c_Панков Практикум по АСП 22
.pdfМИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего образования
Московский технический университет связи и информатики
К.Н. Панков
ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ»
Версия от 07.02.2022
Учебное пособие
для обучающихся в бакалавриате по направлении. 11.03.02 - Инфокоммуникационные технологии и системы связи
Москва 2022
Панков К.Н. Практикум по дисциплине «Анализ случайных процессов». Учебное пособие / МТУСИ. – М., 2022. - 91 с.
Данное учебное пособие предназначено для использования на практических занятиях по курсу «Анализ случайных процессов». Его цель – помочь студентам, овладевшим основами теории вероятностей, познакомиться с основными понятиями теории случайных процессов и овладеть методами решения задач, связанных с дискретными цепями Маркова, корреляционной теорией случайных процессов, случайными потоками и основами теории массового обслуживания.
Учебное пособие ориентировано на обучающихся в бакалавриате по направлению подготовки 11.03.02 - Инфокоммуникационные технологии и системы связи.
Ил. __, табл. __, список лит.__ назв.
Издание утверждено Методическим советом университета в качестве учебного пособия. Протокол No __от __.__.____г.
Рецензенты:
© Московский технический университет связи и информатики, 2022
2
Раздел № 1 Основные понятия. Стационарные процессы
1.1Пусть случайная величина равномерно распределена на отрезке [-1;1]. Чему равна вероятность события «Траектория процесса t образует с положительной полуосью абсцисс Оt острый угол больше 60 »?
1.2Пусть случайная величина равномерно распределена на отрезке [-2;2]. Чему равна вероятность события «Траектория процесса t образует с положительной полуосью абсцисс Оt острый угол по модулю меньше 60 »?
1.3Пусть случайная величина равномерно распределена на отрезке [-1;1]. Чему равна вероятность события «Траектория процесса t образует с положительной полуосью абсцисс Оt острый угол по модулю меньше 30 »?
1.4Пусть случайная величина равномерно распределена на отрезке [-2;2]. Чему равна вероятность события «Траектория процесса t образует с положительной полуосью абсцисс Оt острый угол по модулю больше 30 »?
1.5Пусть случайная величина имеет стандартное нормальное
распределение. Чему равно математическое ожидание случайного процесса a t b, где a,b - действительные числа?
1.6Пусть случайные величины и независимы и имеют функции распределения F (x) и F (y) соответственно. Найти конечномерные распределения (до порядка 3 включительно) случайного процесса (t)= t+ .
1.7Пусть случайные величины и независимы и имеют распределения: – равномерное на [-1; 0] и – равномерное на [0; 1]. Описать траектории случайного процесса (t)= t+ .
1.8Пусть случайные величины и независимы и имеют плотности распределения р (x) и р (y) соответственно. Для процесса (t)= t+ (1–t) найти
плотность p( (t1), (t2))(z1,z2).
1.9Пусть и независимы и имеют распределения: – равномерное на отрезке [-1,0] и – равномерное на отрезке [0,1]. Описать траектории случайного процесса (t)= t+ .
1.10Рассматривается случайная функция X(t) Ut2 2, где U – случайная величина, распределенная по нормальному закону N(2; 4). Найти функцию распределения сечения этой функции Ft x , математическое ожидание mX (t),
дисперсиюDX (t), X (t) и корреляционную функцию K X (t1,t2).
Решение. Согласно определению функции распределения случайной величины
3
|
|
|
|
x 2 |
|
||
|
P U |
|
|
|
,t 0 |
||
|
t |
2 |
|||||
Ft x FX (t) x P X(t) x P Ut2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0,x 2,t 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,x 2,t 0 |
|||||
|
|
|
|
x 2 |
||||
FU |
|
|
,t 0 |
||
t |
2 |
||||
|
|
|
|
||
|
0,x 2,t 0 |
||||
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1,x 2,t 0 |
|||||
|
|||||
|
|
. |
|
Далее рассмотрим случай, когда t 0. Так как U N(2; 4),то
|
|
|
|
y |
x 2 |
|
|
|
|
z 2 2 |
|
|||
x 2 |
t2 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
FU y pU z dz |
|
|
|
|||||||||||
FU |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
8 dz |
||||
t |
2 |
|
|
|
||||||||||
8 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По определению
mX (t) E X t E Ut2 2 t2 EU 2,
DX (t) DX t D Ut2 2 t4 DU ,
X (t) DX t t2 DU ,
K X t1,t2 E X t1 mX t1 X t2 mX t2
E Ut12 2 t12 EU 2 Ut22 2 t22 EU 2 t12t22 DU .
