4. Приближённые методы решения уравнения Шрёдингера.

4.5.Применение вариационного метода для определения состояния квантового

осциллятора.

4.5. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Основное состояние.

Запишем гамильтониан квантового одномерного гармонического осциллятора.

H		2		d	2	kx	2
						2
	2m			dx2

Квазиупругий коэффициент удобно выразить через циклическую частоту собственных колебаний осциллятора:

	2	k		,					k m 2 ,
		m
m – масса осциллятора.
					2		d	2	2		x	2
H										m			.
			2m dx2
									2

Чтобы применить вариационный метод, нужно выбрать вид пробной функции. Эта функция должна быть:

1)непрерывной вместе со своими производными;

2)интегрируемой на всей области определения;

3)убывать на бесконечности;

4)волновая функция основного состояния не должна содержать узлов, то есть точек, в которых она равна нулю.

4.5. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе.

Этим требованиям удовлетворяет функция	x2
0 (x; ) Ae		.
	2

Переменную будем рассматривать как вариационный параметр. Пронормируем пробную функцию.

	| (x; ) |2 dx 1.
	A2 e x2 dx 1.
						1
Нам известен интеграл Пуассона		e x2 dx					.
				2
		0

Используем его для вычисления нормировочного множителя A

e x2 dx 2 e x2 dx,

0

так как пробная функция является четной.

4.5. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Основное состояние.

						1		.
	e x2 dx 2 e x2 dx 2
			2
		0
	Условие нормировки
		A2 e x2 dx 1.

A2 1

Отсюда	A 4			1/ 4	.

Нормированная пробная функция приобрела вид:

				1/ 4		x	2	|		2			1/ 2	x2	.
													e
				e		2	,		0	(x; ) |
	0	(x; )

4.5. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Основное состояние.

Следующий этап применения вариационного метода – вычисление интеграла

J ( )

(x; ) H (x; )dx.

В нашем случае

1/ 4

x2

1/ 4

x2

2

2

2

2

J ( )

e

d

m

x

e

dx

2

2

2

2m dx

2

1/ 2

			x2
	e		2

2 de x2 2m dx

dx

m 2		2
2	e x		x2dx .

Обозначим

1/ 2

2

x2

d 2

x2

J1

( )

e

2

e

2

dx;

2

2m

dx

		1/ 2	m 2		x2	2
J2						x dx.
	( )		2	e

4.5. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Основное состояние.

Приступаем к вычислению интегралов. Вычислим сначала вторую производную по координате в выражении для интеграла J1 (α).

d	2	e	x2
			2
dx2

d			x2				x2		x2
	e		2	2	e		2 2x xe		2
dx

		d		xe		x2
						2
		dx

			x2
	e		2

				e		x2
						2
		x x

,

x2

e 2 ( x2 1).

Подставим найденное выражение для производной в интеграл

2

1/ 2

x

2

x

2

J1( )

e

2 e

2 ( x2 1)dx

2m

2

1/ 2

x2

e

( x

2

1)dx

2m

2

1/ 2

x2

1/ 2

2

2

x2

e

e

2

dx,

2m

dx

2m

x

4.5. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Основное состояние.

Для вычисления интеграла в первом слагаемом воспользуемся интегралом

Пуассона					.
		e x2 dx 1
		0	2
	2			2				2
		2
		0 e x	dx 2m						.
m							2m

Для вычисления интеграла во втором слагаемом формулы для J1 (α)

продифференцируем по параметру α правую и левую части интеграла
Пуассона:
							1						x2
	x2										e			x		2	dx
e		x	2	dx				3/ 2	,
																		4	3/ 2
0					2		2				0
Подынтегральная функция четная, поэтому
					e x2 x2dx 2 e x2 x2dx										.
													3/ 2
										0		2

4.5. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Основное состояние.

Итого,								2								1/ 2							x2													1/ 2				2				2			x2				2
																			e																										e							dx
	J1				2m																						dx													2m										x
		2							2			2																												2								1			2			4
																				3																																			3
	2m							2m 2																																								2 2m
																																				2m
								2																										2
																																		4m .
													4m
Вычислим второй интеграл J2 (α) :
									1/ 2 m										2							x2					2														2			x2				2
																													x dx																						x dx
	J2 ( )															2							e																			m				e
																																													0
																						2												m 2
																		m																4 .
																										4 3

4.5. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Основное состояние.

			J2 .
J (x; ) H (x; )dx J1
		2	m 2 .
J ( ) J1 J2
		4m	4

Теперь следует минимизировать это выражение по α.

J 0.

	dJ		2		m 2	1	0.
	d		4m		4	2

Полученное уравнение решаем относительно величины α.

			2			m 2	1	,
		4m				4	2
2	m2 2			,			m .
	2

4.5. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Основное состояние.

Обозначим это значение параметра 0.

0 m .

При таком значении достигается минимум среднего значения энергии системы. Примем это минимальное значение за энергию основного состояния квантового гармонического осциллятора

E0	2		m 2 1			2 m m 2
		0					4
	4m		4 0			4m		m

14 14 2 .

Это значение совпадает с точным значением, полученным путем интегрирования уравнения Шредингера. Волновая функция гармонического осциллятора в основном состоянии

		0			1/ 4		0x	2
	0	(x)			e		2 ;

			m 1/ 4			m x2
				e		2 .
	0	(x)