Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

40	Глава 1.3. СВЯЗЬ КОМПОНЕНТОВ НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ ДЛЯ УПРУГОГО ТЕЛА

3	а^а
Ла 11 ^	2

1 + V ^Xj

{2-v)—L + V

1 - V 5Хо дХ'3 ;

3 а а

ACJ22 + -

1 + V дх-^

	( 2 - v )		-I-V	^ а ^ ^ а х з^
1 - V		дх^		дх^	дх-		;
					3
	3	д G
Лсгзз	+ -
	1 + V 5X3
	( 2 - v ) дХ, • + V ^aZi				0X2^
1 - V		дх-х	^дх,		дХ'2		/
AcTi2	3	да	dXi		dX'j
	+ -			L+	éL
	1 + V ох^дХ2		^дХ2		дх^	j
	3	d^G	{ дх.		дХ^	\
Аа^3+-				L.^.	2.
			удх^		axj J
	1 + V 5x^^X3
	3	а^а	(	дх2	а^з	\
Аа2з	+-
			^ахз		ах2;
	1 + V 5X2^X3

^Ж^^^^^^^Х,=0;

		дх.		ахо			дхг>
	да21			да22			да23	+ Х. =0;
		axi		дх-.			дХг,
	да31			да32			да33	+ Хз=0.
		axi		ахо			ах.
	С и л о в ы е г р а н и ч н ы е										у е л о
	В И Я н а	ч а с т и			п о в е р х н о с т и						^S*!:
	^vl	= ^vl ^			^v2 =		^v2 ^		^v3	=	^v3,
	где
	^vl		= ^ l l ^ v l			+^12^v2		+^13^v3'
	Kl		=^21^vl			+^22^v2		+^23^v3^
	Кз		= ^31^vl			+^32^v2		+^33^v3-
	К и н е м а т и ч е с к и е								г р а н и ч н ы е
	у с л о в и я		н а		ч а с т и			п о в е р х н о с т и
		и^	= и^;		U2=		U2\ «3		= " з -
	Г е о м е т р и ч е с к и е								с о о т н о ш е
	н и я:		а«1 .				a«2			du 3 .
	811	=
			axi	'	^22	-	"ахо	^33		дх-х
	^12		awj			ам2
		- •				ах1 J
			ахл

где

	2	2	2
^ ^ Стп + ^ 2 2 -^^33 .	д ^ а	а	а
3	2""^	2* "^	Т
	axj	âx:2	а^з

Система шести дифференциальных уравне­ ний (1.3.34) содержит шесть неизвестных компо ­ нентов напряжения а,у и может быть использо­ вана для решения прямой задачи теории упру­ гости.

1.3.7. ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в н е ­ н и я р а в н о в е с и я п о о б ъ е м у т е л а :

-13		ди^	а^з
		ах^		a^i1 ;
	1	aw^		du
823	- -	ахз		0X2
Ф и з и ч е с к и е				у р а в н е н и я :
Qii =	dW	; ai2	=	dW	;---,'сг2з =	dW .
Ml	су&ц			a8i		авл^^23
				^ 1 2

Для физически линейной задачи связь между компонентами напряжения и деформации определяется соотношениями закона Гука для изотропного тела (1.3.26).

Компоненты перемещения, деформахщи и напряжения истинного равновесного состояния геометрически линейной задачи теории упругос­ ти должны удовлетворять всей совокупности выписанных выше уравнений и соотношений .

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ УПРУГОСТИ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

41

Глава 1.4

шении задач механики деформируемых сред.

Ниже приведено краткое их содержание, проил­

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И

люстрированное примерами.

СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ,

1.4.1. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ И

ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ

И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

Линейно и нелинейно деформируемые упру­

ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

гие системы. Совершенно упругие тела делятся

на два класса: линейно деформируемые и нели­

Состояние

статического

равновесия

или

нейно деформируемые. У линейно деформируе­

мых систем зависимость между внешними на­

движения деформируемых систем наряду с диф­

грузками

и

перемещениями

(деформациями,

ференциальными уравнениями можно описывать

напряжениями,

внутренними

усилиями) линей­

с помощью вариационных принципов. Так, по­

на.

Для

линейно

деформируемых

систем

все

ложение

равновесия

консервативной

системы

основные

уравнения: равновесия; совместности

есть положение, в котором сумма работ всех сил

деформации

и

физические,

составленные

для

(внутренних

и

внешних) системы

имеет

мини-

рассматриваемой конструкции,- линейные.

магшное значение.