Параметры нормального распределения являются его основными числовыми характеристиками (EU 2,DU 4). Следовательно,
mX (t) 2t2 2,DX (t) 4t4 , X (t) 2t2 ,K X t1,t2 4t12t22 .
1.11 Рассматривается случайная функция X(t) U cos( 0t), |
где U случайная |
|
величина, распределенная по экспоненциальному закону |
Ex(1/ ), |
0 - |
константа. Найти математическое ожидание mX (t), дисперсию DX (t) и корреляционную функцию K X (t1,t2).
1.12 Рассматривается случайная функция X(t) U exp( t), где U случ. велич., распределенная по экспоненциальному закону Ex( ). Найти плотность распределения сечения, математическое ожидание mX (t), дисперсию DX (t), X (t) и корреляционную функцию K X (t1,t2).
1.13 Рассматривается случайная функция X(t) 2Ut2 2t , где U – случайная величина, распределенная по равномерному закону R( 1;3). Найти плотность распределения сечения, математическое ожидание mX (t), дисперсию DX (t), X (t) и корреляционную функцию K X (t1,t2).
1.14 Рассматривается случайная функция X(t) Ut3 t 1, где U – случайная величина, распределенная по закону R(0, 4). Найти закон распределения
4
сечения этой случайной функции |
Ft x , ее математическое ожидание |
mX (t), |
дисперсию DX (t), X (t) и корреляционную функцию K X (t1,t2). |
U – |
|
1.15 Рассматривается случайная |
функция X(t) U cos(3t 2), где |
|
случайная величина, распределенная по равномерному закону R( 2; 7). Найти |
||
плотность распределения сечения, |
математическое ожидание mX (t), дисперсию |
DX (t), X (t) и корреляционную функцию K X (t1,t2).
9.1.
1.16 Рассматривается случайная функция X(t) Ut b, где U — случайная величина, распределенная по нормальному закону N(a; 2 ), b — неслучайная величина. Найти плотность распределения сечения этой случайной функции, математическое ожидание mX (t), дисперсию DX (t), X (t) и корреляционную
функцию K X (t1,t2).
1.17 Найти математическое ожидание mX(t), корреляционную функцию КX (t1,t2), дисперсию DX (t) случайного процесса Х(t). U, V некоррелированные случайные величины для случаев
a.Х(t) = t2 U + V cost sint. U ~ N(3; 2), V ~ Exp(0.5).
b.Х(t) = t U – 3е 3t V + cost. U ~ R[0; 6], V ~ Bi(10; 0.5).
c.Х(t) = et U – V cht + 3. U ~ Π(0.2), V ~ R[–2; 2].
d.Х(t) = U sint V t + t5. U ~ N(1; 2), V ~ Π(2).
e.Х(t) = t3 U– V cos t – 2. U ~ R[–1; 3], V ~ Exp(0.4).
f.Х(t) = 3 U sht – е3tV + cost. U ~ Exp(0.25), V ~ R[2; 4].
g.Х(t) = 3 + U sin2t – 4t V. U ~ Bi(10; 0.3), V ~ Π(3).
h.Х(t) = U cos3t – V sint – t. U ~ R[–3; 1], V ~ N(–1; 0.5).
i.Х(t) = t2 U – V cht + t2. U ~ Exp(0.1), V ~ Bi(20; 0.2).
j.Х(t) = еt U V sint + t. U ~ N(–2; 2), V ~ Exp(4).
k.Х(t) = е 3t U – V t + 2t. U ~ R[–3; 3], V ~ Bi(10; 0.6).
l.Х(t) = 3Usint – V еt – еt. U ~ Π(4), V ~ R[1; 3].
m.Х(t) = t2 – е 2t U – V t. U ~ N(–1; 0.7), V ~ Exp(0.5).
n.Х(t) = t U – V sin2t + 4t2. U ~ R[3; 6], V ~ N(2; 3).
o.X(t) = U cos3t – V t2 + 3. U ~ Π(5), V ~ R[–3; 5].
p.Х(t) = 5t + 3t2U – V е2t. U ~ N(–2; 1.5), V ~ Exp(0.2).
q.Х(t) = 5 + U sint – V t2. U ~ Bi(10; 0.1), V ~ N(3; 0.3).
r.Х(t) = t2 U – V cht + t. U ~ Π(2), V ~ R[–2; 4].
s.Х(t) = t + U sh2t – 2t V. U ~ N(–1; 2), V ~ Exp(1/3).
