- •Тема 7 показатели вариации и анализ частотных распределений
- •Вариация признака в совокупности и значение ее изучения
- •7.2 Показатели центрараспределения
- •7.3 Показатели вариации и способы их расчета
- •7.4 Вариации альтернативного признака. Энтропия распределения
- •7.5 Виды дисперсий в совокупности, разделенной на группы. Правило сложения дисперсий
- •7.6 Структурные характеристики вариационного ряда распределения. Показатели дифференциации
- •7.7 Моменты распределения
- •7.8 Изучение формы распределения
- •7.9 Теоретические распределения в анализе вариационных рядов
7.6 Структурные характеристики вариационного ряда распределения. Показатели дифференциации
Рассмотренные обобщающие показатели центра распределения и степени вариации не дают понятия о форме распределения, т.е. не вскрывают характера последовательного изменения частот. Для выражения особенностей формы распределения применяются показатели дифференциации, основанные на структурных (ранговых) показателях распределения.
Структурные показатели. В системе структурных показателей в качестве показателей особенностей формы распределения выступают варианты, занимающие определенное место (каждое четвертое, пятое, десятое, двадцать пятое и т.д.) в ранжированном вариационном ряду. Такие показатели носят общее названиеквантилей, илиградиентов.
Некоторые квантили имеют особые наименования: квартили, квинтили, децили и перцентили.
Квартили представляют собой значение признака, делящее ранжированную совокупность на четыре равновеликие части. Различают квартиль нижний (), отделяющийчасть совокупности с наименьшими значениями признака, и квартиль верхний (), отсекающийчасть с наибольшими значениями признака. Это означает, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине; 25% единиц будут заключены междуи; 25% - междуии остальные 25% превзойдут. Вторая квартиль является медианой. Вычисление квартилей аналогично вычислению медианы.
Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используются формулы
(7.51) | |
(7.52) |
где - нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25%);
- нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75%);
- величина интервала;
- накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;
- то же для верхнего квартиля;
- частота интервала, содержащего нижний квартиль;
- то же для верхнего квартиля.
Квинтили делят распределение на пять равных частей.
Децили () - это значения вариант, которые делят ранжированный ряд на десять равных частей: 1-й дециль () делит совокупность в соотношениик,2-й дециль () - в соотношениики т.д.
Вычисляются децили по той же схеме, что и медиана, и квартили:
(7.53) | |
(7.54) |
и т.д.
(7.55) |
Значения признака, делящие ряд распределения на сто частей, называются перцентилями. Слово «перцентиль» относится непосредственно к элементу распределения или к значению, промежуточному между двумя элементами. Для того чтобы указать местоположение конкретного наблюдения, в распределении указывается так называемыйперцентильный ранг; он равен сумме процентов, приходящихся на наблюдения, которые в распределении стоят ниже его, и половине процентов, которые приходятся на него непосредственно.
Метод нахождения перцентилей можно представить с помощью следующей формулы:
(7.56) |
где - обозначение-го перцентиля;
- нижняя граница интервала;
- число оценок, необходимое попасть в точку на горизонтальной оси, которая соответствует данному перцентилю;
- расстояние от нижней границы до верхней границы(шаг интервала);
- число оценок, расположенных в интервале от до.
Рассмотренные показатели можно представить в следующем соотношении (рис. 7.3).
Использование в анализе вариационных рядов распределения рассмотренных выше характеристик позволяет глубоко и детально охарактеризовать изучаемую совокупность.
Показатели дифференциации. В тех случаях, когда при изучении вариационного ряда возникает необходимость дать относительную характеристику степени вариации ряда и имеются уже предварительно вычисленные квартили и децили, то можно вычислить коэффициент дифференциации ().
В зависимости от заданных ранговых показателей коэффициенты дифференциации рассчитываются по-разному.
Если заданы 3-я () и 1-я () квартили, то вместо коэффициента вариации () можно вычислитькоэффициент дифференциации по формуле
(7.57) |
В большинстве случаев коэффициент вариации () составляет примерно 1,5 коэффициента дифференциации (), т.е.
|
(7.58) |
Если сопоставляются 9-я () и 1-я () децили, тодецилъный коэффициент дифференциации () вычисляется по формуле:
|
(7.59) |
Рассмотренный выше показатель дифференциации не совсем точно измеряет уровень дифференциации, так как сопоставляется минимальная величина признака (25% или 10% самых крупных единиц совокупности) с максимальной величиной признака (25% или 10% самых мелких единиц совокупности).
Более точно уровень дифференциации можно измерить, сопоставив средние уровни, полученные из 10% наибольших и наименьших значений признака в совокупности. Такой показатель называется коэффициентом фондовой дифференциации ().
|
(7.60) |
где - сумма значений признака 10% самых крупных единиц в совокупности;
- число единиц совокупности самых крупных и мелких;
- сумма значений признака 10% самых мелких единиц в совокупности.