17.Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью.

Угол между плоскостями.

Углом между двумя пересекающимися плоскостями γ 1 и γ2 называют угол, образовавшийся путем пересечения прямых a и b, где плоскости γ 1 и γ2 имеют пересечение с плоскостью χ, перпендикулярной прямой c c.

Угол между прямой и плоскостью.

18.Пучок и связка плоскостей, уравнения пучка и связки. Теорема об уравнении

пучка плоскостей.

Пучок и связка плоскостей, уравнения пучка и связки.

(Пучок)

Определение. Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей пересекающихся по одной и той же прямой, называемой осью пучка.

//Определение: Собственным пучком плоскостей называется совокупность всех //плоскостей , проходящих через фиксированную прямую (ось пучка)

//Определение: Несобственным пучком плоскостей называется совокупность //плоскостей, параллельных фиксированной плоскости ( осью несобственного //пучка плоскостей считается бесконечно удаленная прямая)

Теорема. Пусть

и

– две плоскости, пересекающиеся по прямой L. Тогда уравнение

,

где – произвольные действительные числа одновременно не равные нулю, есть уравнение пучка плоскостей с осью пучка L.

(Связка)

Определение. Связкой плоскостей называется множество всех плоскостей, имеющих одну общую точку, которая называется центром связки.

Теорема. Пусть , ,

– три плоскости в ПДСК Охуz, имеющие единственную общую точку . Тогда уравнение ,

где – произвольные действительные числа одновременно не равные нулю, есть уравнение связки плоскостей с центром связки в точке .

//Определение: Собственной связкой плоскостей называется совокупность всех плоскостей, проходящих через фиксированную точку.

//Определение: Несобственной связкой плоскостей называется совокупность плоскостей, параллельных фиксированной прямой ( центром несобственной связки плоскостей считается бесконечно удаленная точка)

19.Прямая на плоскости xOy. Все уравнения и свойства (без доказательства).

20.Эллипс, гипербола, парабола. Директориальное свойство. Эксцентриситет. Вывод канонических уравнений эллипса, параболы и гиперболы.

21.Фокальное свойство, расположение фокусов и директрис эллипса и гиперболы,заданных каноническими уравнениями.

2 2.Конические сечения. Теорема о конических сечениях.

Конические сечения – плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью.

Эллипс. Если концы нити заданной длины закреплены в точках F₁ и F₂ рис,то кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по туго натянутой нити, имеет форму эллипса. Точки F₁ и F₂ называются фокусами эллипса, а отрезки V₁V₂ и v₁v₂ между точками пересечения эллипса с осями координат – большой и малой осями. Если точки F₁ и F₂ совпадают, то эллипс превращается в окружность.

Гипербола. При построении гиперболы точка P, острие карандаша, фиксируется на нити, которая свободно скользит по шпенькам, установленным в точках F₁ и F₂, как показано на рисунке 5.3.3, а. Расстояния подобраны так, что отрезок PF₂ превосходит по длине отрезок PF₁ на фиксированную величину, меньшую расстояния F₁F₂. При этом один конец нити проходит под шпеньком F₁ и оба конца нити проходят поверх шпенька F₂. Одну ветвь гиперболы (PV₁Q) мы вычерчиваем, следя за тем, чтобы нить оставалась все время натянутой, и потягивая оба конца нити вниз за точку F₂, а когда точка P окажется ниже отрезка F₁F₂, придерживая нить за оба конца и осторожно отпуская ее. Вторую ветвь гиперболы мы вычерчиваем, предварительно поменяв шпеньки F₁ и F₂.

Рисунок 5.3.3

Ветви гиперболы приближаются к двум прямым, которые пересекаются между ветвями. Эти прямые, называемые асимптотами гиперболы. Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется равнобочной. Две гиперболы, имеющие общие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно сопряженными.

Парабола. фокус параболы эта кривая - геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется директрисой.

Точка пересечения V параболы с осью называется вершиной параболы, прямая, проходящая через F и V, – осью параболы. Если через фокус провести прямую, перпендикулярную оси, то отрезок этой прямой, отсекаемый параболой, называется фокальным параметром. Для эллипса и гиперболы фокальный параметр определяется аналогично.

2 3.Уравнения касательных к эллипсу, гиперболе и параболе.

2 4.Оптические свойства эллипса, гиперболы, параболы.

25.Упрощение общего уравнения кривой второго порядка путем поворота осей и

параллельного переноса. Теорема о классификации кривых второго порядка.

Упрощение общего уравнения кривой второго порядка путем поворота осей и параллельного переноса. Теорема о классификации кривых второго порядка.

Общее уравнение второго порядка

Пусть B=0

Если

1. A*B>0; A=B – окружность, точка

2. A*B>0; A≠B – эллипс, мнимый эллипс, точка

3. A*B<0 – гипербола, пара пересекающихся прямых

4. A*B=0 – парабола, пара параллельных прямых

Правило упрощения

1. Определим тип кривой

2. Сгруппируем члены, содержащие x и y

3. Вынесем за скобки коэффициенты при

4. Выделим в каждой скобке полный квадрат, добавляя и вычитая нулевую константу.

