6634

Задача 10. Найти производную вектор-функции

sin 3 (x 2 )

f (x)

3

.

x

Решение. Производные двух координатных функций ищем

независимо друг от друга.

f (x)

(sin3 (x 2 ))

=

3sin 2 (x 2 ) cos(x2 )2x

3

2

.

(x

)

3x

Ответ.

6x sin 2 (x 2 ) cos(x 2 )

2

.

3x

Задача 11. Найти 1-ю и 2-ю производную для f (x) arctg

x

.

1 x 2

1

Найти f

.

2

x

1

x

Решение.

arctg

=

=

1 x

2

x

2

x

2

1

1

x

2

1

x

=

1

(x)

1 x2

1 x2

=

1

x2

1 x2

1 x2

2x

1 x2 x

=

1

2 1 x2

=

x2

x2

1 x2

1

1 x2

1 x2

x2

1 x2

x 2

1 x2

x2

1

1 x 2

=

=

= 1 x2

=

1

1 x 2

1 x2

1 x2

1 x2

1 x 2

51

		1											.			Итак,															f (x)															1							.
		1 x 2																																										1 x2
Следующая, 2-я производная:
																	1																																													1
																																																	1																							3
																																														2																						2														2
	f (x)																																	=		(1							x					)				2							=							(1 x			)		2					1 x
																	1 x								2																																					2
		1			(1 x2 ) 32 2x =																																								x							.
		2																																																3
																																											1 x2
Вычислим «тестовое» значение при конкретном																																																																		x							1			.
																																																																											2
		1															1																												3
																																			1							2
		2												=					2												=															=										2			= 2.
																																																				2
											3						1																									1
																																				2
		1
		1																						3
							2															2
																																	1										f (x)																x													1
Ответ.														f (x)																									,																												, f										=2.
																																																																3
																															1 x2																											1 x2															2
Задача 12. Найти 1-ю и 2-ю производную для																																																																f									x 3						.
																																																																										x2 4
																															x 3																													2	4) (x							2
																		f																													(x 3) (x																							4) (x 3)
Решение.																																										=
																																																													(x2 4)2
																									x2											4
	(x2 4) 2x(x 3)																																	=			x2						4 2x2 6x																			=					4 6x x								2			.
							(x2 4)2																																				(x2 4)2																								(x2			4)2
																																										4 6x x2
2-я производная:																																		f																										=
																																														2									2
																																											(x					4)
			(4 6x x2 ) (x2 4)2 (4 6x x2 ) (x2
=																																																																			4)2					=
																																			(x 2								4)4
=			( 6 2x)(x2 4)2 (4 6x x2 )2(x2 4) 2x																																																																	,
																																			(x2 4)4

=

=

52

сократим по крайней мере на 1 множитель (x 2 4) :

( 6 2x)(x2 4) (4 6x x

2 ) 4x

=

(x2 4)3

=

(2x 6)(x2

4) (16x 24x2 4x3 )

=

(x2 4)3

(2x3

6x2 8x 24) 16x 24x2 4x3

2x3

18x2 24x 24

=

=

.

(x2 4)3

(x2

4)3

Ответ.

f

4 6x x2

f

2x3 18x2 24x 24

(x2 4)2

(x2 4)3

Задача 13. Дана функция

f (x)

4ctg 2 x 8 ln(sin x) .

Найти f

, f

.

(x)

4

sin x

1

cosx

Решение. f (x) 8ctgx ctgx

8

= 8ctgx

8

=

sin x

sin 2 x

sin x

ctgx

1

2

x 1

8

8ctgx =

sin

8ctgx 1

=

8ctgx

=

sin

2

sin

2

sin

2

x

x

x

cos

2

x

8ctg

3

x .

= 8ctgx

sin

2

x

=

Максимально возможно привели подобные, чтобы затем было легче считать 2-ю производную.

3

2

2

1

f (x) 8 ctg

x

= 8 3ctg

x ctgx

= 24ctg

x

=

sin 2

x

= 24

cos2 x 1

= 24

cos2 x

.

sin 2 x

sin 2 x

sin 4 x

53

																	2
					cos									1						1
							2									2
										4											2
Вычислим			. 24				4						= 24					4	= 24			= 48.
	f																			1
		4			sin
										4					1						4
																2
				cos2	x
						.		f					48 .
Ответ. f	(x) 24			sin 4
					x					4

Задача 14.

f (x) esin x

найти f (x) ,

f (0),

f ( 2) .

Решение.

f (x) e

sin x

,

f (x) e

sin x

= e

sin x

=

e

sin x

cos x .

sin x

f (x) = e

cos x

=

e

cos x e

cos x =

sin x

sin x

sin x

esin x cos x cos x esin x sin x = esin x (cos 2 x sin x) .

f (0) = e0 (1 0) 1.

f (

2) = e1 (0 1) e .

Ответ. f (x) esin x (cos 2

x sin x) , f (0) 1, f (

2)

e .