Обобщенные перемещения и обобщенные си­

Указанное

положение

позволяет

заменить

лы. Под

обобщенными перемещениями понимают

проблему

решения

систем

дифференциальных

такую совокупность некоторых независимых

па­

уравнений

равновесия

рассматриваемого

тела

раметров,

которая

вполне определяет

переме­

проблемой

определения

функций,

обеспе­

щения всех

точек

рассматриваемого

тела. При

чивающих минимум некоторого функционала, в

этом произвольные

изменения обобщенных

пе­

данном случае

суммой

работ всех

сил,

дейст­

ремещений (координат)

не приводят

к наруше­

вующих на систему. Для определения

этого ми­

нию

кинематических

связей,

наложенных

на

нимума используют так

называемые

прямые ва­

систему.

риационные методы, основы которых были зало­

1.

Если

перемещения

свободно

жены в работах Рэлея и Ритца.

Пример

опертой балки длиной / представить в виде

В общем случае все основные уравнения

А

. кжх

механики деформируемого твердого тела или

У

,

любую их часть можно заменить условием ста­

yv(x) =^

qj^ sm

ционарности некоторого функционала.

Использование

вариационных

принципов

то в соответствии с данным выше определением

позво7[яет получить приближенное решение кра­

коэффициенты qtc можно рассматривать в каче­

евых задач механики твердого деформируемого

стве обобщенных координат.

тела по существу с любой наперед заданной точ­

Обобщенные силы Qjç не могут задаваться

ностью.

произвольно, а должны соответствовать выбран­

В настоящей главе для сплошных тел, на­

ным обобщенным координатам qjç. По определе­

ходящихся в равновесии, формулируются два ос­

нию, обобщенная сила Qk есть коэффициент

при

новных вариационных принципа: принцип воз­

приращении обобщенной координаты bqjç в об­

можных перемещении и принцип возможных напря­

жений. Приведены некоторые обобщения этих

щем выражении для работы всех внешних сил,

приложенных к системе, на этом перемещении:

принципов.

8Ufc=Qf^qk-

(1.4.1)

В общем случае оба основных вариацион­

ных принципа носят статико-геометрический ха­

Пример 2. На балку, изображенную на рис.

рактер, т.е. справедливы при любых свойствах

1.4.1, действуют распределенная нагрузка интен­

материала тела. Каждый вариационный

принцип

сивностью q(x) , сосредоточенная сила Р в сече­

утверждает,

что

для

некоторого

класса

задач,

нии X = Cl и момент M в сечении х ~ С2. Упругая

если заданы условия

задачи,

из

всех

мыслимых

линия балки представлена в виде

состояний (процессов), совместимых с этими

условиями, в действительности реализуется такое

>^(^) = £ ^ У ^ Ф Л 4

состояние (процесс), которое придает опреде­

ленному, характерному для этого принципа и

к=1

класса задач, функционалу стационарное значе­

где ipk(x) - известные координатные функции

ние.

(см. п. 1.4.2).

Иногда, о чем уже упоминалось выше,

Требуется найти обобщенные силы Qfç.

можно говорить не о стационарном, а об экстре­

ки

Р е ш е н и е . Вариация перемещения бал­

мальном значении функционала.

Вариационные принципы позволяют с еди­

ом;(х) = ^59^Ф^(4

ных идейных позиций рассмотреть поведение

совершенно

различных

физических

процессов.

*=!

Они нашли

широкое

использование

и

при

ре­

42	Глава 1.4. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ УПРУГОСТИ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
	формации по обобщенной координате равна соот­
	ветствующей обобщенной силе
	— = Qk.	(1-4.2)

•(и\\\\		\\\	\\л\	T T N - ,
1 .	'''	г\	^
		^^
		i
\z
	Рис. 1.4.1. К определению обобщенной силы Qff
	На этой вариации перемещения внешние
силы совершают работу
	|^(х)ф^ ( х ) ^ + Рф^ (cj ) + Л/фЦсз) ^^k-
	Â : = l
Отсюда согласно (1.4.1)
	/
Qk	=\^{x)<pj^{x)dx		+ PiÇj^{c^) + mi^'j^[c^\

где 77 = 111 WdV - потенххиальная энергия тела.

V

Теорема Кастильяно. Частная производная от дополнительной потенциальной энергии тела по обобщенной силе равна соответствующему этой силе обобщенному перемещению

дП'

		= ^^,	(1.4.3)
где 77' =	111 W'dV	- дополнительная	потен­
циальная энергия тела.			системы
Для	линейно	деформируемой
17'^= Пи,	следовательно, формула (1.4.3) преоб­
разуется к виду
	а77
		= qj,,	(1.4.4)

Пример 4, Воспользовавшись теоремой Ка­ стильяно, найти прогиб призматической кон­ сольной балки, изображенной на рис. 1.4.2, в сечении х = /.

	Пример 3. Тело загружено объемными си­
лами	Х Д / = 1,2,3)	и поверхностными	си­	7''CÛ/7St	L		P
лами	F^Ai = 1,2,3) на	части поверхности	тела			1
Si. Компоненты перемещения заданы в виде			'А1	^			\
							X
	ОО		0'^	fj^const

«/(^» У^ z) = J^^ifc^iki''^ У^ z\ О' = 1> 2, 3),

1

где ф^^(х,>',^) - координатные функции.

