Движение частицы в сферически симметричном потенциале

Сферические координаты связаны с декартовыми координатами следующими формулами:

Гамильтониан частицы в общем случае имеет вид:

Оператор кинетической энергии в декартовых координатах имеет вид:

Движение частицы в сферически симметричном потенциале

Движение частицы в сферически симметричном потенциале

Итак, оператор Лежандра

Теперь уравнение Шредингера в сферических координатах

Добавил:

cc2d3p Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

Лекции по квантовой механике / Лекция по КМ №9 - Сферические координаты. Уравнение Шредингера.pptx

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2023

Размер:

2.34 Mб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

1. Гамильтониан в сферических координатах.

Декартовы координаты (x,y,z)

Сферические координаты (R,q,j)

x R sin cos y R sin sin z R cos


	2
	p
H		U (r ),
	2m

а стационарное уравнение Шрёдингера можно записать так:

Е – значение энергии частицы. Так как гамильтониан обладает по условию задачи сферической симметрией, решение уравнения Шрёдингера следует проводить в сферических координатах.

Если потенциальная энергия частицы зависит только от расстояния до некоторого центра (т. е. одинакова для частицы, находящейся в любой точке на расстоянии r от некоторого центра), как это имеет место для кулоновского взаимодействия и некоторых других видов сил, то уравнение Шредингера удобно решать в сферических координатах.

2 2 2 2 2 .

2m 2m x2 y2 z2

Всферических координатах оператор Лапласа выглядит так:

1				2		1		1		2
			r				sin					.
r	2							sin	2		2
		r			r	sin

Уравнение Шредингера в сферических координатах примет вид:

2	1				2		1		1		2
				r				sin					(r, , ) U (r) (r, , ) E (r, , )
2m r		2		r				sin	sin	2		2	(r, , ) U (r) (r, , ) E (r, , )
2m r			r			r	sin		sin

В случае сферической симметрии волновую функцию (решение уравнения Шредингера) можно представить в виде произведения двух сомножителей:

(r, , ) R(r)Y ( , ),

R(r) зависит только от расстояния r (не вектора!), Y(q,j) зависит только от угловых переменных.

2. Оператор момента импульса в сферических координатах.

n 1, 2,3,...

Из классической механики известно, что когда поле обладает центральной симметрией, то при движении в таком поле сохраняется момент импульса частицы. Например, при движении частицы по круговой орбите вокруг некоторого центра в поле сил тяжести или в поле кулоновых сил

L m rV const.

Закон сохранения момента импульса должен выполняться и в квантовой механике. Так, в основе одного из постулатов Бора лежит именно тот факт, что в атоме водорода квантуется момент импульса электрона. Выражение для

модуля момента импульса электрона в атоме можно записать так:

L mVr 2n ,

Рассмотрим квантово-механический оператор момента импульса частицы. Согласно правилам построения операторов квантовой механики

оператор момента импульса можно записать так:

, p

i e

Проекции оператора момента импульса на оси координат будут равны

Lx i y

;

Ly i

;

L i

Оператор квадрата момента импульса в декартовых координатах


Lˆ2	Lˆ2	Lˆ2	Lˆ2 .
	x	y	z

Этот же оператор можно записать в сферических координатах:

	2	2	1		1
L				sin
L				sin	sin	2
		sin			sin

Выражение в квадратных скобках, умноженное на «минус единицу» называется оператором Лежандра.

Оператор Лежандра в сферических координатах:

	1		1		2
		sin

			sin	2		2
sin			sin

3. Радиальное уравнение Шредингера.

	1		1		2

		sin					.
			sin	2		2
sin

Оператор квадрата момента импульса можно представить как

	2		1		1		2		2
2
L				sin						.
					sin	2		2
		sin

Сравним оператор Лежандра с оператором Лапласа в сферических координатах:

1				2		1		1		2
			r				sin					.
r	2							sin	2		2
		r			r	sin

Сравнение показывает, что


1				2
			r			.
r	2		r			.
r		r			r

(r ) E (r ).

(r ) E (r ).

Здесь U(r) – потенциальная энергия частицы; Y(r)

– её волновая функция;

2	1				2		1
				r				sin
2m r		2
			r			r	sin

можно представить так:

					2		1								2			(r, , ) U (r) (r, , ) E (r, , ).
							1								2
													r
			2m r						2				r
			2m r								r					r
		2	1							2									2
			1							2				(r, , )							(r, , ) U (r) (r, , ) E (r, , ).
								r
	2m r			2		r		r									2mr			2
	2m r					r						r					2mr
Учтём, что
																			L2		2 .

Теперь уравнение Шредингера в сферических координатах можно записать так:

(r, , )

(r, , ) U (r) (r, , ) E (r, , ).

2m r

2mr

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции по квантовой механике

#
01.03.2023638.02 Кб19Лекция по КМ №4 - Яма с конечными стенками. Коэффициент прозрачности.pptx
#
01.03.2023713.36 Кб20Лекция по КМ №5 - Яма с конечными стенками. Волновая функция.pptx
#
01.03.2023817.15 Кб16Лекция по КМ №6 - Туннелирование.ppt
#
01.03.20231.03 Mб15Лекция по КМ №7 - Теория возмущений.ppt
#
01.03.2023992.77 Кб18Лекция по КМ №8 - Вариационный метод.ppt
#
01.03.20232.34 Mб22Лекция по КМ №9 - Сферические координаты. Уравнение Шредингера.pptx