t.Х(t) = t U – V sint + cost. U ~ R[–2; 2], V ~ Bi(20; 0.4).
u.Х(t) = е–t + U cost – V t. U ~ Exp(1/4), V ~ R[–5; –1].
v.Х(t) = –t U cht + V cost. U ~ N(5; 2), V ~ Π(3).
w.Х(t) = t2 U – V t – е3t. U ~ R[3; 6], V ~ Bi(20; 0.5).
x.Х(t) = 3sint + 2U sht – V еt. U ~ Exp(2), V ~ R[–1; 5].
y.Х(t) = U cos2t V t – 4t. U ~ Π(2), V ~ N(3; 0.3)
1.18 Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайного процесса X(t), зависящего от Y и Z где Y и Z –
5
случайные величины, характеризуемые следующими числовыми характеристиками:
a.X(t) = Ysin2 t + Zcos t, EY=2, EZ = 1, DY = 0.1, DZ = 0.004, корреляция между случайными величинами Y и Z равна 0;
b.Ycos t + Zsin t + 5t, EY=1, EZ = 0.2, DY = 0.1, DZ = 0.05, корреляция между случайными величинами Y и Z равна 0;
c.Yt – Zt2, EY=3, EZ = 0.5, DY = 0.1, DZ = 0.05, корреляция между случайными величинами Y и Z равна 0;
d.t–3cost+Y(t + cost)+Zcos2t, EY=0, EZ = 0, DY = 1, DZ = 2, корреляция между случайными величинами Y и Z равна 0;
e.Ye-t + Zet, EY=2, EZ = -2, DY = 1, DZ = 1, корреляция между случайными величинами Y и Z равна 0;
f.Ye-t + Zsin t, EY=1, EZ = 2, DY = 1, DZ = 1, корреляция между случайными величинами Y и Z равна 0.
Решение. a. В рассматриваемом случайном процессе множители sin2 t и cos t не являются случайными величинами. Поэтому при определении математического ожидания процесса Х(t) они выносятся за знак математического ожидания случайных величин Y и Z. Математическое же ожидание суммы равно сумме математических ожиданий составляющих случайного процесса:
E[X(t)] = x(t) = sin2 t E[Y]+ cos t E[Z].
Подставляя в последнее выражение числовые значения E[Y] и E[Z], получим mX (t) 2sin2 t + cos t.
Поскольку случайные величины Y и Z некоррелированы, корреляционная функция процесса X(t) равна сумме корреляционных функций его составляющих. При этом коэффициенты (неслучайные процессы) выносятся за знак корреляционных функций случайных величин Y и Z в виде произведения неслучайных процессов в двух сечениях по времени t1 и t2. Учитывая также, что КY(t1, t2)=DY и KZ(t1, t2)=DZ, будем иметь
KX(t1, t2)=sin2 t1 sin2 t2 DY + cos t1 cos t2 DZ.
Подставляя числовые значения для DY и DZ, получим
KXX(t1, t2)=0.1 sin2 t1 sin2 t2 + 0.05 cos t1 cos t2.
Дисперсия случайного процесса X(t) определится как DX(t)=KX(t1, t2) при t1=t2=t:
DX(t) = 0.1 sin22 t + 0.05 cos2 t.
1.19 Найти математическое ожидание и корреляционную функцию суммы двух некоррелированных случайных функций X(t) и Y(t) с характеристиками
m |
X |
(t) t, K |
X |
(t ,t |
2 |
) t t |
, |
m (t) t, K |
Y |
(t ,t |
2 |
) tt |
e t1 t2 , |
|
|
1 |
1 2 |
|
Y |
1 |
1 2 |
|
1.20 Пусть kX (τ) корреляционная функция стационарного случайного процесса X(t). Найти его спектральную плотность в следующих случаях:
a. kX (τ) = (cosτ+sin|τ|) exp( |τ|). |
b. kX (τ)= 5(sin2τ)/τ. |
||||
c. kX (τ) = 4(1+2|τ|) exp( 2|τ|). |
d. kX (τ)= 81exp( 9τ2). |
||||
i. kX (τ) = 16 cos2τ exp( |τ|) . |
f. kX (τ)= 64exp( 4|τ|). |
||||
|
2 |
). |
h. k |
X |
(τ)= 3(cos2τ sinτ)/τ. |
g. kX (τ) = 4exp( |
τ |
|
|
||
|
|
|
6 |
|
|
i. kX (τ) = 3(sin4τ)/ (4τ). |
j. kX (τ)= 18/(9+τ2)2. |
k. kX (τ)= 1 2 при 2,
|
при |
2. |
0 |
m. kX (τ) = 8/(8+2τ2)2 .
