2FwlpVopmE

								11		4	2		24
			2	6, 67 10					4, 416 10			6 10
	3 GT			M 3
a														27048217, 01м 27000км .
		4		2					4 3,142

Далее находим эксцентриситет орбиты рис. 16(з):

	e	ПО ПТ a			hП R	27000 636 6378		0, 74 .
		ПО			a		27000

Теперь можно найти высоту в апогее:

hA 2a hП D

2 27000 636 2 6378 40608км .

Вычисляем скорость в перигее и апогее:

						GM						6, 67 10 11		6 1024	1	0, 74
vП	vk		1	e				1		e								9,96км / с ,
		1		e		R	1			e	1			0, 74
											6, 67 10 11			6 1024	1	0, 74
vA	vk	1		e		GM	1			e								1, 48км / с .
		1		e		R	1			e	1			0, 74

Теперь определим время прохождения спутником южного и северно-

го полушарий Земли. Время прохождения под перицентром найдѐм из формулы:

t	1 e 2		3 e		2	T	1 0, 74 2		3 0, 74		2	4, 416 104 3450c 1ч
	18 1		e2				18 1		0, 742

Тогда всѐ остальное время 11ч ,3 спутник находится над северным

полушарием.

Ответ:

a 27000км, e 0,74, h	40620км, v	П	9,94км / с, v	A	1, 48км / с,t 1ч ,t	2	11,3ч .
A					1

Задача № 46

Определить большую полуось и эксцентриситет простейшей эллип-

тической орбиты космического корабля, продолжительность его полѐта от Земли до Марса и скорость запуска с Земли, если среднее гелиоцентриче-

ское расстояние Марса равно 1,524 а.е. Среднюю орбитальную скорость Земли принять 29,8 км/с.

91

Данные: aM 1,524a.e.;va 29,8км / с .

Найти: a, e, t, v ?

Решение: исходя из геометрии орбиты рис. 2.7(з) найдѐм большую

полуось орбиты космического корабля:

a	aM a	1, 524 1			1, 262a.e.
	2		2

Рис. 2.8(з)

Найдѐм эксцентриситет орбиты, согласно рисунка:

	e	a a	1, 262 1		0, 208 .
		a	1, 262

Рассчитаем время полѐта к Марсу:

	t	1	T ,
		2

где T период обращения, который найдѐм из формулы:

	T		a3 лет.
		1				1
	t			a3			1, 2623		0, 708г 258сут
		2	2

Рассмотрим последовательность вычислений для расчѐта скорости запуска космического корабля с Земли.

Найдѐм круговую скорость исходя из знания большой полуоси орби-

ты космического корабля:

92

Va

29,8

29,8

26, 53км / с ,

a

1, 262

Найдѐм скорость в перигелии орбиты:

V

V

1

e

26,53

1

0, 208

32, 76км / с .

П

a

1

e

1

0, 208

Найдѐм добавочную скорость относительно круговой:

vд

VП

Va

32, 76 29,8

2,96455км / с .

Учитывая вторую космическую скорость космических аппаратов от-

носительно Земли, найдѐм скорость запуска:

v

v2

v2

2,964552

11, 22

11, 6км / с .

д

II

Ответ:

a

1, 262a.e. ; e

0, 208 ;

t 258сут ; v 11, 6км / с .

Задача № 47

Масса Луны в 81,3 раза, а диаметр в 3,67 раза меньше земных. Во сколько раз вес космонавтов был меньше на Луне, чем на Земле?

	Данные: M L			1			M ; DL	1	D .
				81,3				3, 67
	Найти:	PL		?
		P

Решение: Сила притяжения на поверхности Земли или Луны обусловлена законом Всемирного тяготения, согласно основному закону механики (второй закон Ньютона) можно записать:

mg G mMR2 ,

где m – масса тела, а M масса планеты. Запишем дважды это условие:

	g		G	M L		и g	G	M		,
		L		R	2			R	2
				L

тогда отношение веса тела на Луне к весу тела на Земле равно:

	PL		gL			M L			R		2	1
													3, 67	2	0,165
	P		g			M			RL			81,3
															.
Ответ:					PL		0,165 .
					P

93

Задача № 48

Как изменилось бы ускорение свободного падения на поверхности планеты при увеличении еѐ массы в m раз, а средней плотности в n раз и, в

частности, при m=n?