Домашняя задача (15). Найти 2-ю производную для f (x) x10 sin 2 x .

					x x10 sin 2
Решение. 1-я производная: x10 sin 2 x				= x10 sin 2		x	=
10 x9 sin 2 x x10 2sin x cos x =			x9 10 sin 2	x x sin 2x .
2-я производная: 9x8 10sin 2			x x sin 2x x9 10sin 2
					x x sin 2x =
= 9x	8 10 sin 2 x x sin 2x x9 20 sin x cos x (sin 2x 2x cos 2x) =
= x8	90 sin 2	x 9x sin 2x x9 10 sin 2x sin 2x 2x cos 2x =
= x8	90 sin 2	x 9x sin 2x x8 11x sin 2x 2x 2 cos 2x			=

= x8 (90 sin 2 x 20 x sin 2x 2x 2 cos 2x) .

Ответ. f (x) x8 (90 sin 2 x 20 x sin 2x 2x 2 cos 2x) .

54

Практика 21 Тема «Частные производные, градиент».

Задача 1. Дана функция u 3xy xy 2 . Найти координаты вектора grad u в точке M 0 (1,1) .

Решение. Найдём две частных производных.
3xy xy2			= 3y y 2 ,	3xy xy 2			= 3x 2xy .
	x				y

Градиент в произвольной точке: u(x, y) 3y y 2 ,3x 2xy . Градиент в точке M 0 (1,1) : u(1,1) 4,5 .

Ответ. u(1,1) 4,5 .

Задача 2. Дана функция u(x, y, z) xy xz z 2 . Найти grad u в точке M 0 (1,1,1) .

Решение. Найдём все 3 частных производных.
xy xz z 2		=	y z 0 .
x
xy xz z 2		=	x 0 0.
y

xy xz z 2 z = 0 x 2z .

Итак, градиент это вектор y z, x, x 2z . В точке (1,1,1) он равен (2,1, 1) .

Ответ. (2,1, 1) .

Алгоритм вычисления производной по направлению можно условно разделить на 4 шага:

1)Найти градиент в произвольной точке,

2)Найти гралиент в конкретной точке,

3)Нормировать вектор, задающий направление,

4)Скалярно умножить градиент в точке на этот нормированный вектор.

Задача 3. Дана функция u(x, y, z) xy xz z 2 . Найти: а) координаты вектора grad u в точке M0 ( 2,1, 1) ,

55

	б)	u	в точке M0 в направлении вектора a ( 1, 2, 2) .
		a
	Решение. Найдём все 3 частных производных.
			xy xz z 2		=	y z 0 .
			x
			xy xz z 2		=	x 0 0.
			y

xy xz z 2 z = 0 x 2z .

1)Градиент в произвольной точке: y z, x, x 2z .

2)Градиент в точке M0 ( 2,1, 1) : 0,2,4 .

3)Нормируем вектор a ( 1, 2, 2) . Его длина 1 4 4 3.

Нормированный вектор a										1			2		2
												,		,		.
										3			3		3
4) Скалярно умножим его на градиент в точке, т.е. 0,2,4 .
u	= u, a = 0	4		8	=	12			4 .
a
	3		3				3
Ответ. u(2,1, 1) = 0,2,4 ,								u				= 4.
								a

Замечание. Пункты 3 и 4 перестановочны, то есть поделить на длину вектора можно уже тогда, когда скалярно умножили.

Задача 4. Дана функция u

x2 y2

z2 . Найти:

а) координаты вектора grad u в точке M0 (1, 2, 2)

б)

u

в точке M0

в направлении вектора a (8, 4,1) .

a

Решение. Частные производные:

2x

x

x2 y 2 z 2 =

=

. Аналогично

x

2 x2 y 2 z 2

x2 y 2 z 2

x2 y 2 z 2 =

.

y

,

x2 y 2 z 2

=

z

y

x2 y 2 z 2

z

x2 y 2 z 2

Присвоим конкретные значения x, y, z и получим градиент в точке.

56

Учитывая, что 12 ( 2)2 22 9 3,получится:

	1		2		2
u(1, 2,2)		,		,		.
	3		3		3

Нормируем вектор a (8, 4,1) . Его длина 64 16 1 81 9 .

	8		4		1
Итак, надо рассматривать такой вектор: a		,		,		.
	9		9		9

Теперь скалярно умножим его на градиент.

