dW(v) =f(v)dv=dN/m=mN.

Функция вероятности распределения молекул по скоростям

(2.2)

,

где k – постоянная Больцмана, m0 – масса одной молекулы; е – основание натуральных логарифмов (е=2,72).

Полученный результат справедлив не только для газа, но и любого тела, находящегося в состоянии термодинамического равновесия, если движение его частиц подчиняется классическим законам, т.е. вид распределения не зависит от того, как взаимодействуют частицы между собой. Определяющим фактором здесь является способность частиц обмениваться энергией при переходе к равновесному состоянию.

Следовательно, вероятность обнаружить частицу с некоторой скоростью в пределах интервала (v; v+dv), c учетом (2.1), описывается функцией

(2.3)

.

Формула (2.3) выражает распределение Максвелла для скоростей молекул.

Билет №26. Распределение Больцмана и барометрическая формула

Барометрическая формула:

Пусть идеально термодинамически равновесный газ, имеющий везде одну и ту же температуру находится в однородном поле тяготения Земли. При этом каждая молекула газа имеет потенциальную энергию: p=m0gz, где g - ускорение свободного падения (g=9,81 м/m=mс2), z - высота, на которой находится молекула над поверхностью Земли. Запишем условия механического равновесия для элементарного участка столба газа (воздуха, например)

высотой dz:

F(z+dz)+F(z)+g*Kdm=0, гдеdm - масса рассматриваемого участка столба,dm = ρ(z)Sdz, причем ρ(z) - плотность вещества в газовом столбе, а S - площадь его поперечного сечения.

Из уравнения состояния идеального газа для плотности газа ρ следует, что:

p=m/m=mV=pM/m=mRT, или p(z)=m/m=mV==M*Kp(z)/m=mRT=, а dm=M*KS*Kp(z)dz/m=mRT.

Спроецируем векторное уравнение на ось z: -F(z+dz)+F(z)-g*Kdm=0.

Выразим силы через давление: S[p(z+dz)-p(z)]=-g*KM*KSp(z)dz/m=mRT или разделим переменные p и z, получим: dp/m=mp(z)=-gM*Kdz/m=mRT.

Это дифференциальное уравнение для неизвестной функции р(z). При условии, что

				p	p
температура Т не зависит от z, зависимость p(z) можно найти интегрированием: ∫						=
				p0	p
−gM z	z; ln	p =−gM z.
RT ∫0		p0	RT
			−gM	z.
После потенцирования последнего выражения получаем: p(z)=p0 RT

Эту полученную Больцманом формулу называют барометрической формулой. В нейро - давление на поверхности Земли, где z = 0.

Воспользовавшись соотношениями M =m0Na и R=kNa, барометрическую формулу можно

привести к виду: p(z)=p0

−m0 gz

−ε (z)

kT

=p0 kT

, где ε(z) - потенциальная энергия одной молекулы газа

в рассматриваемом однородном поле тяготения.

Распределение Больцмана:

−m0 gz

−ε (z)

Формулу p(z)=p0 kT

=p0 kT

, воспользовавшись соотношением p=nkT и независимостью

−ε (z)

температуры Т от z, можно привести к виду: n(z)=n0 kT

. Согласно этому соотношению число

−ε

молекул, находящихся в малом прямоугольном участке пространства: dN=ndV=n0 kT dxdydz. А

N

n0

−ε

kT

вероятность нахождения в этом объеме: dw= N

= N

dxdydz.

Это полученное Больцманом соотношение называется

распределением Больцмана. Оно выполняется в любом

потенциальном поле, например, в неоднородном поле

−ε (x , y , z )

тяготения. В этих случаях: dWr=B kT

dxdydz, где dWr -

вероятность того, что молекула имеет координаты от х до х +

dx, от y до y + dy, от z до z + dz ;В - постоянный множитель,

∞

∞

∞

−ε(x , y , z)

получаемый из условия нормировки: ∫

∫

∫

kT

−∞

−∞

−∞

dxdydz=-1.

Билет №27. Элементы физической кинетики, средняя длина свободного пробега. Явления переноса. Диффузия, теплопроводность, внутреннее трение. Броуновское движение.

Средняя длина свободного пробега - среднее расстояние, которое пролетает молекула от одного столкновения до следующего. (по Клаузиусу)

Вывод :

Напомним, что существует 3 «главных» скорости: средняя вероятностная, средняя и средняя квадратичная соответственно.

Явления переноса – особые необратимые процессы, возникающие в термодинамически неравновесных системах. К ним относят : Диффузию (перенос массы), Теплороводность (перенос энергии) и Вязкость aka Внутренне трение (перенос импульса).

Диффузия : - взаимное проникновение соприкасающихся веществ друг в друга вследствие теплового движения частиц вещества. Она происходит в направлении уменьшения концентрации вещества и ведёт к его равномерному распределению по всему объёму.

Вязкость aka Внутреннее трение – возникает между слоями газа или жидкости, перемещающихся параллельно друг другу с разными по модулю скоростями. Причина этого явления – перенос импульса из одного слоя вещества в другой. Она пропорциональна градиенту скороста и пропорциональна градиенту скорости.

Теплопроводность – явление переноса внутренней энергии из одного газа