Данные: M1 mM ; 1 m .

	Найти:	g1	?
		g

Решение: Будем исходить из основных формул, определяющих уско-

рение свободного падения на поверхности планеты и среднюю плотность,

как массу в единице объѐма:

g G		M
		R2			3M .
	M
	V				4 R3

Выразим R через :

	R	3M	1/3
			.
		4

Подставим эту величину в формулу для ускорения свободного паде-

ния

g G	3
	4

3 g1 G 4

2/3

M 1/3 2/3

2/3	.
mM 1/3 n	2/3

Разделим второе уравнение на первое:

		g1	1/3		2/3
			m	n		.
		g
	При m			n		g1	m .
						g

Ответ: m1/3n2/3 ; m .

94

Задача № 49

Как изменилось бы ускорение свободного падения на Земле при неизменной массе и увеличении еѐ размеров в 60,3 раза, т.е. до орбиты Луны.

Данные: r							60,3R .
Найти: g1						?
Решение: запишем формулы для ускорения свободного падения на
Земле и в случае увеличения еѐ размеров
g	GM
			R2			.
			GM
g1
			60, 3R			2
Итак, деля второе на первое, численно получаем
g	1					981 0, 27см / с2 .
1	60,3				2
Ответ: g						0, 27см / с2 .
	1

Задача № 50

Найти гравитационное ускорение двух галилеевых спутников Юпитера, Ио и Каллисто, обращающихся вокруг планеты на средних расстояниях в 5,92 и 26,41 еѐ радиуса. Масса Юпитера равна 318, а радиус – 10,9.

	Данные: r1 5,92R ; r2 26, 41R ; M									318M ; R 10,9R
	Найти: a1, a2						?
	Решение: согласно основному закона механики на спутники планеты
	будет действовать сила притяжения. Эти спутники получат ускорения:
	a	GM			.
				r 2
	Подставим численные значения
	a	6, 67 10 11					318 6 1024		0, 75м / с2	75см / с2
						10,9 5,92 2
	1	6,378 106								.
		6, 67 10 11					318 6 1024
	a								0, 0377 м / с2 3, 77см / с2
							10,9 26б41 2
	2	6,378 106
	Ответ: a			75см / с2 ;			a 3, 77см / с2 .
	1						2

95

ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Все материалы, приводимые в приложениях 1-3, заимствованы из [4].

Вычисление юлианской даты:

Будем вводить дату в виде одного числа, а именно YYYY, MMDDdd,

где YYYY – год, MM – номер месяцы, DDdd – число месяцы (целое с деся-

тичными знаками). Номер месяцы – всегда двузначное число, отделенное от года десятичной запятой (точкой). Так дата 1976. Август 22, 09 запи-

шется в виде 1976,082209. Программа начинается с выделения YYYY, MM

и DDdd. Если MM больше 2, возьмѐм

y	YYYY и m					MM ;
если MM равно 1 или 2, возьмѐм:
y	YYYY	1				и	m	MM 12
Если YYYY, MMDDdd больше либо равно 1582,1015 (дата по григо-
рианскому календарю), найдѐм
A	INT		y		,	B 2	A	INT	A	.
		100						4

Если YYYY, MMDDdd меньше 1582,1015, вычислять А и В не нуж-

но.

Искомая юлианская дата равна

JD INT 365, 25y INT 30, 6001 m 1 DD, dd 1720994, 5

и, если исходная дата даѐтся по григорианскому календарю, к этому ре-

зультату следует прибавить В.

Пример. Найти юлианскую дату, соответствующую моменту 1957,

октябрь 4,81 (время запуск первого искусственного спутника Земли).

