6634
.pdfТомский государственный университет систем управления и радиоэлектроники
Приходовский М.А.
Математика - курс практических занятий семестр 1 часть 2
для специальности 09.03.03 «прикладная информатика в экономике»
Учебное пособие
Томск
ТУСУР
2017
1
Электронное учебное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения практических занятий на ФСУ в группах 446-1, 446-2 осенью 2016 года. В осеннем семестре, согласно рабочим программам, на специальности 09.03.03 изучаются следующие темы: линейная алгебра, аналитическая геометрия, введение в математический анализ, дифференциальное исчисление. Даны с подробным разбором задачи, которые решались на каждом практическом занятии. Пособие может представлять методический интерес для преподавателей, работающих на аналогичных специальностях, как материал для планирования занятий.
2
Содержание |
3 |
Практика № 15 |
5 |
Практика № 16 |
13 |
Практика № 17 |
22 |
Практика № 18 |
31 |
Практика № 19 |
43 |
Практика № 20 |
46 |
Практика № 21 |
55 |
Практика № 22 |
60 |
Практика № 23 |
68 |
Практика № 24 |
77 |
Практика № 25 |
86 |
Практика № 26 |
88 |
Приложение |
89 |
Литература |
90 |
3
Номера практик по датам для групп 446-1, 446-2 согласно расписанию
Практика № |
446-1 |
446-2 |
1 |
02.09.16 |
03.09.16 |
2 |
06.09.16 |
03.09.16 |
3 |
09.09.16 |
09.09.16 |
4 |
16.09.16 |
17.09.16 |
5 |
20.09.16 |
17.09.16 |
6 |
23.09.16 |
23.09.16 |
7 |
30.09.16 |
27.09.16 |
8 |
04.10.16 |
27.09.16 |
9 |
07.10.16 |
07.10.16 |
10 |
14.10.16 |
11.10.16 |
11 |
18.10.16 |
11.10.16 |
12 |
21.10.16 |
21.10.16 |
13 |
28.10.16 |
25.10.16 |
14 |
01.11.16 |
25.10.16 |
15 |
11.11.16 |
07.11.16 |
16 |
15.11.16 |
07.11.16 |
17 |
18.11.16 |
18.11.16 |
18 |
25.11.16 |
21.11.16 |
19 |
29.11.16 |
21.11.16 |
20 |
02.12.16 |
02.12.16 |
21 |
09.12.16 |
05.12.16 |
22 |
13.12.16 |
05.12.16 |
23 |
16.12.16 |
16.12.16 |
24 |
23.12.16 |
19.12.16 |
25 |
27.12.16 |
19.12.16 |
26 |
30.12.16 |
30.12.16 |
4
Практика 15 «Введение в математический анализ. Множества и функции»
Задача 1. Доказать нечётность функции f (x) ln 11 xx .
Решение. Заменим x на x , при этом x наоборот, заменится на x .
|
1 x |
|
1 x 1 |
|
1 x |
||||
f ( x) ln |
|
|
|
= ln |
|
|
= ln |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
x |
|
1 x |
|
1 x |
|||
Таким образом, f (x) f (x) , то есть функция нечётная.
Задача 2. Даны 2 функции: f (x) sin x , g(x) x 2 . Найти все их возможные композиции.
Решение. f ( f (x)) sin(sin(x)) так как sin x 1 то повторное
вычисление синуса ещё чуть уменьшает значение этой величины, поэтому график суть ниже обычного графика синуса.
Графики для сравнения:
f (g(x)) sin x 2 , здесь скорость возрастания с ростом x всё более увеличивается, то есть колебания синуса учащаются. График:
5
g( f (x)) sin x 2 sin2 x ,график:
g(g(x)) x2 2 x4 строение этой функции хорошо известно.
На чертеже зелёным показан график g(x) x 2 , синим g(g(x)) x 4 .
6
Задача 3. Найти композицию f ( f ( f (x))) если |
f (x) |
1 |
. |
|||||||||
|
|
|
||||||||||
1 x |
||||||||||||
Решение. Двойная композиция это f ( f (x)) |
|
1 |
|
, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
||||
а тройная композиция |
f ( f ( f (x))) |
1 |
|
|
|
. Можно сначала |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
||||
привести подобные внутри самой внутренней дроби, для чего 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
представим как |
1 x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||
1 |
x |
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
1 x |
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
И в этой дроби тоже приведём подобные таким же способом.
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
x . |
1 |
1 x |
|
|
|
|
x |
|
1 x |
|
|
|
|
x 1 x |
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ. f ( f ( f (x))) x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
К задаче 4. Композиции функций из Rn |
в R1 и из R1 в Rn . |
|||||||||||||||||||||||||||
Функция w f (x, y, z) отображает R3 в R1 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Функция из |
R |
1 |
|
в R |
3 |
: |
|
|
такая функция задаёт движение |
|||||||||||||||||||
|
|
|
y y(t) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
точки в пространстве. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Можно рассматривать композицию: |
R1 R3 R1 . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
w f (x(t), y(t), z(t)). Физический смысл: |
каждой точке пространства |
||||||||||||||||||||||||||
задана температура, и заданы параметрические уравнения движения
7
точки в пространстве. По какому закону для этой точки будет изменяться окружающая температура.
