MISCELLANEOUS / Geophysics / Geophysics Methods Костицын В. И

Сейсморазведка

треугольники OAB и О AB равны, а = и BAО= xAC1, то отрезки О A и Ax лежат на одной линии и

ОА

Ax

x O 2

x x

2 .

m

m

Из прямоугольного треугольника OO xm имеем

Oxm

xm

2H sin

,

O xm

2H cos .

Итак,

1

1

2

t

x

xm

2

xm O

x 2H sin 2 2H cos 2

V1

V1

1

x2

4H 2

4Hx sin .

V1

Это и есть уравнение линейного годографа однократно отраженной волны.

Можно показать, что полученное уравнение является уравнением гиперболы. В самом деле, из уравнения годографа можно получить

	t 2			x 2H sin	2	1.
	4H 2 cos2			4H 2 cos2
	V 2
	1

Это гипербола, действительная ось которой параллельна

оси t и смещена на 2H sin			по оси x.
Из уравнения годографа можно найти его характерные
точки:
x0 0, t0	2H	; tm in		2H cos	; xm in 2H sin .
	V1			V1
			249

В.К. Хмелевской, В.И. Костицын

Легко показать, что при x 4H годограф отраженной волны асимптотически приближается к годографу прямой волны.

Если в уравнении годографа для точек профиля, расположенных от пункта возбуждения по восстанию пласта, при выражении 4Hxsin стоит знак минус, то, как легко показать, для точек по падению пласта должен стоять знак плюс.

Решение прямой задачи метода отраженных волн для двухслойного однородного разреза приводит к следующему уравнению годографа:

		1
	t			x2 4H 2 4Hxsin .		(4.6)
		V1

2. Обратная задача. Обратная задача метода отраженных волн (МОВ) для модели наклонного контакта двух сред сводится к определению скорости в перекрывающем слое V1 (в методе МОВ эту скорость для слоистой среды называют эффективной Vэф.) и геометрических параметров разреза (H, ). Обратная задача решается различными способами на основе анализа уравнения годографа (4.6).

А. Определение эффективных скоростей в перекрывающей толще по годографам отраженных волн способами постоянной разности и встречных годографов.

Способ постоянной разности при обработке одиночных годографов. Взяв две точки годографа, удаленные на расстояние m, запишем, используя формулу (4.6), для них уравнения

V	2t 2	x2	4H 2	4Hx sin ,
1	1
V	2t 2	x	m 2	4H 2 4H 2 4H x m sin .
1	2

	Вычтя		из	второго уравнения первое и обозначив
U t 2	t 2	, получим
2	1
	V 2U		2xm	m2 4Hmsin .
	1
250

Сейсморазведка

Отсюда, положив V1 = Vэф, можно найти Vэф как угловой коэффициент прямой в новой системе координат x и U. В самом

деле,		продифференцировав					это	уравнение,	получим
dU	2mdx /V 2 . Учтя, что для прямой линии dU / dx								U / x ,
			эф
легко получить формулу для расчета:
	V		2m	x	.				(
									4.7)
	эф			U

При практическом применении полученной формулы поступают следующим образом. На годографе выбирается несколько пар точек (t1 и t2 , t1 и t2 , t1 и t2 ), расположенных на

постоянном расстоянии m друг от друга. Для каждой пары вре-

мен находится функция	U t 2	t 2	, соответствующая значению
	2	1

x1, и строится график функции U от x (рис. 4.4). Взяв прираще-

ние	U для какого-то x, легко рассчитать Vэф по формуле (4.7).
а	б

Рис. 4.4. Определение эффективной скорости по данным МОВ способом постоянной разности (а) и встречных годографов (б)

251

В.К. Хмелевской, В.И. Костицын

Способ двух встречных годографов. Если есть два встреч-

ных годографа (рис. 4.4, б), то уравнения годографов для одной точки профиля имеют вид

V 2 t 2

x2

4H 2

4xH

1

sin

,

эф 1

1

V 2 t 2

(l

x)2

4H 2

4(l

x)H

2

sin .

эф 2

2

Вычтя

из

второго

уравнения первое и учтя, что

H 2 H1

l sin

, получим

V 2 (t

2

t

2 ) l 2

2lx 4H 2

4H

2

эф

2

1

2

1

4(l

x) (H1

l sin

) sin

4xH1 sin .

Введя обозначения

t 2

t 2

U

и заменив все члены пра-

2

1

вой части, не содержащие x, на B, можно записать

Vэф2 U 2lxcos2 B.