Требуется найти обобщенные силы G/^f Р е ш е н и е . Вариация перемещения

ОО

ъи^{х,у,1) = Y,^gik^ik{x.y,zy

k=l

На этой вариации перемещения внешние силы совершают работу

\fz

Рис. 1.4.2. К определению прогиба w(l)

Р е ш е н и е . Принимая в качестве обоб­ щенной силы силу Р, ]Щ5И линейно деформируе­ мой системы согласно формуле (1.4.4)

sî/ = X

k=l V	s,	J
Отсюда

дР

Потенциальная энергия балки, если огра­ ничиться лишь учетом энергии изгиба.

V	S^	П = -	^-^dx
Теорема Лагранжа. В положении равновесия		li	Ej
тела производная от	потенциальной энергии де-	и, следовательно.

ПРИНЦИП возможных ПЕРЕМЕЩЕНИЙ	43

	,,	^гМ(х)оМ(х) ^
	W		EJ		дР
		о
	Подставляя сюда выражение для изгибаю­
	щего момента			+ я{^-Г
	М{х)=Р{1-х)
	получаем		'Pl'		ql'
	.(/)	=
				3	8
		EJ ч

Если в состав нагрузки рассматриваемой системы обобщенная сила, соответствующая ис­ комому перемещению, не входит, следует ввести в систему фиктивную силу Оф, которую после нахождения общего выражения для обобщенного перемещения положить равной нулю, т.е.

	dn'
^ô* =	(1,4.5)
	ЩФ /
	оф=0

Если первое состояние тела вызывается действием объемных (Х'п и поверхностных

iFl^i) сил (вызываемые их действием перемеще­ ния равны и\), а второе состояние тела вызыва­ ется силами Х" и F!^^ (вызьшаемые этими сила­ ми перемещения равны «J), тогда на основании (1.4.7) можем записать

V	s	V
^fj^v>;dS.		(1.4.8)

Еще одна формулировка теоремы о взаим­ ности работ может быть получена непосредст­ венно из (1.4.8):

JJj4.s;.^F=jJJa'.s;.^F. (1.4.9)

Теорема о наимеш»шеи работе. Истинные

1.4.2. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

значения лишних неизвестных (реакции статически

неопределимой системы, значения которых не

Принцип ВОЗМОЖНЫХ перемещений. Рассмот­

могут быть определены из уравнений равнове­

рим некоторое тело, загруженное объемными си­

сия)

соответствуют условию

стационарностилами Х^ и поверхностными

F^^ на части повер­

дополнительной потенциальной энергии тела:

хности S\. Оставшаяся часть поверхности тела -52

bn\Q,R)=0.

(1.4.6)

имеет заданные перемещения (кинематические

Здесь

дополнительная

потенциальная

энергия

граничные условия)

П' должна быть представлена

в виде

функции

u^ = W) наЛ2

(1.4.10)

внешней нагрузки Q и лишних реакций R.

Тогда согласно принципу возможных пе­

Для линейно деформируемой системы за­

ремещений для тела, находящегося в положении

висимость (1.4.6) преобразуется к виду

равновесия, сумма работ всех действующих на

оя(е,л)

= о.

(1.4.6')

него внешних (SU) и внутренних (-6/7) сил на

Теорема о взаимности работ для ливейно де­

любой системе возможных

перемещений

равна

нулю:

формируемой системы.

Рассмотрим для

такой

5 Я - 5 ^ / = 0 ,

(1.4.11)

системы два равновесных состояния. Первое

где

состояние вызывается приложением к системе

dn = jjja,j5z,jdV

(1.4.12)

(телу)

обобщенныхсил

Q JA: = l,/wi;

второе

состояние вызывается приложением к телу

обобщенных сил Rj\j

- 1,л). Теорема о взаим­

- приращение потенхщальной деформации тела;

ности работ гласит: при действии на линейно де­

+ jJF^^du^dS

(1.4.13)

формируемое тело поочередно двух систем нагрузок Ьи = jjjXibu^dV

работа сил первого состояния

{Qk) на

соответ­

работа внешних объемных и поверхностных

ствующих им перемещениях

-

(г^), вызванных дей­

сил на возможных перемещениях.

ствием сил второго состояния, равна работе сил

С учетом (1.4.12) и

(1.4.13)

зависимость

второго состояния (Rj) на соответствующих им

(1.4.11) примет вид

перемещениях {qj), вызванных действием на тело

- jJF^^bu^dS = 0.

