posobie_Predel_funktsii_1

11

последовательности, не имеющие предела, например, последовательность

a	= sin	π	+ π n		, множество значений этой последовательности состоит из
n
		2

двух чисел: {−1;1} . Последовательность принимает эти значения поочередно при четных и нечетных значениях n и предела не имеет.

	Если существуют конечные пределы	lim xn	= a , a > 1, lim yn = +∞ , то
		n→∞	n→∞
lim	(xn yn ) = +∞ , если же lim xn = a , 0 < a < 1, lim yn		= +∞ , то lim (xn yn ) = 0 .
n→∞	n→∞	n→∞	n→∞

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей

1)Предел бесконечно малой последовательности равен нулю.

2)Предел суммы константы и бесконечно малой последовательности есть данная константа.

3)Сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

4)Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

5)Произведение бесконечно малой последовательности и ограниченной есть бесконечно малая последовательность.

6) Если последовательность αn является бесконечно малой, то

1

последовательность αn является бесконечно большой.

7)Если последовательность zn является бесконечно большой, то

последовательность 1 является бесконечно малой. zn

8)Предел бесконечно большой последовательности равен бесконечности.

9)Предел суммы ограниченной и бесконечно большой последовательностей есть бесконечно большая последовательность.

10)Предел суммы бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей есть бесконечно большая последовательность.

12

11)Сумма бесконечно больших последовательностей одного знака есть бесконечно большая последовательность того же знака.

12)Произведение конечного числа бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность.

13)Произведение бесконечно большой последовательности и ограниченной, предел которой не равен нулю, есть бесконечно большая последовательность.

14)Частное бесконечно большой последовательности и сходящейся к пределу отличному от нуля есть бесконечно большая последовательность.

Таблица 1.1. Основные бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Бесконечно малые

Бесконечно большие

αn

=

1

, s > 0

(m1)

ns , s > 0

(b1)

ns

αn = qn ,

q

< 1

(m2)

zn = qn ,

q

> 1

(b2)

zn = loga n , 0 < a <1

(m3)

zn = loga n , a > 1

(b3)

(m4)

zn =

1

αn = k n −1, k

,

k

(b4)

k

n −1

zn =

1

αn = n n −1

(m5)

(b5)

n n −1

αn

=

1

(m6)

zn = n!

(b6)

n!

αn

=

n

, p >1

(m7)

zn =

pn

, p >1

(b7)

p

n

n

α

=

ns

, s > 0 , p >1

(m8)

z =

pn

, s > 0 , p >1

(b8)

pn

ns

n

n

αn

=

p

n

, p >1

(m9)

zn =

n!

, p >1

(b9)

p

n

n!

α

=

loga

n

, p >1

(m10)

z =

pn

(b10)

pn

loga n

n

n

α

=

loga n

(m11)

zn =

ns

(b11)

n

loga n

ns

								13
	Пример					1.5.			Найдите	предел					последовательности
3; 2	1	, 2	1	, 2	1		,..., 2 +	1	.
2		3		4				n
	Решение. Последовательность x = 2 +										1		представлена в виде суммы
									n		n
стационарной						an = 2		и бесконечно малой			αn		=	1	(m1) , предел которой
														n

равен 0, следовательно, по свойству (1.1) предел данной последовательности равен 2 .

+

1

=2 .

Ответ: lim 2

n→∞

n

Пример

1.6.

Найдите предел числовой

последовательности an :

1

; −

1

;−

1 1

(−1)n+1

;

;…;

; …

6

3n

3

9 12

(−1)n+1

=

Решение: общий член последовательности a

.

n

3n

Последовательность можно представить как произведение ограниченной

(−1)n+1

последовательности

,

множество

значений

3

n

1

E (a

) =

−1

;

,

и

бесконечно

малой последовательности

3

3

которой

1			(m1) ,
	n

предел которой равен нулю. Согласно свойствам бесконечно малых последовательностей, произведение ограниченной и бесконечно малой последовательности есть также бесконечно малая последовательность, предел которой равен нулю.

					(−1)n+1	1
Тогда lim a		n	= lim			= lim		= 0 .
n→∞			n→∞ 3n			n→∞ 3n
		(−1)n+1
Ответ lim					= 0 .
n→∞			3n

Пример 1.7. Найдите предел последовательности an =n × cos (n2 ).