Последнее уравнение является уравнением прямой в системе координат U, x. Отсюда

U

2l cos2

и

Vэф

2l cos2

x

x

V 2

U

(4.8)

эф

при

10 , cos2

1

и V

2l

x

.

эф

U

Практическое применение этой формулы сводится к построению прямой линии в координатах (U, x) и определению Vэф по угловому коэффициенту этой линии U/ x.

252

Сейсморазведка

Б. Способы построения отражающих границ. Получив

Vэф = V1, можно определить глубину залегания отражающей границы и ее наклон, т.е. построить отражающую границу.

Наиболее простыми способами построения отражающих границ являются различные графические варианты: способ t0, способ засечек, способ эллипсов и др.

Способ t0. Поскольку t0 = 2H/V1, где t0 – время на пункте взрыва, которое можно определить по годографу (оно равно времени при ), то глубина залегания равна H = t0V1/2.

Имея несколько ПВ (несколько годографов), можно построить отражающую границу как касательную к окружностям с радиусами H, проведенными из соответствующих ПВ (рис. 4.5,

а).

Способ засечек. На профиле наблюдений выбирают 3–5 точек и из них проводят засечки радиусами R = V1t. Засечки, пересекаясь примерно в одной точке, дают местоположение мнимого пункта взрыва O , а отражающая граница располагается в середине и перпендикулярно OO(рис. 4.5, б).

Способ эллипсов. В случае неплоских границ раздела для построения отражающей границы применяется способ эллипсов. Известно, что эллипс – это кривая, каждая точка которой расположена на постоянной сумме расстояний до двух его фокусов. Приняв O и x1 за фокусы эллипса с постоянным расстоянием S1 = V1t1, легко видеть, что отражающая площадка лежит на эллипсе

(рис. 4.5, в).

Построить указанный эллипс можно следующим образом. Берется нить длиной S1 (величина S1 выбирается в том же масштабе, в котором строится разрез). Ее концы закрепляются кнопкой в точках O и x1. Натягивая нить карандашом, легко прочертить эллипс. Построив аналогичные эллипсы для ряда годографов, можно построить отражающую границу, которой является огибающая всех эллипсов.

Приведенный пример решения прямой и обратной задачи МОВ для двухслойного разреза можно перенести и на задачу для многослойного разреза, если заменить слой с V1 на многослойную толщу с некоторой средней или эффективной скоро-

253

Vэф .

В.К. Хмелевской, В.И. Костицын

стью и той же мощностью H1. Для этого в формулах 4.5–4.7 следует заменить V1 на Vср

а

б

в

Рис. 4.5. Построение отражающей границы способами: а – t0; б – засечек; в – эллипсов

4.9. Прямая и обратная задача головной преломленной волны для двухслойной среды с плоской наклонной границей раздела

1. Образование головной преломленной волны.	При
критическом угле падения = i, когда угол преломления	равен
254

Сейсморазведка

90º, вдоль границы начнет скользить преломленная волна, которая возникает при V2 V1, так как sini = V1/V2 1.

При падении прямой сферической волны под критическим углом i в точке R (рис. 4.6) образуются две волны: одна отраженная, движущаяся по лучу RS со скоростью V1, и вторая, скользящая вдоль границы раздела со скоростью Vr (Vr, как правило, равно V2). Чтобы показать, как эта скользящая преломленная волна выходит на линию наблюдений (ось x), воспользуемся принципом Гюйгенса.

Рис. 4.6. Природа образования сейсмических волн; фронт и луч волны: 1, 2 – прямой; 3, 4 –отраженной; 5, 6 –преломленной проходящей; 7, 8

–головной преломленной

Согласно принципу Гюйгенса, любая точка фронта волны является источником колебаний. В частности, из точки R начнет распространяться фронт отраженной волны со скоростью V1, который через время t1 после начала отражения достигнет точки S1. За это же время в среде V2 фронт проходящей преломленной волны, перпендикулярный границе раздела, достигнет точки F1. Соответственно за время t2 фронты этих волн достигнут точек S2, F2, за время t3 – S3, F3 и т. д. Поскольку V2 V1, преломленная волна распространяется быстрее отраженной.

Фронт проходящей преломленной волны, скользя вдоль границы раздела, возбуждает в верхнем слое колебания, которые и вызывают появление так называемой головной прелом-

255

В.К. Хмелевской, В.И. Костицын

ленной волны. В самом деле, за время t1, область возмущений в верхней среде будет заключена в треугольнике S1F1R; за время t2 область возмущений будет заключена в треугольнике S2F2R и т. д.

