- •Глава I. Теоретические и методические аспекты изучения линий второго порядка
- •Глава II. Практическое применение икт при изучении линий второго порядка
- •Глава I. Теоретические и методические аспекты изучения линий второго порядка Пункт 1. Теория линий второго порядка и использования икт в обучении
- •Понятие линии второго порядка в аналитической геометрии
- •Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду
- •Линии второго порядка в элементарной математике
- •Вывод уравнения окружности
- •Исследование свойств окружности по её уравнению
- •2) Симметрия окружности:
- •Изображение окружности
- •Вывод уравнения эллипса
- •Исследование свойств эллипса по его уравнению
- •1) Пересечение эллипса с осями координат:
- •2) Симметрия эллипса относительно координатных осей ox и oy:
- •Вывод уравнения гиперболы
- •Исследование свойств гиперболы по ее уравнению
- •1) Пересечение гиперболы с осями координат:
- •2) Симметрии гиперболы относительно координатных осей и:
- •3) Асимптоты гиперболы:
- •4) Фокусы гиперболы:
- •Вывод уравнения параболы
- •Исследование свойств параболы
- •Линии второго порядка в элементарной математике
- •Пункт 1.2. Методические аспекты изучения линий второго порядка в школьном курсе алгебры 7-9 классов
- •1.2.2. Анализ комплектов учебников под редакцией г. В. Дорофеева и ш. Ф. Алимова
- •Глава II. Практическое применение икт при изучении линий второго порядка
Вывод уравнения гиперболы
Введем прямоугольную систему координат. Пусть фокусы гиперболы
лежат на оси Ох, причем - середина отрезка , тогдат. е.Пусть– произвольная точка гиперболы. Величины–фокальные радиусы точки М гиперболы.(чертеж 17.)
Чертеж 17.
По определению гиперболы:
, отсюдагде
Следовательно, уравнение имеет вид:
(7)
Умножим равенство (7) на , получим:
(8)
Сложим уравнения (7) и (8), получим:
(9)
Возведем (9) в квадрат:
следовательно, имеем:
Пусть так как, отсюда имеем уравнение:
(10)
где (10) каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат.
Соответственно, уравнение
где каноническое уравнение гиперболы с центром в точке
Числа a и b соответственно действительная и мнимая полуоси гиперболы.
Исследование свойств гиперболы по ее уравнению
1) Пересечение гиперболы с осями координат:
Очевидно, что гипербола состоит из двух ветвей: правой и левой, простирающихся в бесконечность.
В уравнении (12) положим, что y=0, получим: отсюда. Следовательно, точкиявляются точками пересечения гиперболы с осью(чертеж 18.).
Чертеж 18.
Положим, что в уравнении (12) х=0, и получим: , следовательно, уравнение гиперболы не пересекает ось.
ЗАМЕЧАНИЕ: Если мнимая ось гиперболы имеет длину 2a и направлена по оси (OX), а действительная ось длиной 2b совпадает с осью (OY), то уравнение гиперболы имеет вид: . [1.С.107-108]
Определение 3.2. Гиперболы, заданные уравнениями и , называются сопряженными гиперболами.
Определение 3.3. Если a=b, гипербола называется равносторонней.
2) Симметрии гиперболы относительно координатных осей и:
Пусть принадлежит гиперболе, то естьверное равенство. Точкасимметрична точкеотносительно оси ОХ:
- верное равенство. Следовательно, принадлежит гиперболе, следовательно, гипербола симметрична относительно ОХ.
Точка симметрична точкеотносительно оси ОУ, следовательно, гипербола симметрична относительно оси ОУ.
Точка симметрична точкеотносительно О (центра), отсюда следует, что гипербола симметрична относительно начала координат. [1.С.108]
3) Асимптоты гиперболы:
Текущая точка гиперболы при движении по ней в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой, которая называется асимптотой гиперболы. Асимптотами являются прямые, которые имеют следующие уравнения:
и ,
Пусть текущая точка гиперболы,ее проекция на ось абсцисс. Прямаяпересекает прямую, заданную указанным уравнением в точке. Докажем: чтопри.
Доказательство:
.Расстояние это ордината точки, лежащей на прямой. Она равна. Расстояниеэто ордината точкигиперболы, которую находим из её канонического уравнения:Тогда
Умножим и разделим равенство (13) на (),следовательно, получим:
При знаменатель дроби неограниченно увеличивается, следовательно, дробь стремится к нулю.
- уравнение гиперболы, в которой а- являются асимптотами гиперболы. (чертеж 19.) [1.С.108]
Чертеж 19.
4) Фокусы гиперболы:
Пусть фокусы гиперболы лежат на оси Ох. Межфокусное расстояние гиперболы равно причем . Заметим, чтопо определению гиперболы.
Следовательно, фокусы гиперболы. [1.С.109]
5) Директориальное свойство гиперболы:
Определение 3.4. Директрисами гиперболы называются прямые, параллельные канонической оси ОУ и отстоящие от этой оси на расстояние .
Уравнения директрис гиперболы имеют вид: и [5.С.122]
6) Эксцентриситет гиперболы:
Определение 3.5. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Так как, то
Если при постоянном значении , числобудет изменяться от нуля до бесконечности, тобудет измениться отдо бесконечности. Если, то гипербола будет стремиться к лучам (чертеж 20.).
Чертеж 20.
Если , то гипербола будет стремиться к параллельным прямым (чертеж 21.). [1.С.109]
Чертеж 21.
7) Касательная к гиперболе:
Уравнение касательной к гиперболе , где- координаты точки касания, а соответственно действительная и мнимая полуоси гиперболы (чертеж 22.).
Чертеж 22.
Изображение гиперболы
Построим гиперболу с действительной осью равной 4 и мнимой осью равной 4.
Построение без использования ИКТ: Для построения гиперболы задаем прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Строим прямоугольник со сторонами 2a=4,2b=4, проводим диагонали прямоугольника. Выполняем построение ветвей гиперболы так, чтобы координаты точек (-2;0),(2;0) являлись их вершинами, и ветви гиперболы не пересекали диагоналей прямоугольника.(чертеж 23.)
Чертеж 23.
С использованием ЭСО- Mathcad:
Полученное уравнение линии имеет вид: . Для построения линии второго порядка в программеMathcad приводим уравнение к виду: (чертеж 24.)
Чертеж 24.
Построим гиперболу с действительной осью равной 10 и мнимой осью равной 8.
а) Построение без использования ИКТ: Для построения гиперболы задаем прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Строим прямоугольник со сторонами 2a=10,2b=8, проводим диагонали прямоугольника. Выполняем построение ветвей гиперболы так, чтобы координаты точек (0;4),(0;-4) являлись их вершинами, и ветви гиперболы не пересекали диагоналей прямоугольника.(чертеж 25.)
Чертеж 25.
b) С использованием ЭСО- Mathcad:
Полученное уравнение имеет вид: . Для построения линии второго порядка в программеMathcad приводим уравнение к виду: (чертеж 26.)
Чертеж 26.
ПАРАБОЛА
Определение 4.1.Парабола- это геометрическое множество точек, для каждой из которых расстояние от некоторой фиксированной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой прямой, называемой директрисой (директриса не проходит через фокус). [8.С.589]