- •Содержание
- •Лекция 1. Принципы управления
- •1.1. Общие понятия
- •1.2. Фундаментальные принципы управления
- •1.2.1. Принцип разомкнутого управления
- •1.2.2. Принцип компенсации
- •1.2.3. Принцип обратной связи
- •Лекция 2.Статический режим сау
- •2.1. Основные виды сау
- •2.2. Статические характеристики
- •2.3. Статическое и астатическое регулирование
- •Лекция 3.Динамический режим сау
- •3.1. Динамический режим сау. Уравнение динамики
- •3.2. Линеаризация уравнения динамики
- •3.3. Передаточная функция
- •3.4. Элементарные динамические звенья
- •Лекция 4.Структурные схемы сау
- •4.1. Эквивалентные преобразования структурных схем
- •Лекция 5.Временные характеристики
- •5.1. Понятие временных характеристик
- •5.2. Переходные характеристики элементарных звеньев
- •5.2.1. Безынерционное (пропорциональное, усилительное) звено
- •5.2.2. Интегрирующее (астатическое) звено
- •5.2.3. Инерционное звено первого порядка (апериодическое)
- •5.2.4. Инерционные звенья второго порядка
- •5.2.5. Дифференцирующее звено
- •Лекция 6.Частотные характеристики
- •6.1. Понятие частотных характеристик
- •6.2. Частотные характеристики типовых звеньев
- •6.2.1. Безынерционное звено
- •6.2.2. Интегрирующее звено
- •6.2.3. Апериодическое звено
- •6.2.4. Инерционные звенья второго порядка
- •6.2.5. Правила построения чх элементарных звеньев
- •Лекция 7.Чх разомкнутых сау
- •7.1. Частотные характеристики разомкнутых одноконтурных сау
- •7.2. Законы регулирования
- •Лекция 8.Алгебраические критерии устойчивости
- •8.1. Понятие устойчивости системы
- •8.2. Алгебраические критерии устойчивости
- •8.2.1. Необходимое условие устойчивости
- •8.2.1. Критерий Рауса
- •8.2.2. Критерий Гурвица
- •Лекция 9.Частотные критерии устойчивости
- •9.1. Принцип аргумента
- •9.2. Критерий устойчивости Михайлова
- •9.3. Критерий устойчивости Найквиста
- •Лекция 10.D-разбиение. Запас устойчивости
- •10.1. Понятие структурной устойчивости. Афчх астатических сау
- •10.2. Понятие запаса устойчивости
- •10.3. Анализ устойчивости по лчх
- •Лекция 11.Качество сау
- •11.1. Теоретическое обоснование метода d-разбиений
- •11.3. Прямые методы оценки качества управления
- •11.3.1. Оценка переходного процесса при ступенчатом воздействии.
- •11.3.2. Оценка качества управления при периодических возмущениях
- •Лекция 12.Корневой и интегральный методы оценки качества сау
- •12.1. Корневой метод оценки качества управления
- •12.2. Интегральные критерии качества
- •Лекция 13.Частотные методы оценки качества
- •13.1. Теоретическое обоснование
- •13.2. Основные соотношения между вчх и переходной характеристикой
- •13.3. Метод трапеций
- •Лекция 14.Синтез сау
- •14.1. Синтез сау
- •14.1.1. Включение корректирующих устройств
- •14.1.2. Синтез корректирующих устройств.
- •14.2. Коррекция свойств сау изменением параметров звеньев
- •14.2.1. Изменение коэффициента передачи
- •14.2.2. Изменение постоянной времени звена сау
- •Лекция 15.Включение корректирующих звеньев
- •15.1. Коррекция свойств сау включением последовательных корректирующих звеньев
- •15.1.1. Включение интегрирующего звена в статическую сау
- •15.1.2. Включение апериодического звена
- •15.1.3. Включение форсирующего звена
- •15.1.4. Включение звена со сложной передаточной функцией
- •15.2. Последовательная коррекция по задающему воздействию
- •15.3. Коррекция с использованием неединичной обратной связи
- •15.4. Компенсация возмущающего воздействия
10.3. Анализ устойчивости по лчх
Оценку устойчивости по критерию Найквиста удобнее производить по ЛЧХ разомкнутой САУ. Очевидно, что каждой точке АФЧХ будут соответствовать определенные точки ЛАЧХ и ЛФЧХ.
Пусть известны частотные характеристики двух разомкнутых САУ (1 и 2), отличающихся друг от друга только коэффициентом передачи K1 < K2. Пусть первая САУ устойчива в замкнутом состоянии, вторая нет.(рис.79).