Фронт некоторой новой волны, называемой головной, отделяющей область пространства, возмущенную упругими колебаниями, от невозмущенной, в момент t1 будет проходить вдоль

прямой линии S1F1, в момент t2 – вдоль линии S2F2 и т. д. Одной стороной фронт головной волны касается фронта отраженной из

критической точки волны, другой примыкает к фронту скользящей преломленной волны. В точке S, где возникает головная волна, фронты отраженной и головной волн выйдут на поверхность одновременно, а далее отраженная волна, поскольку она имеет меньшую скорость, начнет отставать от головной.

Из рис. 4.6 видно, что фронты головной преломленной волны будут плоскостями, наклоненными под углом i к границе раздела, а лучи, перпендикулярные фронту, будут наклонены под постоянным углом е к поверхности наблюдений. Фронт головной волны будет скользить вдоль линии наблюдений с кажущейся скоростью Vk = x/ t. Из треугольника SBK легко получить выражение для кажущейся скорости (закон кажущихся скоростей, закон Бенндорфа).

В самом деле, S V2 t xcose , отсюда Vk V1 / cose, т.е. для данной среды Vk = const.

Установим связь между углом выхода сейсмической радиации e и углами и i. Угол SOK на рис. 4.7 равен углу AO S, а последний равен i – (как углы со взаимноперпендикулярными сторонами). Поэтому eB = 90º – (i – ), отсюда

Vкв V1 / sin (i ).

Индекс «B» взят для значений e и Vk по восстанию пласта. Если индексом «П» обозначить соответствующие значения по паде-

нию	пласта,	то нетрудно доказать, что e	п	90	(i	) ,
Vкп	V1 / sin (i	) . Точки Sв и Sп являются начальными точками

преломленной волны. Между ними преломленные волны на-

256

Сейсморазведка

блюдаться не могут, т.е. они выходят на земную поверхность на некотором расстоянии от пункта взрыва, сравнимом с глубиной залегания преломляющей границы.

2. Вывод уравнения линейного годографа головной преломленной волны, образовавшейся над наклонной границей двух сред (прямая задача). Пусть под однородной по-

крывающей средой со скоростью распространения упругих волн V1 расположена плоская граница второго слоя с V2 V1. Требуется получить уравнение годографа головной преломленной волны, т.е. установить теоретическую зависимость времени прихода волны (t) от расстояния (x), скорости распространения упругих волн (V1 и V2), глубины залегания (H) и угла наклона ( ) преломляющей границы (рис. 4.7).

Первой точкой профиля наблюдений, в которой начинает регистрироваться преломленная волна, является точка S(xн, tн), называемая начальной точкой головной волны. Так как все лучи головной преломленной волны параллельны, то углы e и Vk = x/ t постоянны, а это значит, что линейный годограф преломленной волны имеет постоянный наклон к оси х. Наклон к оси х остается постоянным лишь у прямой линии.

Годограф головной преломленной волны над плоской границей является прямой линией, начинающейся в точке Sс коор-

динатами		xн	и tн и наклоненной к оси x под углом
tg	t /	x	1/Vk .

Отсюда можно получить уравнение годографа преломлен-

ной волны. По восстанию пласта будет следующее отношение:

t / x (t tн ) /(x xн ) 1/Vкв ,

где t и x – координаты любой точки годографа. Очевидно, для получения уравнения необходимо определить tн и xн.

Возьмем мнимый пункт взрыва Oи опустим перпендикуляры на О'A и ось x. Из треугольника OKS xнв OK / sin e , из

треугольника		OO'K	OK 2H sin i.	Учитывая,	что
e 90	(i	) , получим
в
					257

В.К. Хмелевской, В.И. Костицын

xн в	2H sin i		, tн в	OR RS		O S	.
				V1
	cos(i	)				V1

Рис. 4.7. К выводу уравнения годографа головной преломленной волны

Из

треугольника

О'AS

и

OO'A можно

получить

O S

O A / cos(i

)

и

O A 2H cos .

Откуда

tн в

2H cos /V1 cos(i

) . Нетрудно показать, что для точек по

падению границы

xн п

2H sin i

,

tн п

2H cos

.

cos(i

)

V1 cos(i

)

Учитывая,

что Vкв V1 / sin(i

) , получаем уравнение го-

дографа преломленной волны:

t tн в

x

xн в

1

x sin(i

)

2H cos sin i sin(i

.

Vк в

V1

cos(i

)

Проведя преобразования во втором слагаемом, можно получить окончательное уравнение годографа преломленной волны:

258