5. Свернем выражение по формуле квадрата суммы/разности

6. Перейдем к новой системе координат

7. При необходимости разделим полученное уравнение на константу, стоящую в правой части, и сравним с каноническим уравнением (эллипс, мнимый эллипс, точка О, гипербола, пара прямых, пересекающихся в начале координат, парабола, пара параллельных прямых, пара мнимых параллельных прямых, совпадающие прямые)

8. Сделать чертеж

Формулы поворота

Формулы параллельного переноса

Теорема – Существует только девять типов кривых второго порядка (эллипс, гипербола, парабола, пара пересекающихся прямых, пара параллельных прямы, пара совпадающих прямых, мнимый эллипс, пара мнимых пересекающихся прямых, пара мнимых параллельных прямых)

Доказательство

Пусть уравнение кривой имеет вид (1). Докажем сначала, что всегда можно повернуть систему координат так, что в уравнении (1) член с произведением исчезнет. Допустим, что a12 не равно нулю. Введем координаты x’, y' , повернув систему координат на угол α. Тогда подставляя выражения (14) в уравнение (1), найдем коэффициент при произведении . Он будет иметь вид:

Так как по предположению a12 ≠ 0, то взяв α так, что

получим 2a12=0. Таким образом, уравнение (1) принимает вид

Докажем теперь, что если в уравнении (16) a11≠0 и a22≠0 , то члены с x’ и y’ можно исключить переносом начала координат. В самом деле, преобразуем уравнение (16):

Совершим параллельный перенос системы координат на вектор

по формулам (15). Предыдущее уравнение примет вид

Если a11≠0, то член с x’ можно исключить переносом начала координат по формулам:

Аналогичные рассуждения можно провести в случае, когда a22 ≠ 0. Теперь рассмотрим уравнение (17), записав его для простоты в виде:

1. Пусть a₀₀≠0. Тогда уравнение (17) можно записать в виде

Здесь есть следующие возможности:

1. Пусть A > 0,B > 0. Тогда полагая, A=1/a², B=1/b², уравнение (19) приведем к виду

, т.е. кривая – эллипс.

2. Пусть A < 0,B < 0. Тогда равенство (19) невозможно. Линия не имеет ни одной вещественной точки. Полагая A=-1/a², B=-1/b²− уравнение (19) приведем к

, т.е. кривая – мнимый эллипс.

3. Пусть A и B разных знаков. Например, A > 0,B < 0. Тогда обозначим A=1/a², B=-1/b²− . Уравнение (19) примет вид.

В этом случае общее уравнение определяет гиперболу. (В случае, когда A < 0,B > 0 поступаем аналогично).

2. Пусть a00=0. Тогда уравнение (17) сводится к уравнению

Возможны два случая.

1. Пусть а11, а22 разных знаков. Например, a11>0, a22<0. Тогда, полагая а11=1/a², а22=-1/b², уравнение (20) принимает вид

Таким образом, кривая распадается на пару пересекающихся прямых.

2. Пусть теперь одного знака. Тогда так же полагая а11=1/a², а22=1/b², уравнение (20) преобразуется в уравнение

Эта кривая представляет собой пару мнимых пересекающихся прямых.

Рассмотрим теперь уравнение (18) в случае, когда a22≠0

Пусть a11=0. Разделим обе части уравнения на a22≠0, получаем

1. Пусть a10≠0. Запишем уравнение (21) в виде

Совершим преобразование параллельного переноса системы координат по формулам:

и обозначим

В новой системе координат уравнение кривой будет записано в виде y² =2px , то есть в этом случае кривая является параболой с осью симметрии Ox .

2. Пусть a10=0. Тогда уравнение (21) принимает вид

Запишем его для простоты следующим образом

Рассмотрим следующие случаи:

1. q < 0. Полагая, что 2q = −a² , получаем из уравнения (22) следующее уравнение y²-a²=0 , которое определяет пару параллельных прямых с осью симметрии Ox .

2. q = 0. Уравнение (22) принимает вид y² =0, что определяет пару совпавших прямых.

3. q>0. Положим q=a². Тогда равенство (22) невозможно, и уравнение y²+a²=0 определяет пару мнимых параллельных прямых.

Все возможные случаи нами разобраны. Итак, существует девять типов кривых второго порядка

26.Некоторые виды поверхностей второго порядка (эллипсоид, эллиптический и гиперболический параболоиды, однополостной и двуполостной гиперболоиды, конус, цилиндры). Поверхности вращения.

Некоторые виды поверхностей второго порядка (эллипсоид, эллиптический и гиперболический параболоиды, однополостный и двуполостный гиперболоиды, конус, цилиндры). Поверхности вращения.

Канонические уравнения поверхностей

1. Эллипсоид

2. Однополостный гиперболоид

3. Двуполостный гиперболоид

4. Конус

5. Эллиптический параболоид

6. Гиперболический параболоид

7. Эллиптический цилиндр

8. Гиперболический цилиндр

Пусть линия L лежит в плоскости YOZ и имеет уравнение F(y, z)=0, x=0, кривая L не пересекает ось OZ, то при вращении L вокруг оси OZ получается поверхность вращения, уравнение которой будет иметь вид F( )=0, то есть y заменяется на , переменная z не меняется

27.Линейчатые образующие однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида.

Линейчатые образующие однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида.

1. Однополостный гиперболоид

При любом значении параметров система уравнений представляет собой общие уравнения прямой.

2. Гиперболический параболоид

Уравнения двух семей прямолинейных образующих гиперболического параболоида