Поскольку ММ=10 больше 2, получаем y=1957 и m=10. Так как

1957,100481>1582,1015, т.е. дата взята по григорианскому календарю, вы-

числим

96

A	INT	1957				INT 19, 57			19,
			100
B	2 19		INT		19		2	19	4 13,
						4
JD	INT	365, 25				1957		INT	30, 6001 11 4,81 1720994, 5 13,
JD	2436116, 31

97

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Эфемериды Луны

Описанным ниже методом можно сначала рассчитать геоцентриче-

скую долготу и геоцентрическую широту центра диска Луны на сред-

нее равноденствие даты, а уже потом по формулам перехода вычислить

и. Можно определить и горизонтальный экваториальный параллакс Лу-

ны .

Если параллакс известен, расстояние между центрами Земли и Лу-

ны находятся по формуле

	D	1	(в единицах экваториального радиуса Земли)
		sin
	или
	D	6378,14		(в километрах)

sin

Для заданного момента эфемеридного времени найдѐм JD и затем получим T . T выражается в столетиях, и поэтому его следует вычислять с

достаточным числом десятичных знаков (по крайней мере, с девятью, так как за 0,000000001 столетия Луна смещается на 1 , 7 ).

Затем, воспользовавшись приведенными ниже формулами, в кото-

рых коэффициенты выражены в градусах в десятичном виде, определим

углы L , M , M , D, F,		:
Средняя долгота Луны:
L	270.434164	481267.8831T	0.001133T 2	0.0000019T 3 .
Средняя аномалия Солнца:
M	358.475833	35999.0498T	0.000150T 2	0.0000033T 3 .
Средняя аномалия Луны:
M	296.104608	477198.8491T	0.009192T 2	0.0000144T 3 .
Средняя элонгация Луны:
D	350.737486	445267.1142T	0.001436T 2	0.0000019T 3 .

98

Среднее расстояние Луны от восходящего узла:

F 11.250889 483202.0251T 0.003211T 2 0.0000003T 3 .

Долгота восходящего узла орбиты Луны:

259.183275 1934.1420T 0.002078T 2 0.0000022T 3 .

К средним величинам этих углов необходимо добавить некоторые периодические поправки, так называемые аддитивные члены, где амплиту-

ды членов этих формул даны в градусах и представлены в виде десятичной дроби, аргументы под знаком синуса тоже в градусах:

Добавить к	Член
L	0.000233sin	51.2	20.2T
M	0.001778sin	51.2	20.2T
M	0.000817 sin	51.2	20.2T
D	0.002011sin	51.2	20.2T
L , M , D, F	0.003964sin 346.560 132.870T 0.0091731T			2
L	0.001964 sin
M	0.002541sin
D	0.001964 sin
F	0.024961sin
F	0.004328sin	275.05 2.30T

После вычисления L , M , M , D, F , исправленных за аддитивные члены,

можно по приведенным ниже формулам рассчитать , и . Амплитуды членов этих формул даны в градусах и представлены в виде десятичной дроби, а e:

e 1 0.002495T 0.00000752T 2 .

L 6.288750 sin M

1.274018sin 2D M

99

0.658309 sin 2D

0.213616 sin 2M

0.185596sin M e

0.114336 sin 2F

0.058793sin 2D 2M

0.057212 sin	2D	M	M e
0.053320 sin 2D		M
0.045874 sin	2D	M	e
0.041024sin	M	M	e

0.034718sin D

+0.030465sin M M e

0.015326 sin	2D	2F
0.012528sin	2F	M
0.010980 sin	2F	M
0.010674sin	4D	M
0.010034 sin	3M
0.008548sin	4D	2M
0.007910 sin	M	M	2D e
0.006783sin	2D	M	e

0.005162 sin M D

0.005000 sin M D e

0.004049 sin M M 2D e

0.003996sin 2M 2D

0.003862 sin 4D

0.003665sin 2D 3M

100