сил первого состояния:

jjj^ybsydV - jjjX^bu^dV

T^л

H^j^r

(1.4.7)

(1.4.14)

Вариационный

принцип,

выраженный

 : = l

; =i

формулой (1.4.14), часто именуют принципом

Лагранжа. В такой формулировке принцип мо-

44 Глава 1.4. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

жет быть использован для решения				геометричес­	" / ( ^ 1 ' ^ 2 ' ^ з ) - ^ / о ( ^ 1 ' ^ 2 ' ^ з ) •
ки и физически нелинейных задач.
Выполнение условия (1.4.14) приводит к
тождественному	выполнению		всех	уравнений
равновесия по объему тела и естественных						к=\
(силовых) граничных условий на части поверх­
ности Si. Поскольку решение уравнения (1.4.14)					^Jl^/iki^h	^ъ ^з)> (^=1, 2, ..., Щ - система так на­
строится на классе		геометрически		возможных	зываемых координатных функций, удовле1ъо-
перемещений и, следовательно, условия сплош­					ряющих условиям Jшнeйнoй независимости и
ности тождественно вьшолняются, то компонен­					полноты	[3, 23]; ацс - параметры, подлежащие
ты перемещения	w, (z	= 1, 2,	3), удовлетворяю­		определению.

щие уравнению (1.4.14), будут истинными.

Выражение

(1.4.20)

должно

удовлетворять

Функция работы внешних сил. Для сил, из­

при произвольных значениях параметров ацс

менением величины и направления действия ко­

условиям (1.4.19). Это, в частности, будет вы­

торых при возможных перемещениях можно

полнено,

если

функции

ид) и fnç

удовлетворяют

пренебречь, при использовании принципа воз-

следующим дополнительным условиям:

можньос перемещений

удобно ввести в

рассмот­

" / 0 = " / 0 ^

fik

= 0 е 5 2 .

рение функцию работы внешних сил

При соблюдении этих условий вариации

и

= jjjX^u^dV + jJF^^u^dS.

(1.4.15)

перемещений ôi// будут удовлетворять

граничным

V

s,

условиям

Ъи^ = О е

^2

(1.4.21)

с

учетом выражения (1.4.15)

зависимость

и, следовательно,

могут приниматься

в

качестве

(1.4.14) перепишется в виде

возможных перемещений.

6^1 = 0 ( Я -

t^ =

0,

(1.4.16)

где

В

отдельных

случаях

при применении ва­

риационных методов, в частности метода Ритца,

можно

получить

вполне

удовлетворительную

V

S,

точность

при

использовании

в выражениях

(1.4.20) систем функций, не удовлетворяющих

(1.4.17)

- полная энергия деформируемого тела.

условиям

полноты.

Для отыскания постоянных ai^ следует

Таким образом, в состоянии равновесия

предварительно получить

выражения

щт

потен­

полная энергия 3i рассматриваемой системы

циальной

энергии

77 и работы внешних

сил U в

принимает стационарное значение. При этом

функции от компонентов

перемещения.

возможны следующие формы равновесия:

Подстановка выражений (1.4.20) цдя. ком­

устойчивое v9j = min,

дЭ^

= 0 ,

ô

2Э^ > 0;

понентов перемещения в основное уравнение

52Э^

принципа Лагранжа (1.4.16), если учесть произ­

неустойчивое

Э^ = т а х , ЪЭ^ = 0 ,

<0;

вольность

вариаций

Ъа^с,

позволяет

получить

2

систему основных уравнений метода Ритца:

безразличное

Э^ = const,

ЪЭ^ = О,

Ô

3^=0.

д[П -и)

= 0,

(1.4.22)

(1.4.18)

даik

Приведенные условия составляют

сущность

принципа Дирихле, представляющего собой дос­

таточный критерий для оценки состояния равно­

дп -\\\^ifik<iy-\\F.ifikdS-^^

весия рассматриваемого тела.

В следующих нескольких параграфах изла­

(1.4.23)

гаются приближенные методы, основанные на

использовании принципа возможных перемеще­

ний.

(/ = 1,2,3;Â: =

1 , 2 , . . . , 7 V , . )

1.4.3. МЕТОД РИТЦА (24, 27, 35, 37, 42, 51]

для определения неизвестных параметров aïk.

Расчетный алгоритм метода Ритца очень

Основные положения метода. Пусть имеется

прост и включает выполнение следующих ос­

тело, загруженное

объемными

Х^

и

поверх­

новных операций:

1) выбор координатных функций //д; и за­

ностными F^^ силами на части

поверхности Si.

пись на их основе выражений (1.4.20) для ком­

На оставшейся части поверхности ^2 наложены

понентов перемещений щ\

определенные геомет{)ические связи

2) подстановку выбранных выражений для

и^ =й^

( / = 1 , 2 , 3 ) .