Если W1(p)- передаточная функция первой САУ, то передаточная функция второй САУW2(p) = KW1(p), гдеK = K2/K1. Вторую САУ можно представить последовательной цепочкой из двух звеньев с передаточными функциями K (безынерционное звено) иW1(p), поэтому результирующие ЛЧХ строятся как сумма ЛЧХ каждого из звеньев.
Поэтому ЛАЧХ второй САУ: L2() = 20lgK + L1(),
а ЛФЧХ: 2() =1().
Пересечениям АФЧХ вещественной оси соответствует значение фазы = -. Это соответствует точке пересечения ЛФЧХ = -линии координатной сетки. При этом, как видно на АФЧХ, амплитудыA1() < 1, A2() > 1, что соответствует на САЧХ значениямL1() = 20lgA1() < 0 и L2() > 0.
Сравнивая АФЧХ и ЛФЧХ можно заключить, что система в замкнутом состоянии будет устойчива, если значению ЛФЧХ = -будут соответствовать отрицательные значения ЛАЧХ и наоборот. Запасам устойчивости по модулюh1иh2, определенным по АФЧХ соответствуют расстояния от оси абсцисс до ЛАЧХ в точках, где = -, но в логарифмическом масштабе.
Особыми точками являются точки пересечения АФЧХ с единичной окружностью. Частоты c1и c2, при которых это происходит называютчастотами среза.
В точках пересечения A() = 1 = > L() = 0- ЛАЧХ пересекает горизонтальную ось. Если при частоте среза фаза АФЧХ c1 > -(рис.79а кривая 1), то замкнутая САУ устойчива. На рис.79б это выглядит так, что пересечению ЛАЧХ горизонтальной оси соответствует точка ЛФЧХ, расположенная выше линии = -. И наоборот для неустойчивой замкнутой САУ (рис.79а кривая 2) c2 <-, поэтому при =c2ЛФЧХ проходит ниже линии = -. Угол 1 = c1-(-)является запасом устойчивости по фазе. Этот угол соответствует расстоянию от линии = -до ЛФЧХ.
Исходя из сказанного, критерий устойчивости Наквиста по логарифмическимЧХ, в случаях, когда АФЧХ только один раз пересекает отрезок вещественной оси[-;-1], можно сформулировать так: для того, чтобы замкнутая САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы частота, при которой ЛФЧХ пересекает линию = -, была больше частоты среза.
Если АФЧХ разомкнутой САУ имеет сложный вид (рис.80), то ЛФЧХ может несколько раз пересекать линию = -. В этом случае применение критерия Найквиста несколько усложняется. Однако во многих случаях данной формулировки критерия Найквиста оказывается достаточно.
Лекция 11.Качество сау
11.1. Теоретическое обоснование метода d-разбиений
Изменение параметров САУ, например, с целью оптимизации, приведет к изменению коэффициентов уравнения динамики. Останется ли при этом САУ устойчивой - неизвестно. Критерии устойчивости об этом ничего не говорят. Рассмотрим метод определения границ допустимых изменений параметров, при которых САУ не теряет устойчивости.
Приведем характеристическое уравнение замкнутой САУ к виду:
D(p) = pn + c1 pn -1 + c2 pn-2 + ... + cn = 0,
где c0 = a0 /a0 = 1, c1 = a1 /a0 и т.д. При некоторых конкретных значенияхc1 ,c2 ,...,cn уравнение имеет единственное решение, то есть единственный набор корней (p1 , p2 ,...,pn). По их расположению на комплексной плоскости можно судить об устойчивости САУ при заданных параметрах. Если изменить какой-либо параметр САУ, например коэффициента передачи, то изменятся и коэффициенты характеристического уравненияD(p) = 0и станут равнымиcн1 ,cн2 ,...,cнn .Уравнение примет вид:
Dн(p) = pn + cн1 pn -1 + cн2 pn -2 + ... + cнn = 0.
Это уже другое уравнение и оно также имеет единственное решение(pн1 ,pн2 ,...,pнn ), отличающееся от(p1 ,p2 ,...,pn ). Если плавно менять значение параметра САУ, то коэффициенты уравнения тоже будут плавно изменяться, а его корни будут перемещаться по комплексной плоскости (рис.81).
Каждый уникальный набору коэффициентов c1 ,c2 ,...,cn можно изобразить точкой в пространстве коэффициентов, по осям которого откладываются значения коэффициентовc1 ,c2 ,...,cn . Так уравнению третьей степени соответствует трехмерное пространство коэффициентов (рис.82).