Решение:

Представим последовательность в виде произведения двух

последовательностей:	an = bn × cn		,	где	bn = n ,	cn = cos (n2 ) .
Последовательность	bn = n	положительная			и бесконечно большая
последовательность, следовательно,			lim bn = +¥ . Последовательность cn в
			n→∞

	14
силу свойств косинуса является ограниченной:		−1 ≤ cn ≤ 1 . Произведение
бесконечно	большой последовательности и ограниченной является
бесконечно	большой последовательностью,	то есть	lim an = ∞ .
			n→∞

Следовательно, данная последовательность является расходящейся.

Ответ: lim n × cos(n2 ) = ¥ .

n→∞

1

× tg

1

Пример 1.8. Найдите предел последовательности lim

.

n + 2

1

n→∞ n

бесконечно малая последовательность (m1) ,

Решение.

–

n + 2

следовательно,

по свойству

(1.7)

последовательность tg

1

так же

n + 2

бесконечно малая, поэтому наша последовательность является произведение бесконечно малых, а значит и сама бесконечно малая.

	1	×tg	1		= 0
Ответ: lim
n→∞ n			n + 2

Неопределенности, откуда они берутся?
Пусть даны две последовательности {xn } , { yn} и lim xn = 0 ,	lim yn = 0 ,
n→∞	n→∞

( yn ¹ 0) . Рассмотрим отношение этих последовательностей. Предел частного

двух последовательностей равен отношению пределов этих последовательностей, если пределы существуют, и предел знаменателя не

равен нулю. Однако в нашем случае не так. Мы имеем частное 0 . 0

Что такое в математике «0 разделить на 0»?. Рассмотрим примеры:

1

1)

если

x

=

1

(m1), y

=

1

(m1), то lim

xn

= lim

n

= lim n = ∞ ;

n

n

n

n2

n→∞ yn

n→∞ 1

n→∞

n2

1

2)

если

xn

=

1

(m1), yn =

1

(m1), то lim

xn

= lim

n3

= lim

1

= 0 ;

1

n3

n

n→∞ yn

n→∞

n→∞ n2

n

4

4

1

xn

3)

если

xn

=

(m1), yn

=

(m1), то lim

= lim

n

= lim 4 = 4 ;

1

n

n

n→∞ yn

n→∞

n→∞

n

15

=

(−1)n

(m1), yn

=

1

(m1), то

x

= lim

(−1)

n

4) если

xn

lim

n

,

n

n

n→∞ yn

n→∞

а этот предел вообще не существует.

В различных случаях получили разные ответы.

Таким образом, о пределе отношения последовательностей, пределы которых равны нулю, заранее ничего определенного сказать нельзя.

	x		n
Для нахождения предела последовательности				недостаточно знать,
что lim xn = 0 ,	yn
	lim yn = 0 . Нужны еще дополнительные сведения о характере
n→∞	n→∞

поведения последовательностей {xn } и { yn } .

Для нахождения этого предела в каждом конкретном случае требуются специальные приемы.

Аналогично можно привести примеры бесконечно больших последовательностей отношение пределов, которых будет принимать различные значения.

Так же свойства бесконечно больших последовательностей не объясняют, чему равен предел суммы бесконечно больших последовательностей разного знака.

Предел lim(x yn ) можно вычислить, если пределы показателя и

n→∞ n

основания степени существуют, причем предел основания число положительное, во всех остальных случаях надо аккуратно преобразовывать выражение, задающее общий член последовательности, для того чтобы можно было применить уже известные свойства сходящихся последовательностей.

Подобные ситуации в математическом анализе называют неопределенностями.

Таким образом, возникают неопределенности различного вида.

Если lim x = 0 ,

lim y

n

= 0 , то при вычислении

lim

xn

говорят о

n→∞

n

n→∞

n→∞ yn

0

x

0

неопределенности вида

и записывают это так lim

n

=

.

0

n→∞ yn

0

Если	lim xn = ∞ ,	lim yn = ∞ ,					то	при		вычислении lim
	n→∞	n→∞								n→∞
		¥					x	¥
неопределенности вида				,	lim		n	=		.
	lim xn = 0 ,	¥			n→∞ yn			¥			( xn
Если		lim yn = ∞ , то при вычислении lim
	n→∞	n→∞								n→∞
неопределенности вида [0 × ¥] ,					lim		( xn × yn ) = [0 × ¥] .
					n→∞

xn говорят о yn

× yn ) говорят о

				16
Если lim xn = +∞ , lim yn			= −∞ , то при вычислении lim			( xn − yn ) говорят
n→∞	n→∞				n→∞
о неопределенности вида [ ∞ − ∞] , lim ( xn − yn ) = [ ∞ − ∞] .
				n→∞		(xn yn ) говорят о
Если lim xn = 1,	lim yn = ∞ , то при вычислении lim
n→∞	n→∞			(xn yn ) =	n→∞
неопределенности вида 1∞		,	lim		1∞ .
			n→∞

Раскрыть соответствующую неопределенность – это значит найти предел соответствующей последовательности или доказать, что последовательность расходится (расходится к бесконечности, плюс или минус бесконечности или предел последовательности вообще не существует).