(1.4.19)

перемещений в уравнения

метода

Ритца

(1.4.22)

или (1.4.23). После выполнения всех необходи­

Неизвестные

компоненты

перемещений

мых вычислительных операций получаем систе­

"/(^ь ^2» ^з) находят в виде

му линейных

(для

линейных задач)

или пели-

МЕТОД РИТЦА

45

нейных алгебраических уравнений относительно параметров aïk;

3)определение параметров fl/jt из совмест­ ного решения системы алгебраических уравне­ ний, полученных в п. 2;

4)определение компонентов перемещений по формулам (1.4.20);

5)определение интересующих компонентов деформации и напряжения по найденным в п. 4 компонентам перемещения с помощью соответ­ ствующих зависимостей теории упругости.

Выбор координатных функции. Степень ус­ пешности применения метода Ритца для реше­ ния практических задач во многом зависит от того, насколько удачно выбрана система коорди­ натных функций. Разумно выбранная система координатных функций позволяет ограничиться в решении малым числом членов ряда и суще­ ственно сократить объем вычислений.

В качес1ъе координатных функций при решении одномерных краевых задач используют степенные, показательные, тригонометрические и специальные функции. Однако не всегда мож­ но в чистом виде какую-либо из упомянутых вьпие систему функций принять в качестве координатньБс. Систему координатных функций часто приходится строить непосредственно при решении задачи. При решении двух- и трехмер­ ных задач координатные фунющи, как правило, задают в виде произведения одномерных функ­ ций.

Пример 1. Построить систему координат­ ных функций для аппроксимации прогиба бал­ ки, один конец которой жестко заделан, а вто­ рой - свободно оперт на жесткую опору (см. рис. 1.4.3).

^

к=3 к=Ъ

В результате упругая линия балки примет вид

к=Ъ

Отсюда искомое выражение для координатных функций

/,{х)=х'[х'-'-1'-^],{к=ЪЛ..).

Каждая из функ1щй fj^x) удовлетворяет всем кинематическим условиям задачи:

Л(о) = о;/Ио) = о;/Л0 = О' (* = з,4,...).

Пример 2. Определить упругую линию не­ призматической балки жесткостью на изгиб EJ(x), лежащей на сплошном упругом основании переменной жесткости к{х). Внешняя нагрузка и условия закрепления балки показаны на рис. 1.4.4. Здесь через с^ обозначен коэффихщент податливости упругой заделки, а через А - коэф­ фициент податливости упругой опоры.

W

1Рис. 1.4.4. К расчету балки по методу Ритца

Ре ш е н и е . Из граничных условий балки лишь условие w(0)=0 является кинематическим. Оно удовлетворяется, если выражение для упру­ гой линии балки задается в виде суммы

Рис. 1.4.3. К определению координатной фунюши

Р е ш е н и е . Граничные условия такой

балки: при JC=0 W=W_-0; при х=1 }v=w'-0.

Подчеркнутые граничные условия являются кинематическими. Их выполнение при выборе координатных функций в методе Ритца является обязательным.

Зададим упрухую линию балки в форме степенного ряда

^w = £^^^^-

Â:=0

Кинематические условия при jc=0 удовлетворя­ ются, если положить ao=ai=0.

Подчиняя далее полученное выражение для w(x) условию w(/)=0, получаем

^М = Е^^Л(4

0-4.24)

А:=1

где/^(х)=х^^ (А: = 1,2,...,7V).

Определим предварительно значение фун­ кционала Э\^П - и.

Потенциальная энергия деформации П складывается из потенциальных энергий изгиба балки, упругого основания, упругой заделки и упругой опоры:

, /	/
0	" о

(1.4.25)

2М 2А

46	Глава 1.4. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

Силовая функция внешних сил U содержит члены, учитьшающие работу поперечной нагруз­ ки q{x), сосредоточенной силы Р и момента М\

I

и = \q{x)w{x)dx + Pw{c^) - ^fw'{c2). (1.4.26)

О

при определении знака для каждого слага­ емого в (1.4.26) учтено, что работа положитель­ на, если направление действия нагрузки совпа­ дает с положительным направлением перемеще­ ния, на котором эта нагрузка совершает работу.

Подставляя (1.4.24) в выражения (1.4.25) и (1.4.26), получаем

1	N N		N
	1У	1У	1У
^ k=l /=1			к=1
где
/
A^=JEJ{x)f;^{x)fr{x)dx			+
О
/
+ jk{x)f,{x)f,{x)dx			+

сА А

I

Вк = Jф)ЛW^^^^4^l)-^^Д^2)•

Воспользовавшись далее уравнениями ме­ тода Ритца (1.4.22), получаем систему уравнений для определения параметров а^:

YA,,a,=B„{k = \,l,...,N).

ы\

Зная параметры ajç, с помощью выражения (1.4.24) находим упругую линию, а затем, при необходимости, и все остальные элементы изги­ ба балки.

задачи линейной теории упругости она имеет вид

ш -JL + X, L,dV-jf{oyl^j-F^,)bu,dS^O,

	'I
(/=1,2,3).	(1.4.27)

Уравнение (1.4.27) можно трактовать как условие равенства нулю суммы работ всех вне­ шних и внутренних сил упругой системы на соответствующих возможньос перемещениях.

