Определение характеристик цов
В соответствии с условиями задания необходимо выбрать число операторов ЕЭСС такое, чтобы вероятность отказа в обслуживании не превышала 0,001 и при расчетах ориентироваться на модель М/М/v/v.
Рисунок 2 - Диаграмма интенсивности переходов для модели СМО M/M/v/v
Предполагаем,
что вызовы в трех потоках являются
независимыми случайными величинами с
распределением Пуассона и соответствующими
им параметрами математического ожидания
.
Тогда вызовы в суммарном потоке в
соответствии с теоремой Райкова будут
иметь также распределение Пуассона с
математическим ожиданием
Вероятность отказа в моделях численно равна вероятности занятости всех каналов
,
где
- коэффициент нагрузки.
Найдем число операторов при котором выполняется условие
На графике видно, что при количестве операторов свыше 13 выполняется условие задачи.
|
|
Теперь рассмотрим ЦОВ УЭСС в соответствии с моделью M/M/v/K и определим, при каком числе операторов и длине очереди будет обеспечена вероятность отказа в обслуживании не более 0,001 и время ожидания не более 4с.
Рисунок 3 - Диаграмма интенсивности переходов для модели СМО M/M/v/K
В
рассматриваемой системе с
при количестве операторов меньше чем
5
очередь всегда будет полной, а вероятность
отказа стремится к
.
В такие случаи будем рассматривать
систему с как минимум пятью операторами.
Вероятность
простоя:
,
где n – число операторов
в системе, m –
максимальная длинна очереди,
– нормированный коэффициент нагрузки.
Вероятность
отказа:
Тогда вероятность отказа в зависимости от количества операторов и длины очереди ведет себя как показано на графике.
По графику видим, начиная с 13 операторов для выполнения первого условия можно обойтись без очереди (что совпадает с выводами предыдущего пункта задачи), а с минимальным числом операторов n = 5 для выполнения первого условия необходима очередь длиной 102.
В данной модели заявки не могут быть потеряны после поступления в очередь. Воспользуемся формулой Литтла для определения среднего времени ожидания обслуживания:
,
где среднее число заявок в очереди
.
Рассмотрим, как среднее время в очереди зависит от количества операторов и длины очереди.
Видим, что второе условие выполняется при любой длине очереди если количество операторов равно восьми или больше.
Получим совокупность решений с минимизацией по длине очереди.
Дальнейшая минимизация по числу операторов приведет к ответу n = 8 и m = 8 (левая точка на графике).
Вероятность простоя:
Вероятность отказа:
Абсолютная пропускная способность:
Среднее число заявок в очереди:
Среднее время в очереди:
Таким образом, можно сделать вывод, что при количестве операторов 8 человек, длине очереди 8 мест, интенсивности поступающих вызовов 6.2 выз/мин и скорости обслуживания в 1.3 выз/мин образуемый ЦОВ удовлетворит заданным требованиям качества обслуживания, а именно вероятность отказа обслуживания составит 0.0008745, а время ожидания 1.81 сек.