Пусть точка Nс координатами(cN1 ,cN2,cN3)соответствует уравнению, имеющему решение(pN1,pN2,pN3), точка M с координатами(cM1 ,cM2 ,cM3)соответствует уравнению, имеющему решение(pM1 ,pM2 ,pM3). При изменении какого-либо параметра САУ коэффициенты характеристического уравнения будут изменяться, при этом точка в пространстве коэффициентов, соответствующая данному уравнению будет перемещаться по некоторой траектории, например из положенияNв положениеM. Этому перемещению будет соответствовать и перемещение корней(pN1,pN2,pN3)на комплексной плоскости в положение(pM1 ,pM2 ,pM3)(аналогично рис.81).
При этом движении некоторые корни будут переходить через мнимую ось комплексной плоскости из левой полуплоскости в правую и наоборот. В момент перехода такой k-й корень примет значениеpK = jK, а коэффициенты уравнения будут иметь определенные значенияcK1,cK2,cK3, определяющие в пространстве коэффициентов точкуK. Подставим кореньpKв характеристическое уравнение, получим тождество:
D(pK ) = (jK)3 + cK1(jK)2 + cK2 (jK ) + cK3 = 0
Меняя w от -до +, и находя при каждой частоте все возможные сочетания коэффициентовc1 ,c2 ,...,cn, удовлетворяющих уравнению
D(j) = (j)n + c1 (j)n-1 + c2 (j)n-2 + ... + cn = 0,
можно построить в n-мерном пространстве коэффициентов сложную поверхностьS, разделяющую его на области, называемоеD-областями. Полученное уравнение называетсяуравнением границы D-разбиения.
Переход из одной D-области в другую через поверхностьSсоответствует переходу одного или нескольких корней через мнимую ось в плоскости корней. То есть каждая точка внутри определеннойD-области соответствует уравнению с определенным количеством левых и правых корней. Поэтому области обозначаютD(m)по числу m правых корней.
Достаточно взять любую точку в пространстве коэффициентов и найти для нее число правых корней. Затем, двигаясь по пространству коэффициентов через границу S, можно выявить обозначения всех других областей. Особый интерес представляет областьD(0), которой соответствуют уравнения с полным отсутствием правых корней, называемаяобластью устойчивости. Описанный метод определения областей устойчивости называетсяметодом D-разбиений.
Не обязательно строить сложную n-мерную картинуD-разбиения, можно изменять значения, например, только двух коэффициентов, оставляя другие коэффициенты постоянными. ГраницуD-разбиенияSможно строить не только также и в пространстве конкретных параметров системы, от которых зависят данные коэффициенты.
11.2. D-разбиение по одному параметру
Пусть необходимо выявить влияние на устойчивоять САУ, например, коэффициента усиления K. Приведем характеристическое уравнение к видуD(p) = S(p) + KN(p), выделив члены, не зависящие от Kв полиномS(p), а в остальных членах, линейно зависящих отK, вынесем его за скобки. ГраницаD-разбиения задается уравнением
D(j) = S(j) + KN(j) = 0, => K = -S(j)/N(j) = X() + jY().
Изменяя w от -до +, будем вычислятьX()иY()и по ним строить точки границыD-разбиения. Пространство коэффициентов представляется системой координатX-Y(рис.83а). Обычно строят только половину кривой (= [0, +), другую половину достраивают симметрично относительно вещественной оси.
Если в плоскости корней двигаться вдоль мнимой оси от -до +и штриховать ее слева (рис.83б), то это будет соответствовать движению вдоль линииD-разбиения при изменении w от -до +и штриховке ее также слева. Переходу корня в плоскости корней из штрихованной полуплоскости в нештрихованную вдоль стрелки 1соответствует аналогичный переход через границуD-разбиения вдоль стрелки1, и наоборот. Если пересекается область с двойной штриховкой (точкиA, В, C), то в плоскости корней мнимую ось пересекает пара комплексно сопряженных корней.
Если известно количество правых корней, соответствующее хотя бы одной D-области, то двигаясь от нее через границы с учетом штриховок, можно обозначить все остальные области. Область с наибольшим количеством штриховок является претендентом на область устойчивости. Нужно взять любую точку из этой области и при соответствующем значенииKпроверить систему на устойчивость любым методом.
Есть одна особенность. Так как K- вещественное число, тоY() = 0,поэтому нас интересует не вся область устойчивости, а лишь отрезок вещественной оси в этой области, то естьK = X().