1. Системы счисления

Под системой счисления понимают способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами. Существуют различные системы счисления. От их особенностей зависят наглядность представления числа при помощи цифр и сложность выполнения арифметических операций.

Любая предназначенная для практического применения система счисления должна обеспечивать:

• возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;

• единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина);

• простоту оперирования числами.

Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные. Обе системы счисления используют определённый набор символов – цифр.

Последовательное сочетание цифр образует число.

Непозиционная система счисления – система счисления, в которой для обозначения чисел вводятся специальные знаки, количественное значение которых («вес» символа) всегда одинаково и не зависит от их места в записи числа.

Классическим примером такой системы счисления является римская. В ней для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I означает единицу, V – пять, Х – десять, L – пятьдесят, С – сто, D – пятьсот, М – тысячу.

Для записи чисел в римской системе используются два правила:

1) каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него;

2) каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к нему.

III = 1+1+1 = 3	IV = –1+5 = 4	VI = 5+1 = 6
XL = –10+50 = 40	LX = 50+10 = 60	XC = –10+100 = 90
CIX = 100–1+10 = 109 MCMXCVIII = 1000–100+1000–10+100+5+1+1+1=1998

Позиционной системой счисления называется система счисления, в которой значение каждой цифры в изображении числа зависит от ее положения в ряду других цифр, изображающих число.

В позиционной системе счисления количество символов в наборе равно основанию системы счисления.

Место каждой цифры в числе называется позицией.

Номер позиции символа в числе называется разрядом.

Количество различных цифр, используемых для представления чисел, называют основанием системы счисления.

Для позиционной системы счисления справедливо равенство (полином):

где A(q) – произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q; a_i – коэффициенты ряда (цифры системы счисления); n, m – количество целых и дробных разрядов.

На практике используют сокращенную цифровую запись чисел – последовательность цифр, разделенных запятой на две группы: группу разрядов, изображающую целую часть числа, и группу разрядов, изображающую дробную часть числа:

где а₀, а₁… – цифры нулевого, первого и т.д. разрядов целой части числа;

а_–1, а_–2… – цифры первого, второго и т.д. разрядов дробной части числа.

При этом всегда выполняется неравенство:

Единице каждого разряда целой части числа приписан определенный вес

а единице каждого разряда дробной части числа –

где n и m – номера разрядов, равные индексам при буквах, изображающих цифры разрядов.

Таблица 1

Представление чисел в различных системах счисления

Система счисления	Цифровая форма	Многочленная форма
Двоичная (q = 2)	11010,1012	1·2^4+1·2^3+0·2^2+1·2^1+0·2^0+1·2^–^1+0·2^–^2+1·2^–^3
Троичная (q = 3)	22120,2123	2·3^4+2·3^3+1·3^2+2·3^1+0·3^0+2·3^–^1+1·3^–^2+2·3^–^3
Восьмеричная (q = 8)	3714,43148	3·8^3+7·8^2+1·8^1+4·8^0+4·8^–1+3·8^–^2+1·8^–^3+4·8^–^4
Десятичная (q = 10)	4509,5210	4·10^3+5·10^2+0·10^1+9·10^0+5·10^–1+2·10^–2
Шестнадцатеричная (q = 16)	A3F,1CD16	A·16^2+3·16^1+F·16^0+1·16^–^1+C·16^–^2+D·16^–^3

Для получения числа в некоторой позиционной системе счисления необходимо сложить произведения значений цифр на степени оснований, показатели которых равны номерам разрядов (табл.1). Одно и то же число в зависимости от основания q системы счисления при кодировании формируется из разного количества разрядов.

Для кодирования заданного диапазона чисел в машине в зависимости от выбранной системы счисления требуется разное количество оборудования.

Определим, при каком основании q₀ для представления данного множества чисел М требуется наименьшее количество аппаратуры (аппаратных затрат). Множество чисел

Предположим, что объём используемых электронных элементов для обработки каждого разряда пропорционален основанию системы счисления. Тогда для реализации множества чисел (4) потребуется N электронных схем:

где α – коэффициент пропорциональности, q – основание системы счисления, n – количество разрядов.

Так как

Подставим (**) в выражение (*).

Поскольку N есть функция q при прочих постоянных значениях, для определения q₀ найдём и приравняем нулю первую производную:

Таким образом, наиболее экономичным основанием позиционной системы счисления является число e = 2,718.

Из целочисленных значений оснований ближайшими к значению e являются цифры 2 и 3. Код с нецелым основанием q технически нереализуем. По соображениям простоты технической реализации явное преимущество на стороне кода с q = 2. Для него необходимы дискретные элементы с двумя устойчивыми состояниями (триггеры). Кроме двоичной системы в вычислительной технике используются позиционные системы счисления с основанием q кратным 2:

• восьмеричная;

• шестнадцатеричная;

• двоично-десятичная.ованием стемы счисления является число

скольку p.выражение для ения, М=ов для обработки каждого разряда пропорционален основаниюппаратных затрат).