В уравнениях (1.4.27) в круглых скобках под знаком интеграла стоят соответственно ос­ новные уравнения равновесия объемной зада^ш теории упругости и силовые (естественные) гра­ ничные условия.

Для задач нелинейной теории упругости входящие в (1.4.27) линейные уравнения равно­ весия и 1раничные условия следует заменить на соответствующие нелинейные зависимости.

Внося сюда выражения для вариахщй пере­ мещений (1.4.20)

ô«/ = 1.^^/^^П^1'^2'^з)' О* = 1'2,3)

к=1

и учитывая произвольность и линейную незави­ симость между собой 8ацсу получаем систему уравнений обобщенного метода Бубнова - Га­ леркина

ш		\
	дХ;	kife(^P^2>^3y^-|J(Vy/- -^v/)'
xf,,{x^,X2,x^)dS^0,			(1.4.28)

(/=1,2,3;Х: = 1,2,...,А^.).

Последовательно используя физические уравнения и геометрические соотношения, урав­ нения равновесия и сшювые граничные условия можно переписать в перемещениях:

Л ( « р " 2 ' « з ) + ^ / = О е К ;	(1.4.29)
^ / ( « 1 ' " 2 ' " з ) - Д ; / = 0 G 5 ' I , ( / = 1 , 2, 3),	(1.4.30)

1.4.4. ОБОБЩЕННЫЙ

МЕТОД БУБНОВА - ГАЛЕРКИНА [37, Щ

Основные положения метода. Обобщенный метод Бубнова - Галеркина является, по суще­ ству, necKOJHïKO иной формой записи основных уравнений метода Ритца (1.4.22).

_Пусть имеется тело, захруженное объемны­ ми Х^ и поверхностньв1И 7^^^ силами на части поверхности ^^i. На оставшейся части поверхнос­

ти S2 наложены геометрические связи (1.4.21).

В качестве неизвестных компонентов пере­ мещений принимаются, как и в методе Ритца, выражения (1.4.20).

Система основных уравнений метода может быть получена непосредственно из (1.4.22). Для

где Ai и Bi - некоторые дифференциальные опе­ раторы.

Тогда уравнения метода Бубнова - Галер­ кина (1.4.28) примут вид

JlJ[Ai{u^,U2,u^)+Xi]fif^{x^,X2,x^yiV-

V

(/• = 1,2,3;

k =

l,2,...,N,).

(1.4,31)

МЕТОД БУБНОВА - ГАЛЕРКИНА

47

Подставляя в уравнения (1.4.31) вьфажение (1.4.20) для I//, после вьшолнения операп>1Й ин­ тегрирования получаем систему алгебраических уравнений для определения неизвестных пара­ метров flifc.

Пример. Для консольной призматической балки (рис. 1.4.5), загруженной на конце силой Р, требуется с помощью обобщенного метода Бубнова - Галеркина определить приближенное выражение упругой линии

w{x)	= a^4>i{x) +a24>2{x),	(1.4.32)
гдеф^(х)=х	; ф 2 ( х ) = х .

пг| J и I I I I I I , Uii11 _l

JUL

/

^-i-

и

Рис. 1.4.5. К расчету балки обобщенным методом Бубнова - Галеркина

Ре ш е н и е . Выпишем уравнение изгиба

играничные условия балки.

Уравнение изгиба балки

EJw^ (х) - q[x) = 0.

(1.4.33)

Нагрузка д(х) включена для удобства дальнейших рассуждений.

Граничные условия с учетом правила зна­ ков для изгибающих моментов и перерезываю­ щих сил запишутся так:

при х = 0	W =0, w' = 0;
при X = /	М- EJw" = 0, Р + EJw'" = 0.

Для рассматриваемой балки М=0. Выражение (1.4.32) для балки удовлетворя­

ет двум кинематическим граничным условиям при дс=0; оба же силовых граничных условия при хЧ оказываются невыполненными.

Уравнение обобщенного метода Бубнова - Галеркина (1.4.31) применительно к рассматри­ ваемой задаче запишется в виде

-J(EJW^^ - q\wdx - \[EJW' - M)bw'\ _ +

f|(£/>v" + P)bw\

= 0,

(1.4.34)

Для избежания ошибки в выборе знака (+ или -) перед каждым членом уравнения метода Бубнова - Галеркина рекомендуется ориентиро­ ваться на знак работы, совершаемой внешними

силами. В рассматриваемом случае поперечная нагрузка д(х), сила Р и момент M производят положительную работу.

Поскольку для рассматриваемой задачи д(х)=0, М=0, уравнение (1.4.34) запишется так:

/

JEJw^{x)5w{x)dx -h\EJw''dw'\^_^ -

-|(^/w''+ P)ô>v| _ =0 .