Задача 4. Точка движется по окружности единичного радиуса вокруг начала координат в плоскости. Температура распределена по закону:
f (x, y) 2xy . Найти для этой точки функцию, как меняется температура в зависимости от времени.
Решение. Движение точки можно задать так: x cos(t) , y sin(t) . Подставим эти выражения в f (x, y) 2xy , чтобы получить композицию функций. f (x(t), y(t)) 2cost sin t = sin(2t) .
Ответ. Температура в зависимости от времени для этой точки изменяется так: f (t) sin(2t) .
Задача 5. Найти область определения функции:
|
|
|
|
1 |
|
|
|
f (x) x2 1 |
|
|
. |
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
9 x2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Выражение под каждым из корней должно быть 0 , а для второго даже строго больше 0, так как он в знаменателе.
Получается система из 2 неравенств: |
x2 1 0 и 9 x 2 |
0 . |
||
x2 1 x ( ,1] [1, ) , |
x2 |
9 |
x ( 3,3) . |
|
Итого, пересечение этих множеств: |
x ( 3,1] [1,3) . |
|
||
Ответ. x ( 3,1] [1,3) . |
|
|
|
|
Задача 6. Найти область определения функции: f (x, y) 
x2 y2 1 
9 x2 y2 .
Решение. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны x 2 y 2 1 это область вне круга радиуса 1.
x 2 y 2 9 32 это область внутри круга радиуса 3. В их пересечении лежит кольцо 1 x 2 y 2 3.
8
Чертёж:
Ответ. Кольцо 1 x 2 y 2 3.
Задача 7. Найти область определения функции 3 переменных: f (x, y, z) 
1 x2 y2 z 2 .
Решение. Здесь 1 x 2 y 2 z 2 |
0 , |
т.е. |
x 2 y 2 z 2 1. |
Это |
неравенство задаёт шар радиуса |
1. Штриховкой в плоскости, как в |
|||
прошлой задаче, для функции |
трёх |
переменных изобразить |
уже |
|
невозможно. |
|
|
|
|
Ответ. Шар радиуса 1: x 2 y 2 z 2 1.
О комплексных числах. В следующем семестре мы будем подробно изучать такое расширение множества действительных чисел, как комплексные числа. Однако вкратце рассмотрим простейшие действия с ними уже сейчас, чтобы потом было легче понять.
Условно обозначим корень из 1 через i . Называется «мнимая единица». Такое число не существует на действительной прямой. Можно представить его в виде точки на вертикальной оси Оу в
плоскости. Итак, i 
1 , то есть i 2 1.
Каждой точке |
с координатами (a, b) в плоскости можно поставить в |
соответствие |
a bi , оно называется комплексным числом. |
9
Умножение таких чисел производится с помощью обычного
раскрытия скобок с учётом того, что i 2 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Задача 8. |
Умножить комплексные числа (1 i)(2 i) . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
(1 i)(2 i) = 1(2 i) i(2 i) |
|
= 2 i 2i i 2 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||
2 i 2i 1 = 1 3i . |
Ответ. 1 3i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Задача 9. |
Найти корни многочлена x2 x 1, |
где D 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
Решение. |
D 1 4 3 . Корни 1 |
|
3 = |
|
1 |
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
3 |
|
1 |
= |
1 |
|
|
3 |
i . |
Ответ. |
|
1 |
|
|
|
3 |
i . |
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Перерыв в середине пары |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Тема «Предел последовательности» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Задача 1. Найти предел lim |
2n 2 5n 4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6n2 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Здесь неопределённость типа |
|
. Вынесем за скобки n 2 и в |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
числителе, и в знаменателе, с целью сократить на этот множитель.
|
|
|
|
2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
4 |
|
|||
|
2n 2 5n 4 |
|
n |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
||||||||||||||
lim |
= lim |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
= lim |
|
n |
|
|
|
||||||
n |
6n2 7 |
n |
|
|
|
2 |
|
|
7 |
|
|
|
n |
6 |
7 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
n |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Каждая из мелких дробей в числителе и знаменателе стремится к 0, поэтому получается сумма пределов в каждом случае, и тогда
|
2 0 0 |
= |
2 |
|
1 |
. |
Ответ. |
1 |
. |
|
|
|
|
6 0 |
|
6 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
Задача 2. Найти предел lim |
|
3n3 |
n 1 |
. |
||||||||
|
|
|
5n 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 2n3 |
|
||||
10