8 1					4			2			1 2				8		8		2		18		2
														=						=				.
9 3					9			3			9 3				27		27		27		27 3

																				1			2			2				u		2
Ответ.								u(1, 2,2)														,		,					,	a	=		.
																				3			3			3						3
Задача 5. Дана функция u x 2																													3xy . Найти:
а) координаты вектора																						grad u						в точке					M 0 ( 2, 2) ;
б) u				в точке M															0	в направлении вектора a ( 3,1) .
a
Решение. Ищем частные производные.
x2 3xy													= 2x 3y ,										x 2 3xy = 3x .
										x																					y
Итак,					градиент															2x 3y,3x .										При			x 2, y 2 получаем вектор
2,6 .
									Нормируем вектор a ( 3,1) . Его длина 10 . Новый вектор
				3								1
a										,						. Скалярно умножаем его на 2,6 :
				10
												10
2			3					6				1						0 .
10												10
Ответ.								u(2, 2) 2,6 ,																	u				= 0.
																									a

Задача 6. Найти градиент функции U x3 y xy 4 в точке (2,2) и производную по направлению a = (3,4).

57

Решение. x3 y xy4	3x2 y y4 ,																					x3 y xy								4					x3 4xy3 .
x																																	y
Градиент в произвольной точке:														3x 2 y y 4 , x3 4xy3 .
Градиент в точке (2,2) равен 40,72 .
															3						4
Нормируя вектор (3,4) получаем																				,			.
															5						5
Скалярно умножаем 40,72												3					4						120							288							408
					и											,				.															=							= 81,6.
												5					5						5							5							5
Ответ. Градиент u(2,2) 40,72 ,																					u = 81,6.
																					a
Задача 7. Найти градиент функции																				f x 4 y в точке (1,1) и
производную по направлению (1,3).
Решение. x4 y 4x3 y ,		x4 y														x4 .
x											y
Градиент в произвольной точке:																f (x, y) (4x3 y, x 4 )
Градиент в конкретной точке: f (1,1) (4,1)
					1												3
Нормируем вектор (1,3).											,											.
					10
																	10
						1														3								4							3							7
Скалярно умножим (4,1)		и														,								.																					.
						10																						10							10							10
																				10
Ответ. f (1,1) (4,1) ,	f	=					7						.
	a
						10
Тема «Уравнение касательной».
Задача 8. Найти уравнение касательной к кривой y 2x3																																										3x2 2 в
точке x0 2 .
Решение. Значение в точке:							f (2) y0																	16 12 2 30 .
Производная: f (x) 6x 2		6x .
Производная в точке:	f (2) 24 12 36 .

Уравнение y y0 f (x0 )( x x0 ) принимает вид y 30 36(x 2) ,

58

что преобразуется к виду y 36x 42 .

Ответ. y 36x 42 .

Задача 9. Найти касательную к графику y x 2	в точке с абсциссой 2
и расстояние от этой прямой до начала координат.
Решение. y0 4 , f (x) 2x , f (2) 4 .
Подставим эту информацию в уравнение y y0		f (x0 )( x x0 ) .
Получается y 4 4(x 2) y 4 4x 8		y 4x 4 .

Надо применить формулу расстояния от точки до прямой в плоскости:

d		Ax1 By1 C
			A2 B2
для этого сначала преобразуем к неявному виду: 4x y 4 0 .

Тогда видно, что A 4, B 1,C 4.

(x1 , y1 ) (0,0) .

d

Ax1 By1 C

=

4 0 1 0 4

=

4

.

A2 B2

16 1

17

Ответ. Касательная

y 4x 4 , расстояние

4

.

17

Задача 10.

Найти касательную к графику y 3x3 4x 2 в точке

x0 1.

Решение.

f (1) 7 ,

f (x) 9x 2 8x ,

f (1)

17 .

y y0 f

y 7 17(x 1)

y 7 17x 17

(x0 )( x x0 )

y 17x 10 .

Ответ. Уравнение касательной y 17x 10 .

Задача 11. Найти касательную к графику функции

f (x) cosx ln( x 1)

в точке x0 0 .

Решение.

y0 f (0) cos 0 ln(1) 1 0 1 .

1

1

f (x) sin x

.

f (0) sin 0

1.

x 1

0 1

59

y y0		y 1 1(x 0)	y x 1.
	f (x0 )( x x0 )
Ответ. Уравнение касательной y x 1.

Задача 12. Найти касательную к графику функции f (x) arctg(x) в

точке x0				1.
Решение.					y				arctg(1)					,		f (x)			1	,	f (1)	1	.
								0									1 x2
														4							2
Тогда уравнение: y															1	(x 1)	что сводится к виду
													4		2
y	1		x							1
											.
	2				4					2
							1						1
Ответ. y									x					.
							2				4		2
Практика 22
Задача 1.						Найти уравнение касательной к графику y 2x3 3x2 3 в
точке x0				1 и площадь треугольника, который она отсекает от одной
из координатных четвертей.
Решение.						f (1) 8 ,						f (x) 6x 2 6x ,							f (1)		12 .
y y0			f											y 8 12(x 1)						y 12x 4 .
					(x0 )( x x0 )

Выясним, треугольник и в какой четверти она отсекает. Для этого найдём точки пересечения с координатными осями.

x 0 y 4 ,	y 0 x	1		. Точки (0, 4)	1
					и		,0 . Треугольник в
		3				3

4-й четверти. Схематично покажем, где и как он расположен:

60