o. kX (τ) = 27exp( |τ|)cos3τ. q. kX (τ) = sin24τ / (16τ2). s. kX (τ) = 16exp( 4τ2).
u. kX (τ) = 4exp( 2|τ|).
w. kX (τ)= 4 |
|
|
при |
|
|
|
4, |
|
|
при |
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
l. kX (τ)= 1 5 при 5,
|
при |
5. |
0 |
n. kX (τ)= 32exp( 16 τ2).
p. kX (τ)= 20/(1+25τ2). r. kX (τ)= sin22τ / τ2. t. kX (τ)= 9/(1+9τ2).
v. kX (τ)= 2exp( |τ|)(1+|τ|).
x. kX (τ)= 6 |
|
|
при |
|
6, |
||
|
при |
|
|
|
6. |
||
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
y.kX (τ)= 8exp( 2|τ|)cos τ.
1.21Пусть SX(ω) спектральная плотность стационарного случайного процесса X(t). Найти его корреляционную функцию в следующих случаях
|
2 |
|
|
|
|
|
|
a. SX (ω)= 1 |
|
при |
|
3, |
|||
9 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
при |
|
3. |
|||
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
b. SX (ω)= 20/(25+ω2).
|
9 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
c. SX (ω)= |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
9 (1 ) |
2 |
9 (1 ) |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
d. SX (ω)= 4exp( ω2).
e. SX (ω)= 8 |
|
при1 |
|
3, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 в остальных случаях. |
|
|
|||||||
|
8 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f. SX (ω)= |
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
4 (1 ) |
2 . |
|||||||
|
|
|
|
|
4 (1 ) |
|
|
g.SX (ω)= exp( |ω|/2).
h.SX (ω)= 27exp( ω2/36).
i.SX (ω)= 2(sin4ω)/(4ω).
j.SX (ω)= 12/(π(9+ω2)).
7
k. SX (ω)= 4/(π(1+ω2)2).
10при 2,
l.SX (ω)=
0 при 2.
m.SX (ω)= 10(sin2ω)/ω2.
|
|
2 |
|
|
|
||
1 |
|
при |
|
2, |
|||
|
|||||||
n. SX (ω)= |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
при |
|
|
|
2. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
o. SX (ω)= 2exp( |ω|/9).
|
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
p. SX (ω)= |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
1 (2 ) |
2 |
1 (2 ) |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
q. SX (ω)= 10/(π(4+ω2)).
r.18. SX (ω)= 18 |
|
при 2 |
|
5, |
|
||||||||
востальных случаях. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
||||||||
|
|
|
4 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
s. SX |
(ω)= |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|||
|
|
1 (1 ) |
1 (1 ) |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t.SX (ω)= 32/(π (4+ω2)2).
u.SX (ω)= 6(1 cos2ω)/( πω2).
v.SX (ω)= 10(sin2ω)/ω.
w.SX (ω)= exp( ω2/4).
x.SX (ω)= 2exp( |ω|/4).
20при 5, y. SX (ω)=
0 при 5.
8
1.22 Заданы |
случайные |
процессы |
(t) Usin2t V cos2t, |
(t) U cos3t V sin3t , где U и V |
– стандартизованные некоррелированные |
(т.е. с нулевыми математическими ожиданиями, единичными дисперсиями и нулевой ковариацией между ними) случайные величины. Найти автоковариационные функции этих процессов, а также взаимную ковариационную функцию этих процессов.