Из этого равенства, ecim учесть выражение (1.4.32), получаем для определения неизвестных

ai и 02 следующие два уравнения:

/

îEJw (x^ip^^x^dx+\EJw''(p[\ _ ~

о

/

-|(£/».-+ф,|^_^=.0.

Подставляя сюда w(x) и вьшолняя все не­ обходимые операции, получаем

		Pi	PI
	4а^ +6/^2 = —		; 6^1 +12/^2 = — ,
	откуда	Е/	EJ
		Р1	Р1
	«1 =
		2EJ	6EJ

и, следовательно.

PI,3 (

w{x)^

6EJ t f

Полученное выражение является точным решением рассматриваемой задачи.

1.4.5. МЕТОД БУБНОВА - ГАЛЕРКИНА [21, 24, 37, 42, 51]

Если выбранные выражения (1.4.20) для перемещений щ наряду с кинематическими (главными) граничными условиями удовлетво­ ряют также и силовым (естественным) условиям, то в уравнениях обобщенного метода Бубнова - Галеркина (1.4.31) поверхностные интегралы исчезают, и уравнения принимают вид

ЩЛ(«р"2'«з) + ^/]/}И^1'^2^^з)^^ = 0

(/ = 1,2,3; к =1,2...).

(1.4.35)

48	Глава 1.4. ОБЩИЕ ТЕОРЕ]ЙЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

Уравнения (1.4.35) являются уравнениями

метода Бубнова - Галеркина. Внося (1.4.20) в

(1.4.35), получаем систему алгебраических урав­ нений для определения неизвестных параметров auc, которые входят в выражения (1.4.20) для перемещений Utixu Х2, хз).

Метод Бубнова - Галеркина применим и для приближенного решения дифференциальных уравнений, необязательно связанных с какойлибо вариационной проблемой.

Пример 1. Найти прогиб призматической свободно опертой балки жесткостью на изгиб EJ, загруженной равномерно распределенной на­ грузкой интенсивностью д.

Р е ш е н и е . Изгиб рассматриваемой бал­ ки описьюается дифференциальным уравнением

Erw^{x)-q	= 0
при граничных условиях х = 0,х		= l:w = w" = 0.
Прогиб ищем в виде
	кюс
Н-)= Z ai, sin-		(1.4.36)
Â:=l,2...	/

Выражение (1.4.36) удовлетворяет всем граничным условиям. Это позволяет для опреде­ ления параметров а/с воспользоваться методом Бубнова - Галеркина:

fr^/vv^(x) - q]sm — dx = О, (/ = 1,2,.-- ,°о),

О

летворяющего всем граничньп^ условиям. В этом случае целесообразно воспользоваться следую­ щим приемом.

^ . - <tf	f Y t Y '	1 ' f 1	1		'
				' Y
^		EJ^const			^^

\z

Рис. 1.4.6. К расчету балки методом Бубнова - Галеркина

Решение уравнения (1.4.37) ищется в виде

оо
w{x) = WQ{X) + J]af^cp^{x),	(1.4.39)

k=l

где (pk(x) - функции, образующие полную систе­ му и обладающие, по возможности, свойством ортогональности; щ{х) - некоторая функция, выбираемая так, чтобы при уже выбранной сис­ теме функций (ркЦх) выражение (1.4.39) удовлет­ воряло всем граничным условиям (1.4.38).

Подставив сюда выражение для прогиба из	Для рассматриваемой задачи функцию
(1.4.36) и вьшолнив необходимые вычислитель­	щ(х) можно задать полиномом третьей степени,
ные операции, найдем значения параметров а/с, а	а ipjdx) выбрать в виде синусов кратных аргумен­
затем выражение для прогиба балки	тов. Тогда

w(x) = 4^/^	^	1 .		itec
^ ^ ^	)t=l,2,...	^'	-sm-	/

Ряд, стоящий в правой части, суммируется в замкнутом ввде, и поэтом< у

(	2	з^
w\	l	Г
24EJ l

что является точным выражением для прогиба рассматриваемой балки.

Промер 2. Найти прогиб призматической балки, левый конец которой свободно оперт, а правый - жестко заделан. Поперечная нагрузка изменяется по закону q(x)=qx/l (рис. 1.4.6).

Р е ш е н и е . Изгиб балки описывается дифференциальным уравнением

EJw'^{x) •^— = 0	(1.4.37)
/
при граничных условиях
X = 0:w = w' = 0; х = l: w=w' = 0.	(1.4.38)

Может оказаться затруднительным предста­ вить функцию w{x) ъ форме ряда (1.4.20), удов-

X	X	-^	-^		"^	кпх
			X
(х)=С1+С2 - + Сз — +С4 — +					]^а^ sm-
/		Г	Г		к=1	I
						(1.4.40)
Подчинив	(1.4.40)
			граничным условиям
(1.4.38), получим
w{x)
l
где						(1.4.41)
			hoc
lW = Z^^sm-				l
		k=\

Внося (1.4.41) в уравнение (1.4.37), получа­

ем

EJw^ {x)-q— = Ç).