Рассмотрим, каким образом можно вычислить пределы последовательностей в случае разных видов неопределенности.

∞

Неопределенность вида ∞ в случае отношения многочленов

Чтобы раскрыть неопределенность вида	∞		в случае отношения
∞

многочленов, надо числитель и знаменатель почленно разделить на n в наибольшей степени, встречающиеся в аналитическом выражении, задающем последовательность.

Пример

1.9.

Вычислите

предел

последовательности

lim

5n + n2

− 3n3

+ 2

.

n→∞

4n3 + n + 5

Решение.

lim

5n + n2 − 3n3 + 2

=

n→∞

4n3 + n + 5

{

5n + n2 − 3n3

}

{

}

Последовательности

4n3

бесконечно

+ 2 ,

+ n + 5

большие

как

сумма

бесконечно

больших

и

стационарной

∞

последовательности, поэтому имеем неопределенность вида ∞ ,

наибольшая степень, встречающаяся в задании последовательности n3 , разделим почленно каждое слагаемое в числителе и знаменателе на n3 , получим

5

+

1

− 3

+

2

n2

n3

= lim

n

= ,

n→∞

4 +

1

+

5

n2

n3

5

последовательности ,n2

17

1 ,n

	2				1				5
			,				,				–	бесконечно
		3				2				3
n				n				n

малые, их пределы равны нулю, поэтому используя свойства пределов,

получаем, предел числителя

равен 0 + 0 − 3 + 0 = −3 , предел

знаменателя

−

3

равен 4 + 0 + 0 = 4 , тогда предел исходной последовательности равен

.

5n + n2 − 3n3 + 2

4

Ответ: lim

= −

3

.

n→∞

4n3 + n + 5

4

Пример 1.10. Вычислите предел последовательности lim

n + 7n2 + 4

.

n3 − 3

n + 7n2 + 4

n→∞

Решение. lim

=

n→∞

n3 − 3

{

n +

}

{

}

Последовательности

n3

бесконечно

большие

как

7n2 + 4 ,

− 3

сумма бесконечно больших и

имеем неопределенность вида

нее и разделим почленно

стационарной последовательности, поэтому

∞ , наибольшая степень выражения n3 , на

∞

1

+ 7

1

+

4

= lim

n2

n n3

,

1 − 3

n→∞

n3

учитываем что все последовательности вида

c

– бесконечно малые,

k

n

их предел равен нулю, следовательно, предел числителя 0 , знаменателя 1, тем самым исходный предел равен нулю.

Ответ: lim		n + 7n2 + 4		= 0 .
		n3 − 3
n→∞
Пример 1.11. Вычислите предел последовательности lim							n4		+ n + 1
										.
						n→∞ n2		− 2n3 + 5
Решение.	lim		n4 + n + 1			=
				+ 5
	n→∞ n2 − 2n3

18

Последовательности { n4 + n + 1} , {n2 − 2n3 + 5} бесконечно большие как

сумма бесконечно больших и стационарной последовательности, поэтому

имеем неопределенность вида

∞

, наибольшая степень знаменателя n3 , на

∞

нее и разделим почленно

n +

1

+

1

= lim

n2

n3

1

5

n→∞

− 2 +

n3

n

c

последовательности

вида

–

бесконечно

малые,

k

последовательность {n}

n

положительная

бесконечно большая,

их сумма

последовательность, стоящая в числителе, положительная бесконечно большая, последовательность в знаменателе имеет предел, равный −2 , поэтому частное – последовательность бесконечно большая, ее предел равен

−∞ .

Ответ: lim	n4		+ n + 1	= −∞ .
		− 2n3 + 5
n→∞ n2

Замечание. Иногда удобнее делить не на наибольшую степень всего выражения, а на наибольшую степень знаменателя. В таком случае мы точно получим последовательность имеющую предел в знаменателе, и тогда существование предела дроби зависит только от сходимости последовательности в числителе.

