f )

получается в предположении,

что f (x) непре-

1

рывна на [a,b] и произведение (x a)(x b)

не меняет знак на [a,b].

10