1.23 |
Дана случайная функция X(t) U exp(2t), где U – случайная величина, |
||||||||||||||||||||||||||||
распределенная |
по |
равномерному |
закону |
R(0;6). |
Найти |
характеристики |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
функции Z(t) t X( )d X(t): mZ (t), |
KZ (t1,t2). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.24 |
Дана |
|
|
спектральная плотность |
стационарного |
случайного |
процесса: |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a |
|
|
, 0 0, 0 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
SX ( ) 0 |
|
|
|
Определить автоковариационную функцию и |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, else |
|
|
|
|
|
|
dX(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
дисперсию случайного процесса Y(t) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.25 |
Случайная |
функция |
Z(t) задана своим каноническим разложением |
||||||||||||||||||||||||||
X(t) t3 3t Ut3 |
Vt2 Wt, |
где U,V , |
W |
– |
некоррелированные |
случайные |
|||||||||||||||||||||||
величины с мат.ож., равными нулю, |
и дисперсиями D(U) 2, D(V) 3, D(W) 1 |
||||||||||||||||||||||||||||
. Найти характеристики случайной функции Y(t) t |
dX(t) |
3t3 : m (t), K |
|
(t ,t |
) |
||||||||||||||||||||||||
|
Y |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
Y |
|
1 2 |
|
|||
, DY (t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X(t) Usin3t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1.26 |
Дана случайная функция |
где U – случайная величина, |
|||||||||||||||||||||||||||
распределенная |
по |
нормальному |
закону |
N(2, 4). |
Найти |
характеристики |
|||||||||||||||||||||||
функции Y(t) |
dX(t) |
3X(t):mY (t), |
KY (t,t ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.27 |
Дана |
|
|
корреляционная |
функция |
стационарного |
случайного |
процесса: |
|||||||||||||||||||||
k |
X |
( ) 2 exp( | |). Определить спектральную плотность S ( ) |
случайного |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
X |
|
|
|
|
|
dX(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
||||
процесса Y(t) a |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
X(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.28 |
Случайная |
функция |
задана своим каноническим разложением: |
||||||||||||||||||||||||||
X(t) 4sint V1sin2t V2 cos3t, |
где |
V1 и V2 – центрированные |
случайные |
||||||||||||||||||||||||||
величины |
|
с дисперсиями |
DV1 3, DV2 2. |
Найти |
характеристики |
с.ф. |
|||||||||||||||||||||||
Y(t) cost |
dX(t) |
sin2t: mY (t), |
KY (t,t ), DY (t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
1.29 Дана случайная функция X(t) U exp( 4t), где U – случайная величина, распределенная по равномерному закону R(1;3). Найти характеристики
функции Y(t) exp(t) X(t) dX(t): mY (t), KY (t,t ). dt
1.30 Дана спектральная плотность стационарного случайного процесса X(t):
S* ( ) с, |
c 0, |
, |
0. Определить автокорреляционную |
|||||||||||||
X |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
dX(t) |
|
|
|
функцию KY ( ) |
стационарного процесса Y(t) a |
. |
|
|||||||||||||
dt |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X(t) |
|
|
|
|
|
|
|
1.31 Случайный |
процесс |
|
|
задан своим каноническим разложением: |
||||||||||||
X(t) t2 t 1 Vt3 |
V t2 , |
DV 3, DV 4. |
Найти характеристики |
процесса |
||||||||||||
|
dX(t) |
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Z(t) t2 |
t3 : m (t), K |
|
(t ,t |
), D |
|
(t). |
|
|
|
|
||||||
|
Z |
Z |
|
|
|
|
||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
Z |
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X(t) Ut2 , |
|
|
|
|
|||
1.32 Дана |
случайная функция |
где U |
– случайная |
величина, |
||||||||||||
распределенная |
по |
нормальному закону |
N(1;9). |
Найти характеристики |
||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции Z(t) X( )d 4X(t): mZ (t), KZ (t,t ).
0
1.33 Дана автоковариационная функция стационарного случайного процесса:
C(1 | |),| | 1 |
, С 0. |
Определить спектральную плотность |
SX* ( ) |
||||||
KX ( ) |
|
|
|||||||
0, else |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этого случайного процесса. |
X(t) |
|
|
mX (t) 1, |
|||||
1.34 Случайный |
|
процесс |
имеет характеристики |
||||||
KX (t1,t2) 4cos(t1 |
t2). |
Найти |
характеристики |
случайного |
процесса |
||||
Y(t) X(t) 2 |
dX(t) |
1: |
mY (t), |
KY (t,t ), и определить, будет |
ли он |
||||
|
|||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
стационарным.
1.35 Стационарный случайный процесс X(t) имеет спектральную плотность
|
| | |
|
| | 0 , |
a 0, |
0 0. Найти корреляционную функцию |
||
SX ( ) a 1 |
, |
||||||
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
случайного процесса aX(t). |
|
|
|
|
1.36 Случайный |
процесс |
X(t) |
имеет |
характеристики |
mX (t) 1, KX (t1,t2) Acos (t1 t2), |
A –постоянная. Найти |
характеристики |
случайного процесса Y(t) a X(t) b и определить, будет ли он стационарным.
|
dt |
1.37 Случайный процесс |
X(t) задан своим каноническим разложением: |
X(t) 2 V1 cost V2 sint, |
DV1 3, DV2 2. Найти корреляционную функцию |
случайного процесса Z(t) 3X(t) dX(t) . dt
10