	Пример	1.12. Вычислите предел					числовой		последовательности
	(n + 1)3 + 2	(n −1)3
lim			.
n→∞	n3 − 5n			(n + 1)			+ 2(n −1)
					3			3
	Решение.	Последовательность							–	отношение двух
				n		3	− 5n

бесконечно больших последовательностей {(n + 1)3 + 2(n −1)3} , {n3 − 5n} , то

∞

есть, рассматриваем неопределенность вида ∞ .

	(n + 1)3 + 2(n −1)3			∞
lim				=		= ,
	n	3	− 5n
n→∞					∞

разделим числитель и знаменатель дроби на наибольшую степень n ,

встречающуюся в дроби (в данном случае на n3 )

19

(n +1)3

2(n -1)3

+

= lim

n3

n3

= ,

3

n→∞

n

-

5n

n3

n3

используем свойства степеней

n +1 3

n -1 3

= lim

+ 2

= ,

n

n

n→∞

5

1

-

n2

разделим почленно

1 3

1 3

1 +

+ 2 1

-

= lim

n

n

= ,

5

n→∞

1 -

n2

последовательности вида

c

–

бесконечно малые, поэтому

k

(1 + 0)3 + 2 ×(1 - 0)3

n

=

= 3 .

1 - 5 × 0

Ответ: lim

(n + 1)3 + 2(n −1)3

= 3 .

n

→∞

n3 − 5n

Пример 1.13. Вычислите lim

2n5 - arctg n

.

cos2 n + n5

n→∞

}

Решение.

Последовательность

{

2n5

является

бесконечно

− arctg n

большой как сумма бесконечно большой и ограниченной, { n5}

бесконечно

большая

по

свойству

(b1) , а

последовательность { arctg n} является

ограниченной.

Аналогично

последовательность

{cos2 n + n5}

является

бесконечно большой как сумма бесконечно большой и ограниченной, { n5}

бесконечно	большая по	свойству	(	)	последовательность				{		}
				b1 ,						cos2 n
ограничена.
Таким	образом,	получаем		частное		бесконечно			больших
						∞
последовательностей, то есть, имеем неопределенность вида								.
						∞
Для того чтобы применить теорему о пределе частного, разделим
числитель и знаменатель дроби на наибольшую степень выражения											n5 .
Получим:

20

2n5 − arctg n

2 −

arctg n

lim

= lim

n5

2

n + n

5

2

n→∞

cos

n→∞

cos

n

+ 1

n5

π

arctg n

cos2 n

lim

=

2

= 0 и lim

= 0 , по теореме о пределе

Так как

5

5

n→∞ n

∞

n→∞

n

произведения бесконечно малой последовательности	1		и на
	5
n
ограниченную (соответственно arctg n и cos2 n ).

Следовательно, предел числителя равен 2, предел знаменателя равен 1,

	следовательно, lim		2n5 − arctg n			= 2 по теореме о пределе частного.
			cos2 n + n5
		n→∞
	Ответ: lim	2n5 − arctg n		= 2 .
	n→∞	cos2 n + n5

Пример 1.14. Найдите предел lim (n −1)4 − (n + 2)4 . n→∞ (2n + 1)3 + (n −1)3

Решение. В числителе и знаменателе имеем бесконечно большие последовательности, поэтому необходимо преобразовать исходное выражение. Воспользуемся формулами сокращенного умножения, в данном случае разностью квадратов в числителе и формулами куба суммы и куба разности в знаменателе

		((n − 1)2 )2 − ((n + 2)2 )2
lim			= ,
n→∞ 8n3		+ 12n2 + 6n + 1 + n3 − 3n2 + 3n −1
приведем подобные в знаменателе
	((n − 1)2 − (n + 2)2 )((n −1)2 + (n + 2)2 )			= ,
= lim		9n3 + 9n2 + 9n
n→∞

еще раз используем формулы разности квадратов и квадрата суммы

= lim	((n − 1) − (n + 2))((n − 1) + (n + 2))(n2 − 2n + 1 + n2 + 4n + 4) = ,
n→∞		9n3 + 9n2 + 9n
приведем подобные в числителе
= lim	(2n + 1)(2n2 + 2n + 5)	= ,
n→∞	−3(n3 + n2 + n)

раскрываем скобки в числителе и сразу приводим подобные