Интегрируя полученное уравнение по ме­ тоду Бубнова - Галеркина, получаем систему уравнений для определения неизвестных пара­ метров:

Полученное выражение для прогиба является точным рещением рассматриваемой задачи.

1.4.6. МЕТОД ТРЕФФЦА [32, 37, 46, 50, 51]

МЕТОД ВЗВЕШЕННЫХ НЕВЯЗОК

49

^ Z ^ A	^кп^'	sin	кпх	X	sin	пае ,
			l	q —		ах = 0
				l
Отсюда
		2 /		(-1)""^
	^/t =	5		к
и далее		%~EJ
ql	X ( X 2					k+\
9QEJ l
knx
xSin	,

/

ИЛИ, если учесть, что ряд в правой части сумми­ руется в замкнутом виде,

	qlА (	2 ^^
W	W 120EJ I	1--
		Г

1.4.7. МЕТОД ВЗВЕШЕННЫХ НЕВЯЗОК

Этот метод получил в последние годы ис­ ключительно широкое использование для при­ ближенного рещения краевых задач механики сплошных сред. Из него как частный случай следуют многие другие известные приближенные методы: метод Бубнова - Галеркина, обобщен­ ный метод Бубнова - Галеркина, метод коллокаций. Он служит основой для построения многих современных формулировок методов конечных и граничных элементов. Хотя метод и не относит­ ся к числу вариационных, но и он для рассмат­ риваемого в механике твердого деформируемого тела класса задач формально допускает энергети­ ческую трактовку сути производимьгх при его использовании операций.

Пусть рассматриваемая краевая задача ме­ ханики твердого деформируемого тела описыва­ ется системой дифференциальных уравнений (1.4.29) при силовых граничных условиях

(1.4.30) на части поверхности тела S\ и кинема­ тических граничных условиях и^ - й^ на остав­

шейся части поверхности S^.

Если предположить, что искомые функции "Х^1> ^2» ^з) удовлетворяют всем краевым услови­ ям и уравнениям равновесия (1.4.29), то после­ дние уравнения будут ортогональны к любой

системе функций \)fi}é<x\, хъ У^Ъ)'-

|ЯК("1'"2'"з) + ^/ЬИ^1'^2'^з)^^=^'

V

Если выражения (1.4.20) для компонентов

(/

= 1,2,3; Â: = l,2,...).

(1.4.44)

перемещений выбраны так, что они удовлетво­

ряют

кинематическим

граничным

условиям

Уравнения (1.4.44) и есть уравнения метода

(1.4.19) и являются частными решениями урав­

взвешенных невязок. Внося

в эти

уравнения

вы­

нений равновесия по объему тела, то в уравне­

ражение (1.4.20) для w/(xi, Х2, хз), получаем сис­

ниях (1.4.28) обобщенного метода Бубнова -

тему алгебраических уравнений для определения

Галеркина объемные интегралы обращаются в

неизвестных коэффициентов a\]ç.

нуль и уравнения принимают вид

Выбор системы линейно-независимых ба­

зисных функций \^uç (иногда их называют весо­

JJ(^/vy - Ki)fik^^ = о,

(/ = 1,2,3;^ = 1,2,...Л^,) выми, пробными) достаточно произволен.

1. Если в качестве базисных функций v|/ijt

(1.4.42)

выбрать координатные функции, т. е.

%А:(^Р^2'^з) "^

fiky-V^ly^l)^

или,

если переписать силовые условия

в пере­

то

уравнения

(1.4.44)

переходят

в

уравнения

мещениях [см.(1.4.30)],

метода Бубнова - Галеркина (1.4.35).

2. В качестве базисных функций

примем

Я[А(«1'"2'"З) - Д . /(^1'^2 . ^З)1Л)^^^=^^

систему дельта-функций Дирака:

^ik

= ф / -^yt,)>(^/

= 1.2,...),

(1.4.45)

(/=1,2,3; Â: = 1,2,...,7V^.).

(1.4.43)

где

^=^ [х^.х^-^хЛ

-

координаты

некоторой

Уравнения (1.4.42) или (1.4.43) являются

точки тела;

х^

координаты

совокупности

уравнениями метода Треффца.

произвольно

выбранных

точек

(А:г=1,2,...)

по

Внося выражения (1.4.20) для перемеще­

объему тела. Индекс

/ подчеркивает,

что распо­

ний щ в (1.4.43), получаем необходимую систему

ложение

этой

совокупности точек для

каждого

апгебраических уравнений для определения па­

значения /=1, 2, 3 может отличаться.

раметров ацсу

входящих

в выражения

для пере­

Дирака

мещений uix\,

Х2, хз).

По

определению

дельта-функция

обладает следующими свойствами: