Математический маятник

Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из невесомой и не растяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. В приближении малых значений углов отклонения уравнение колебаний математического маятника будет иметь вид (8). С учетом того, что момент инерции (13),

где масса материальной точки, расстояние до точки подвеса, собственная частота колебаний

(14)

Период колебаний математического маятника . (15)

Эта формула используется для определения ускорения свободного падения.

Оборотный маятник

Для изучения характеристик движения физического маятника будем использовать оборотный маятник, представляющий собой стержень с двумя легкими опорными призмами и двумя массивными съемными грузами. По теореме Гюйгенса-Штейнера момент инерции такого маятника относительно закрепленной оси, проходящей через точку О (рис.1),

, (16)

где -момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, -расстояние между О и С. Подставив (16) в формулу для периода (12), получим

. (17)

Качественно вид зависимости T(r) изображен на рис. 3. Если подвешивать маятник по другую сторону от центра масс, то, как видно из (17), зависимость T(r) имеет две симметричные ветви.

По каждую сторону от центра масс имеются два положения опорных призм, при которых периоды колебаний маятника совпадают ( и ). Найдем их: T( ) = T( ) = T,

тогда из (17)

, T

откуда и (18)

o r1 r2 r

Следовательно, ускорение свободного падения может быть определено по формуле

. (19)

Упражнение 1.

1. Определение наименьшей длинны подвеса маятника, при котором с точностью до 0,5% можно считать момент инерции маятника равным I₀ = mr². Проведя измерения, получил диаметр шарика равный 2 см. Подставив найденный диаметр в формулу для вычисления погрешности момента инерции получим:

r = 1 см.

2. Устанавливаю некоторую длину маятника (см. таблицу №1) , при этом шарик находится в рабочей зоне фотодатчика, а его центральная риска совпадает с риской фотодатчика.

3. Проверяю, подтверждается ли на опыте линейная зависимость

(20)

Для этого измеряю период колебаний маятника при 2 разных длинах подвеса (по показаниям секундомера 10 колебаний). При измерениях амплитуду колебаний беру в пределах 3-4º. Результат заношу в таблицу №1.1.

Таблица №1.1.

Длинна подвеса, см		30	43
t, c	1	12,074	12,571
	2	12,078	14,040
	3	12,077	14,042
	4	12,078	14,042
	5	12,080	14,038
	6	12,079	14,042
	7	12,083	14,066
	8	12,082	14,039
	9	12,083	14,042
	10	12,086	14,044

Таблица №1.2.

Длинна подвеса, r , см		30	43
Период одного колебания Т, с	1	1,2074	1,2571
	2	1,2078	1,4040
	3	1,2077	1,4042
	4	1,2078	1,4042
	5	1,2080	1,4038
	6	1,2079	1,4042
	7	1,2083	1,4066
	8	1,2082	1,4039
	9	1,2083	1,4042
	10	1,2086	1,4044
Тср, п		1,20774	1,37466

4. Поставляя в формулу (20) длину подвеса r получил:

1) r₁= 30 см Т_1т= 1,20 с Т_{ср, п 1}

2) r₂ = 43 см Т_2т = 1,37 с Т_{ср, п 2}

Что подтверждает линейную зависимость формулы (20).

5. График Т²(r).

6. Определяю ускорение свободного падения g. Для этого измеряю период колебаний Т, здесь длина подвеса 30 см. Данные заношу в таблицу № 1.3. Количество колебаний 15.

Таблица № 1.3.

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
t	12,074	12,074	12,074	12,074	12,074	12,074	12,074	12,074	12,074	12,074
Т(од. колеб.)	1,2074	1,2074	1,2074	1,2074	1,2074	1,2074	1,2074	1,2074	1,2074	1,2074

Т_ср= 1,20774 с. S_т= = 0,0021; ∆Т= 0,0027

g = = 9.269 ∆g= = 0.005

Ответ на контрольные вопросы:

1. Физический маятник – называется твердое тело, находящееся в поле сил тяготения и имеющих ось вращения, лежащую в плоскости, перпендикулярно вектору ускорения свободного падения g.

Математический маятник – называется идеальная система, состоящая из невесомой и не растяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.

2. Это выражение принято записывать в несколько иной форме: M¯ = I*α¯, где α¯ = dω¯/dt - угловое ускорение. Это равенство называется уравнением моментов. Оно позволяет рассчитать любую характеристику вращающегося тела, зная параметры системы и величину внешнего воздействия на нее.

Моме́нт ине́рции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса): момент инерции тела  относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела  относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела  на квадрат расстояния  между осями:

где

 — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

 — искомый момент инерции относительно параллельной оси,

 — масса тела,

 — расстояние между указанными осями.

3. 

4. Трение и погрешность маятника.